Bài tập Đại số Lớp 10 - Chuyên đề: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Các bạn tham khảo. Mục đích là rèn luyện HSG, nâng cao khả năng tư duy giải toán cho HSG hay học sinh lớp chọn về BĐT. Có những bài chỉ nêu hướng dẫn mà không giải.
ØVí dụ 4: (THPT Như Thanh - Thanh Hóa 2018 2019) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Cách 1: (Đáp án)
Ta có: P + 3 = 
Vậy .
Cách 2: (Cô si thuận)
Gạch bỏ số 1 ta phân tích vì thế ta có cách giải sau: Cô si 3 số (chuẩn)
. Thành lập hai bđt tương tự và cộng các vế thì:
.
Vậy .
Cách 3: (Cô si đảo + B.C.S)
Ta có đánh giá khử căn bậc hai Tương tự và suy ra:
.
Vậy .
Cách 4: (Đổi biến + B.C.S)
Đổi biến số . Ta có . Tương tự ta có:
.
Vậy .
Cách 5: (Đổi biến + Cô si thuận)
Đổi biến số . Khi đó , ta có:
. Mà ta có nên
. Hoàn toàn tương tự và chú ý ta được:
.
Vậy .
Cách 6: (Cô si đảo + B.C.S)
Áp dụng bđt Cô si ta có: như thế sẽ xuất hiện biểu thức . Thật vậy nên
 và ngoài ra thì
. Từ các phân tích trên suy ra:
.
Vậy .
ØVí dụ 5: (HSG Đăk Lăk 2014 2015) 
 Cho . Chứng minh rằng: .
Cách 1: (Đổi biến tổng thể)
Ta biến đổi hoặc đánh giá theo biểu thức trung gian (trung tâm) là . Ta có
 và . Khi đó theo tính bắc cầu ta chứng minh bđt sau là đủ: (đúng ).
Đẳng thức có tại .
Hoặc từ (đpcm).
Cách 2: (bđt phụ)
Dùng phép thế, ta có: 
suy ra và khi đó bđt trở thành:
.
Mà ta dễ dàng chỉ ra được nên ta chứng minh bđt sau:
(đúng vì đây bđt Schur) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra . 
Cách 3: (Tách biến + Cô si)
Ta có 
 (*). Để chứng minh (*) ta có nhiều cách, sau đây là bđt Cô si:
Ta có và tương tự cộng các vế rồi rút gọn được (*).
Đẳng thức xảy ra .
Cách 4: (Tách biến + tiếp tuyến)
Cũng biến đổi tương tự như trên và ta cần chứng minh bđt sau:
.
Ta có .
Và tương tự suy ra (đpcm). Đẳng thức xảy ra .
Cách 5:
Về bản chất cũng là cách 1 - nhưng khác hình thức trình bầy, ta dễ dàng chứng minh được bđt sau: . Khi đó và như vậy theo tính bắc cầu thì (Vì ). đpcm. Đẳng thức xảy ra .
ØVí dụ 6: (Sưu tầm) Cho các số thực dương thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
.
Hướng 1:
Phương pháp đầu tiên mà ta nghĩ tới là bđt Cô si thuận, trước hết ta có đánh giá sau:
. Và sử dụng bđt Cô si (dạng chẩn)
 và hai bđt tương tự suy ra:
 (đpcm). Đẳng thức có .
% BĐT Cô si dạng không chuẩn là: 
 và tương tự suy ra:
 (đpcm). Đẳng thức có 
Hướng 2:
Phương pháp thứ hai là thế đồng bậc hóa, ta có và như vậy ta sẽ có mẫu thức chung, ta có: và ta chỉ cần chứng minh: 
(*). BĐT này chứng minh khá đơn giản nhờ bđt Cô si hoặc B.C.S. Ở đây ta áp dụng bđt Cô si như sau:
 hoàn tương tự và cộng các vế và rút gọn thành bđt (*).
Hướng 3:
PP thứ ba ta có thể nghĩ đến là dùng bđt B.C.S và khi đó có thể dùng hai dạng:
+ Dạng 1: 
 Đưa các biến về bình phương: .
 Khi đó ta có:
.
 Đẳng thức có .
+ Dạng 2:
 Đưa các biến về bậc nhất hoặc hằng số, ta có:
 và khi đó ta có đánh giá:
.
Hướng 4:
Ta có thể thử PP Cô si ngược dấu, ta có: 
 (Vì ).
Hoàn toàn tương tự suy ra:
. đpcm. Đẳng thức có .
Hướng 5:
Ta có thể tách biến và dùng PP tiếp tuyến, ta có:
 và đề nghị bạn đọc thử chứng minh bđt sau:
 xem thế nào.
Hướng 6:
Để sử dụng bđt Tchebyshev ta phải tách và đánh giá các hạng tử hợp lý. Giả sử thì (*) và (**) (vì ) rồi cộng hai bđt này ta được:
 như thế ta được hai dãy cùng chiều.
Ta đánh giá . Cuối cùng sử dụng bđt Tchebyshev ta có: (đpcm). Đẳng thức có .