Bài tập Đại số Lớp 10 - Chủ đề: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Chủ đề 6
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.
ççç
§1. Cung và góc lượng giác
A. Lý thuyết
1. Đơn vị đo góc và cung tròn
a. Độ
Đường tròn bán kính R có độ dài và có số đo 360° chia đường tròn thành 360 phần, 1 phần có độ dài và có số đo (góc ở tâm chắn cung ).
STUDY TIP
Diện tích: 
Chu vi: 
Vậy cung có độ dài ; cung có độ dài .
b. Radian
- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).
- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là 1 rad)
Nhận xét:
+ Cung độ dài có số đo 1 rad.
+ Đường tròn có độ dài có số đo rad.
+ Cung có số độ dài l có số đo rad.
+ Cung có số đo rad có độ dài 
STUDY TIP
Khi viết góc theo đơn vị radian ta không viết chữ rad sau số đo góc đó.
Ví dụ: thay cho rad
c. Liên hệ giữ độ và rad
 (số đo đường tròn bán kính R)
 rad 
Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:
Độ
Rad
Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính . Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 5cm.
	A. 1	B. 3	C. 2	D. 0,5
Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có: 
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho đường tròn ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:
	A. và 	B. và 	C. và 6	D. và 
Lời giải
ABCDEF là lục giác đều 
 đều Chu vi ABCDEF là 
 Cung có độ dài có số đo 6 rad
6 rad 
Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng
a. Đường tròn định hướng
- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là dương, chiều ngược lại là chiều âm.
- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm.
b. Cung lượng giác
- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu 
c. Góc lượng giác
- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.
Kí hiệu .
- Số đo góc lượng giác là số đo của cung lượng giác .
- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn . Nếu OM quay theo chiều dương từ OA tới OB tạo ra góc thì cung có số đo là .
Kí hiệu: sđ .
Vậy:
 Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ .
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ 
d. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O bán kính , cắt Ox tại và ; cắt Oy tại và .
Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.
e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
- Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ 
+ Nếu , ta chọn điểm M sao cho (theo chiều dương).
+ Nếu , ta viết và ta chọn điểm M sao cho .
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc đường tròn sao cho (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo có thể là giá trị nào sau đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và nên đây là góc tính theo chiều âm
 theo chiều dương là 
 sđ 
Vì nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với ).
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ; . Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là:
	A. và 	B. và 	C. và 	D. và 
Lời giải
 điểm cuối là .
 điểm cuối là .
 điểm cuối là .
 điểm cuối là 
Đáp án B
Ví dụ 3: Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là 
.
Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho góc lượng giác có số đo bằng . Trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
+ ; 	;
+ ;	.
Đáp án C. 
B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: (làm tròn đến hàng phần nghìn).
	A. 2,443	B. 1,222	C. 2,943	D. 1,412
Lời giải
Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ Radian: 
- Sau đó ấn: 
Đáp án B. 
Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Cách 1: Dùng công thức: 
Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.
Nhập biểu thức vào máy tính, sau đó ấn ta được kết quả là A.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ: 
Sau đó ẩn: 
Đáp án A.
Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho . Tính diện tích hình giới hạn bởi điểm O và có thể là:
	A. (đvdt)	B. (đvdt)	C. (đvdt)	D. (đvdt)
Lời giải
Diện tích hình tròn lượng giác là: (đvdt)
+ 
+ 
+ hoặc (đvdt)
Đáp án D.
Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm sao cho ngũ giác là ngũ giác đều, sđ là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Vì là ngũ giác đều nên
sđ 
Nếu sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án không đổi.
Đáp án B. 
Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm thỏa mãn n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:
	A. 0	B. 1 	C. 2 	D. vô số 
STUDY TIP
 Tập hợp n điểm tạo thành 1 đa giác đều trên đường tròn lượng giác là tập hợp các điểm M thỏa mãn:
Lời giải
Để là đa giác đều thì
 Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn: 
Vì là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác có số đo . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?
	A. I	B. II	C. III	D. IV
Lời giải
Ta có: 
 M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm và )
Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác có số đo . Với ta có:
+ M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi 
+ M nằm trong góc phần tư thứ hai khi 
+ M nằm trong góc phần tư thứ ba khi 
+ M nằm trong góc phần tư thứ tư khi 
Đáp án C.
Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ . Gọi là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và . Cung có số đo . Khi đó số đo của cung lượng giác là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
STUDY TIP
Với đối xứng với M qua d. d cắt tại D tung độ không âm) và ; sđ 
Thì số sđ
Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên đối xứng với M qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.
Gọi giao điểm của d với là 
Vì đối xứng với M qua d 
Ta có: 
Lại có : 
Đây là trường hợp với có giá trị dương. Những trường hợp khác chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên
Đáp án A.
Ví dụ 8: Chọn điểm làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo .
	A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất
	B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai
	C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba
	D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư
Lời giải
sđ 
 là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường tròn có số đo (tính gần đúng đến hàng phần trăm).
	A. 3,92	B. 3,93	C. 24,67	D. 24,68
Lời giải
Cung có số đo 1 rad có độ dài là 
Cung có số đo rad có độ dài là: .
Đáp án B.
Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng định nào dưới đây là sai?
	A. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng qua trục tung
	B. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ
	C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất
	D. Cung và cung có cùng điểm biểu diễn
Lời giải
Điểm biểu diễn của cung và cung đối xứng nhau qua trục hoành.
Đáp án B.
Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ và sđ. Chọn khẳng định đúng.
	A. Ou và Ov đối xứng
	B. Ou và Ov vuông góc
	C. Ou và Ov trùng nhau
	D. Ou và Ov tạo với nhau một góc 
Lời giải
Ta có: sđ với 
Vậy 
Do đó Ou và Ov trùng nhau.
Đáp án C.
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho . Khi đó diện tích hình quạt OAM là:
	A. 	B. 
	C. 	D. Không xác định.
Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho . Khi đó số đo cung là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn . Khi đó gọi lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi ; . Giá trị là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn , điểm N thỏa mãn . Gọi là điểm đối xứng của M qua ON. Khi đó số đo là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây không thuộc đường tròn lượng giác?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 6: Tính số đo của góc hình học , biết góc lượng giác có đo bằng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7: Tính số đo của góc hình học , biết góc lượng giác có đo bằng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
	A. Góc lượng giác có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dương
	B. Góc lượng giác có số đo dương thì mọi góc lượng giác có số đo âm
	C. Hai góc hình học bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác và sai khác nhau bội nguyên 
	D. Số đo và số đo thì 
Câu 9: Cho đường tròn bán kính . Khi đó độ dài cung có số đo là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình có không xác định?
 	A. 0 	B. 1 	C. 2 	D. 3
Câu 11: Góc có số đo bằng radian là:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Đổi số đo rad thành số đo độ ta được:
	A. 	B. 	C. 	D. 
§2. Giá trị lượng giác của một cung.
Công thức lượng giác
A. Lý thuyết và các dạng toán điển hình
I. Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác
1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung có sđ (còn viết ). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn 
.
Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: 
+ Hoành độ x của M là cosin của góc α: 
+ Với , tỉ số gọi là tang của góc α: 
+ Với , tỉ số gọi là cotang của góc α: 
- gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
2. Hệ quả
a. xác định với , ta có:
b. Vì nên ta có:
c. Với mà đều tồn tại và sao cho và 
d. xác định với 
 xác định với 
e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng trên đường tròn lượng giác
Góc phần tư
Giá trị 
lượng giác
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
+
+
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
0
0
1
0
1
0
0
1
| |
0
| |
1
0
| |
4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang
a. Ý nghĩa hình học của tang
Kẻ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác tại A.
Gọi . Khi đó .
Trục gọi là trục tang.
b. Ý nghĩa hình học của cotang
Kẻ tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại B.
Gọi . Khi đó .
Chú ý: 
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức với .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có 
Đáp án A.
Ví dụ 2: Giá trị của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Lời giải
Ta có: .
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức với là:
	A. 	B. 389,5	C. 	D. 
Lời giải
Ta có: (rad)
.
Đáp án C.
Ví dụ 4: Cho . Tìm số khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Lời giải
Vì điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất
 (1) đúng.
 (góc phần tư thứ ba)
 (2) sai.
 (3) đúng.
 (góc phần tư thứ I, II và III)
Ở góc phần tư thứ I, (4) sai.
 (góc phần tư thứ I, II) (5) đúng.
Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng.
Đáp án C.
II. Hệ thức lượng giác cơ bản
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Ví dụ 1: Cho và . Giá trị của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có 
. Vì .
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho . Khi đó giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
	A. 	B. 	C. 1	D. 2
Lời giải
Mặt khác ta thấy nên trái dấu
.
Đáp án B.
Ví dụ 3: Giá trị bằng giá trị nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
STUDY TIP
+) 
+) 
 Hay 
.
Đáp án D.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. 0	B. 2	C. 1	D. 
Lời giải
Ta có: (ĐK: )
 thỏa mãn 
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn ĐKXĐ)
Đáp án A.
Ví dụ 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào biến x?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải
STUDY TIP
Có thể thử các đáp án bằng MTCT.
+ (loại)
+ 
 (thỏa mãn).
Đáp án B.
STUDY TIP
Cos - đối
Sin - bù
Phụ chéo
III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt
1. Cung đối nhau ( và )
2. Cung bù nhau ( và )
3. Cung phụ nhau ( và )
4. Cung hơn kém ( và )
5. Cung hơn kém ( và )
Ví dụ 1: Giá trị là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho . Giá trị của là:
	A. 	B. 2	C. 	D. 
Lời giải
Ta có: 
Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn , ta được góc , sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình ta được kết quả như trên (để chế độ Radian).
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức: là:
	A. 1	B. 	C. 8	D. 
Lời giải
Mặt khác do đều lớn hơn 
Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho . Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Vì nên 
Vì nên 
Vì (phụ chéo)
Vậy C sai.
Đáp án C.
IV. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đáp án A.
Ví dụ 2: Cho . Khi đó giá trị biểu thức là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
STUDY TIP
Có thể dùng máy tính tìm ra giá trị góc α thỏa mãn yêu cầu đề bài và tìm giá trị của biểu thức đã cho.
Khi đó .
STUDY TIP
Công thức biến đổi:
(với ; 
)
Đáp án B.
Ví dụ 3: Biểu thức không thể nhận giá trị nào sau đây?
	A. 1	B. 	C. 	D. 
Lời giải
 ()
Đáp án C.
Ví dụ 4: Cho , trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải
STUDY TIP
Ta có thể thử A, B, C là bộ ba số bất kì thỏa mãn và không là các góc có giá trị đặc biệt vào từng đẳng thức và rút ra kết luận. 
+ 
+ 
+ 
Có 
Vậy D sai.
Đáp án D.
2. Công thức nhân đôi
Hệ quả:
* Công thức hạ bậc:	* Công thức nhân ba:
* Công thức chia đôi (tính theo ):
Đặt 
Ví dụ 1: Cho . Khi đó giá trị biểu thức gần nhất với giá trị nào?
	A. 	B. 	C. 1	D. 2
STUDY TIP
Có thể dùng máy tính dò kết quả góc α và dùng quan hệ giữa các cung lượng giác đặc biệt để thỏa mãn yêu cầu đề bài và tính ra kết quả.
Lời giải
Vì thuộc góc phần tư thứ III nên .
Vậy 
Có: .
Đáp án D.
Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức ta được kết quả là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Có 
Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho . Khi đó giá trị biểu thức là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Ta có:
Khi đó:
Đáp án C.
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
.
Đáp án C.
Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải
+) 
+) 
+) 
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của tổng 
 khi là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có:
Đáp án A.
B. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Câu 1: Cho phương trình:
.
Nếu đặt phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 2: Với , giá trị biểu thức:
 là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 3: Cho , giá trị biểu thức:
 là
	A. 0	B. 	C. 	D. 1
Câu 4: Tính với .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Cho . Khi đó giá trị là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn có giá trị lớn nhất là 1?
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 7: Cho . Tính giá trị:
.
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 8: Rút gọn biểu thức: ta được kết quả bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9: Tính biết:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10: Tổng: là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 11: Thu gọn biểu thức:
 với 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 12: Cho .
Khi đó giá trị là:
	A. 1	B. 	C. 	D. 3
Câu 13: Giả sử với . Khi đó tổng bằng:
	A. 	B. 	C. 1	D. 
Câu 14: Nếu và là 2 nghiệm của phương trình và và là 2 nghiệm của phương trình thì bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15: Cho . Tìm GTLN của biểu thức:
	A. 1	B. 	C. 2	D. 
Câu 17: Cho có . Khi đó xác định dạng của . Chọn câu trả lời đúng nhất.
	A. vuông	B. cân
	C. đều	D. A và B đều đúng
Câu 18: Cho có . Khi đó là:
	A. tam giác vuông	B. tam giác cân
	C. tam giác nhọn	D. tam giác tù
Câu 19: Cho có:
.
Khi đó là:
	A. tam giác vuông	B. tam giác cân
	C. tam giác nhọn	D. tam giác tù
Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là a, b. Khi đó tích a.b là:
	A. 24	B. 	C. 0	D. 25
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
	A. 2	B. 4	C. 3	D. 1
Câu 22: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi . Khi đó a, b là nghiệm của phương trình:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó giá trị là:
	A. 4	B. 3	C. 4	D. 2
Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 là:
	A. 	B. 3	C. 4	D. 2
Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 là:
	A. 	B. 3	C. 0	D. 8
Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó tổng là:
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 27: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn . Khi đó bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 28: Nếu và là hai nghiệm của phương trình () thì bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số gần với giá trị nào sau đây?
	A. 3	B. 4	C. 5	D. 6
Câu 30: Tập giá trị của hàm số là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 31: Có bao nhiêu giá trị m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 5?
	A. 0	B. 1	C. 2	D. Vô số
Câu 32: Biểu thức bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 33: Biểu thức bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 34: Cho . Khi đó biểu thức là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 35: Biểu thức bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 36: Cho và . Khi đó ta có:
	A. 
	B. 
	C. 
	D. Không xác định góc 
Câu 37: Cho . Khi đó giá trị biểu thức:
 là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 38: Rút gọn biểu thức:
ta được kết quả là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 39: Rút gọn biểu thức:
 ta được kết quả là:
	A. 0	B. 1	C. 	D. 
Câu 40: Nếu và thì bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 41: Nếu và thì bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 42: Giá trị biểu thức khi là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 43: Giá trị biểu thức khi là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để:
 không phụ thuộc vào ?
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 45: Cho (). Khi đó giá trị là:
	A. 	B. 	C. 13	D. 
Câu 46: Biểu thức được rút gọn thành . Khi đó góc bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 47: Cho với . Giá trị của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 48: Tính giá trị biểu thức biết .
	A. 	B. 1	C. 	D. 
Câu 49: Giá trị của biểu thức là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50: Giá trị là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 4
Câu 51: là nghiệm của phương trình nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 52: Thu gọn biểu thức ta được:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 53: Giá trị của biểu thức:
 là:
	A. 9	B. 8	C. 1	D. 0
Câu 54: Giá trị của biểu thức:
 là:
	A. 0	B. 	C. 9	D. 8
Câu 55: Giá trị biểu thức:
A. với là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 56: có và . Khi đó giá trị là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 57: có . Khi đó là tam giác nào sau đây?
	A. tam giác cân	B. tam giác vuông
	C. tam giác đều	D. tam giác tù
BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III
Xem đáp án chi tiết tại trang 274
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:
(I) 	(II) 	(III) 	(IV) 
Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
	A. Chỉ I, II	B. Chỉ I, II, III
	C. Chỉ I, II, IV	D. Cả I, II, III, IV
Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm. Độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 150° là:
	A. 	B. 
	C. 	D. Đáp án khác
Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo và dài . Khi đó đường kính đường tròn đó là:
	A. 7	B. 14	C. 	D. 
Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là 20cm. Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là không đổi và bằng 18km/h. Trong một thời gian bao nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần nhất.
	A. 0,01 (s)	B. 0,02 (s)	C. 0,1 (s)	D. 0,2 (s)
Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm. Khi đó số đo của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp đường tròn đó là:
	A. 2π	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Đổi số đo sang đo độ ta được:
	A. 300°	B. 600°	C. 150°	D. 120° 
Câu 7: Số đo radian của góc 15° là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo thì hai tia Ox và Oz:
	A. vuông góc với nhau	B. trùng nhau
	C. đối nhau	D. tạo với nhau góc 
Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ?
	A. 10	B. 12	C. 6	D. 5
Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây của đồng hồ quay được một góc có số đo là:
	A. 6480000°	B. 3240000°
	C. 108000°	B. 54000° 
Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam giác vuông ABC (vuông tại A). Cho sđ (). Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ ()?
	A. 2	B. 4	C. 8	D. Vô số
Câu 13: Góc lượng giác có số đo góc là thì số đo góc hình học là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Góc lượng giác có số đo góc là 3230° thì số đo góc hình học là:
	A. 10°	B. 170°	C. 190°	D. 120° 
Câu 15: Xét góc lượng giác trong đó . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để cùng dấu?
	A. I và III	B. I và IV
	C. II và IV	D. Cả I, II, III và IV
Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
	A. Với 3 tia Ou, Ov, Ow ta có sđ + sđ = sđ ()
	B. Với 3 tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ = sđ - sđ 
	C. Với M là điểm trên đường tròn lượng giác thì với ta có cùng dấu thuộc góc phần tư thứ I và III.
	D. Với mọi góc α làm cho xác định thì nó cũng làm cho xác định
Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với . Khi đó có bao nhiêu điểm N với thỏa mãn . (N không trùng với M)
	A. 0	B. 1
	C. 2	D. Chưa đủ dữ kiện
Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho sđ . Xác định vị trí của M biết và .
	A. M thuộc góc phần tư thứ I
	B. M thuộc góc phần tư thứ II
	C. M thuộc góc phần tư thứ I và II
	D. M thuộc góc phần tư thứ III
Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm M sao cho .
Xét các mệnh đề sau:
I. 	II. 
III. 
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc A với hệ trục tọa độ Oxy. Nếu sđ thì hoành độ của điểm M là:
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
	A. 	B. 6	C. 5	D. 3
Câu 22: Nếu và là hai nghiệm của phương trình thì giá trị bằng:
	A. p	B. q	C. 1	D. 
Câu 23: Giá trị của biểu thức là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 24: Có bao nhiêu cặp giá trị thỏa mãn .
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Câu 25: Giá trị của biểu thức là . Khi đó tổng là:
	A. 	B. 	C. 	D. 2
Câu 26: Có bao nhiêu đẳng thức cho dưới đây là đồng nhất thức?
	1. 
	2. 
	3. 
	4. 
	A. 1	B. 2	C. 3	D.4
Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 là:
	A. 2	B. 3	C. 5	D. 6
Câu 28: Tính
	A. 0	B. 	C. 2	D. 1
Câu 29: Đơn giản ta được:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 30: Cho . Giá trị dương nhỏ nhất của là:
	A. 62	B. 28	C. 32	D. 42
Câu 31: có . Khi đó bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị thỏa mãn .
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 4
Câu 33: Cho . Khi đó có giá trị là:
	A. 1	B. 	C. 	D. 
Câu 34: và thì với cặp số nguyên là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 35: Cho . Khi đó giá trị là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 36: Kết quả rút gọn là:
	A. 2	B. 
	C. 	D. 
Câu 37: Cho . Khi đó bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 38: Cho với . Khi đó bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 39: Nếu với là góc nhọn và thì bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 46: Giá trị bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 47: Rút gọn:
 ta được:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 48: Trong các hình quạt cùng diện tích S, hình có chu vi nhỏ nhất là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50: Một dây cuaroa nối 2 bánh xe tâm I và J (như hình vẽ), bán kính lần lượt là và . Biết . Khi đó chiều dài dây là: (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
	A. 	B. 	C. 	D. 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6
I. Cung và góc lượng giác
Câu 1: Đáp án A
 (đvdt).
Câu 2: Đáp án D
Gọi .
Khi đó 
 thuộc góc phần tư thứ IV
Cách khác: Bấm máy tính thử từng trường hợp với sin, cos các góc. 
Câu 3: Đáp án C
Vì đối xứng với M qua Ox nên 
, hay .
 đối xứng với M qua Oy nên 
Câu 4: Đáp án D
Ta đưa về các góc thỏa mãn điều kiện trong công thức tính nhanh.
Theo công thức, ta có: ( là đường kính đường tròn)
 Khi đó 
Câu 5: Đáp án D
Thử các trường hợp ta thấy D không thỏa mãn.
Câu 6: Đáp án A
Ta có:
Vì số đo hình học luôn dương và nên (giá trị âm hay dương của góc lượng giá cho ta biết chiều quay từ đến ; còn về độ lớn hình học thì bằng (với và là độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay từ Ou đến Ov, nếu thì độ lớn là ).
Câu 7: Đáp án A
 Có thể dùng máy tính để tìm ra góc cần tìm. Ví dụ như ở trên, ta nhập vào màn hình biểu thức , ấn phím ta được kết quả là 7, , nghĩa là số dư khi chia 2550 cho 360 là 30, chịn đáp án A. Nếu góc đã cho âm thì lấy số đối của góc đó và làm bình thường.
Trường hợp ra số dư ta lấy được kết quả là góc cần tìm.
Câu 8: Đáp án C
Câu 9: Đáp án A
Chu vi đường tròn là: 
 Độ dài cung 
.
Câu 10: Đáp án C
 không xác định 
 hay hình chiếu của M là Ox là O. Vậy hình 2 và hình 4 có không xác định.
Câu 11: Đáp án A
.
Câu 12: Đáp án C
II. Giá trị lượng giác của một cung . Công thức lượng giác
Câu 1: Đáp án A
Đặt thì phương trình trở thành:
Câu 2: Đáp án A
Vì nên chia cả tử và mẫu cho ta được:
Cách làm chung: Nhân hoặc chia cả tử và mẫu với một giá trị phù hợp để xuất hiện .
Thay số rồi tính.
Câu 3: Đáp án B
Câu 4: Đáp án A
Câu 5: Đáp án A
Cách làm chung: Cho thỏa mãn một đẳng thức nhất định, khi đó ta kết hợp với ta được hệ phương trình 2 ẩn . Từ đó tính được .
Câu 6: Đáp án C
Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì (1) có một nghiệm bằng 1
 thay vào ta được: 
 (thỏa mãn)
Vậy 
Câu 7: Đáp án B
Câu 8: Đáp án B
Câu 9: Đáp án B
Ta có: 
Câu 10: Đáp án B
Sử dụng công thức:
(công thức tính theo )
Khi đó:
 Câu 11: Đáp án A
 Câu 12: Đáp án D
Ta có:
Câu 13: Đáp án C
Ta có: 
Câu 14: Đáp án C
Theo hệ thức Vi – et ta có:
 Câu 15: Đáp án B
Ta có:
Mà 
Câu 16: Đáp án B
 (bất đẳng thức ) 
Dấu xảy ra 
Chú ý: Thông thường biểu thức trong tam giác đạt một giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) với 3 góc A, B, C có vai trò như nhau khi 3 góc đo bằng nhau.
Ví dụ:
 đều
 đều
 đều
Câu 17: Đáp án D
(vì )
Suy ra, cân tại A hoặc vuông tại A. 
Câu 18: Đáp án A
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Khi đó thay vào đẳng thức đã cho ta được:
 vuông tại A.
Câu 19: Đáp án B
Giả thiết 
 cân tại C
Chú ý: Một số hệ thức trong tam giác cân: 
 Câu 20: Đáp án A
Ta có:
Câu 21: Đáp án D
Ta có:
(vì cùng dấu)
(Bđt AM-GM)
Dấu xảy ra
 Khi đó 
Dấu xảy ra
Câu 22: Đáp án A
Gọi góc thỏa mãn
Khi đó
Thế (1) vào (2), giải hệ ta có nghiệm:
 a, b là nghiệm của phương trình 
Cách khác: Áp dụng bđt 
Buniacopxki ta có:
Dấu xảy ra
Tổng quát: Hàm số 
 luôn có 
Dấu xảy ra 
Câu 23: Đáp án B
Ta có:
 Dấu xảy ra 
Nhận xét: Với biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là hai số thực khác nhau:
- Nếu thì nếu hoặc nếu .
- Nếu thì nếu hoặc nếu .
- Nếu 1 trong 2 số bằng 0, giả sử khi đó 
Câu 24: Đáp án A
Ta có:
Dấu xảy ra
Câu 25: Đáp án C
Cách làm sai:
Dấu xảy ra (sai)
Cách giải:
Đặt .
Khi đó 
 (với )
Ta có mặt khác, nên .
Do đó 
Vậy 
* Cách tính giá trị max, min của các hàm số bậc 2 ẩn (hoặc ) dạng 
( hoặc 
- Nếu :
+ min của hàm số đạt tại , max của hàm số đạt tại 1 trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần với hơn thì hàm số đạt max tại đó.
+ max của hàm số đạt tại , min của hàm số đạt tại 1 trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần với hơn thì hàm số đạt min tại đó.
-Nếu 2 giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nằm ở 2 đầu mút, đầu mứt nào làm cho hàm số lớn hơn thì đạt max, còn lại là min. Ví dụ ở câu 15, min của hàm số đạt tại , khi đó cách giá trị xa hơn của hàm số đạt tại , khi đó . Còn ở câu 16. , khi đó max, min của A đạt được khi 
Câu 26: Đáp án D
Xét hàm số có .
Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi .
Với 
Với 
Câu 27: Đáp án C
Ta có: nên tồn tại a sao cho: và 
Khi đó 
Vậy 
Dấu xảy ra
Câu 28: Đáp án A
Vì là hai nghiệm của phương trình nên theo định lí Viet, ta có 
 Câu 29: Đáp án D
ĐKXĐ: 
(vì )
Dấu xảy ra
Tổng quát: đạt GTNN:
+ hoặc thì
+ thì 
+ thì
Câu 30: Đáp án B
Ta có min 
 thì 
Hoặc 
Câu 31: Đáp án A
+) Áp dụng câu 25, ta có:
 (vô nghiệm)
+) 
 hoặc 
-Với .
Cho (không t/m).
- (không t/m)
Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án B 
Câu 33: Đáp án A
Ấn máy tính ta cũng có kết quả tương tự.
Câu 34: Đáp án B
 Hoặc ta cũng có thể bấm máy tính bằng cách tính giá trị của t và gán vào một biến A trong máy, sau đó tính biểu thức cần tính ở đề bài và thử 4 đáp án, đáp án nào có kết quả trùng với biểu thức cần tính thì chọn.
Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập 
Rồi ấn 
Khi đó đã gán (để chế độ tính độ), lần lượt nhập vào màn hình:
Khi nào ta được kết quả là 0 thì đó là đáp án cần tìm.
Câu 35: Đáp án D
Câu 36: Đáp án D
Với .
Vậy không xác định góc thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37: Đáp án C
Chia cả tử và mẫu cho ta được:
Có thể bấm máy tính tìm ra góc bằng cách bấm:
Ta được góc , gán nó vào giá trị A rồi nhập biểu thức
được kết quả cần tìm.
Chú ý: viết trong máy tính là , tương tự với .
Câu 38: Đáp án D
Câu 39: Đáp án B
 Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên vào máy với x là một góc bất kì, nếu nhiều goác ra cùng một kết quả thì đó là kết quả cần tìm.
Câu 40: Đáp án C
Đối chiếu với thì 
có góc thỏa mãn
mà 
Câu 41: Đáp án C
Câu 42: Đáp án C
Nhân cả tử và mẫu của G với ta có:
Câu 43: Đáp án A
Ta có 
Chia cả tử và mẫu cho ta có:
Câu 44: Đáp án B
Để P không phụ thuộc vào thì 
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m để P là hằng số .
Câu 45: Đáp án A
 Áp dụng bất đẳng thức 
Bunhiacopxki ta có:
 Dấu xảy ra 
 Mà 
 (vì )
 (vì )
Dùng máy tính ta tìm được góc x.
Khi đó ta có: 
Câu 46: Đáp án C
Thử 4 đáp án chỉ có đáp án C là thỏa mãn
Câu 47: Đáp án C
Vì 
Nên 
Ta có: 
Câu 48: Đáp án D
Câu 49: Đáp án D
Câu 50: Đáp án B
Câu 51: Đáp án D
Ta có:
 là 11 nghiệm của phương trình 
Câu 52: Đáp án C
Câu 53: Đáp án A
Cách bấm máy: Nhập vào màn hình biểu thức: 
Câu 54: Đáp án B
 Câu 55: Đáp án B
Ta sử dụng cách thử bằng máy tính. Thông thường những biểu thức này thường có công thức tổng quát. Khi đó công thức đúng . Vì vậy có thể thử với 
CTTQ là: 
Vậy với thì 
Câu 56: Đáp án A
(loại TH vì mà nên không thỏa mãn)
Câu 57: Đáp án C
Dễ thấy nếu thì đẳng thức đã cho đúng loại B và D.
Xét cân:
+ Tại 
đều.
+ Tại 
Giả sử 
Thử máy tính thấy không thỏa mãn.
Nếu thì thỏa mãn
đều.
+ Tại 
 đều.
Vậy đều.
III. Đề kiểm tra chủ đề 7
Câu 1: Đáp án 
(vì không có dạng nên không thỏa mãn) 
Câu 2: Đáp án B
Câu 3: Đáp án B
Câu 4: Đáp án C
.
Chu vi bánh xe là , suy ra thời gian quay hết 1 vong bánh xe là:
Câu 5: Đáp án B
Gọi AH là đường cao AH đi qua O
 có: 
số đo cung trong là .
Câu 6: Đáp án A
Câu 7: Đáp án B
Câu 8: Đáp án C
2 tia đ