Các dạng bài tập Toán 10 hay gặp

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng .
2. Sự biến thiên 
TXĐ: 
Hàm số số đồng biến khi và nghịch biến khi 
Bảng biến thiên
( )
( )
3. Đồ thị.
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng , cắt trục hoành tại và trục tung tại 
Chú ý: 
Nếu là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
 Phương trình cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a. 
Cho đường thẳng có hệ số góc , đi qua điểm , khi đó phương trình của đường thẳng là: .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ .
1. Phương pháp giải.
 Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm là. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn , từ đó suy ra hàm số cần tìm.
 Cho hai đường thẳng và Khi đó:
a) và trùng nhau 
b) và song song nhau 
c) và cắt nhau Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình 
d) và vuông góc nhau 
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng . Tìm hàm số đó biết: 
a) đi qua 
b) đi qua và song song với 
c) đi qua và cắt hai tia tại sao cho nhỏ nhất.
d) đi qua và với .
Lời giải
Gọi hàm số cần tìm là 
a) Vì và nên ta có hệ phương trình
Vậy hàm số cần tìm là 
b) Ta có . Vì nên (1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy hàm số cần tìm là 
c) Đường thẳng cắt trục tại và cắt tại với 
Suy ra (3)
Ta có thay vào (3) ta được
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy hàm số cần tìm là .
d) Đường thẳng đi qua nên (4)
Và thay vào (4) ta được .
Vậy hàm số cần tìm là .
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng ( là tham số)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng
b) Tìm để ba đường thẳng và phân biệt đồng quy.
Lời giải
a) Ta có suy ra hai đường thẳng cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình suy ra cắt nhau tại
b) Vì ba đường thẳng đồng quy nên ta có 
 Với ta có ba đường thẳng là phân biệt và đồng quy tại .
 Với ta có suy ra không thỏa mãn
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng và 
a) Tìm để hai đường thẳng song song với nhau
b) Tìm để đường thẳng cắt trục tung tại , cắt trục hoành tại sao cho tam giác cân tại 
Lời giải
a) Với ta có do đó hai đường thẳng này song song với nhau
Với ta có suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại 
Với khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi 
Đối chiếu với điều kiện suy ra .
Vậy và là giá trị cần tìm.
b) Ta có tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ (*)
Rõ ràng hệ phương trình (*) vô nghiệm
Với ta có (*) 
Do đó tam giác cân tại 
 (thỏa mãn)
Vậy là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng . Tìm hàm số đó biết: 
a) đi qua 
b) đi qua và song song với 
c) đi qua và cắt hai tia tại sao cho cân tại O.
d) đi qua và với .
Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng phân biệt đồng quy.
DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) 	 
Lời giải
a) TXĐ: , suy ra hàm số đồng biến trên 
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số đi qua 
b) TXĐ: , suy ra hàm số nghịch biến trên 
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số đi qua 
Ví dụ 2. Cho các hàm số : . 
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó
Lời giải
a) Đường thẳng đi qua các điểm 
Đường thẳng đi qua các điểm 
Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 
b) Đường thẳng cắt nhau tại , Đường thẳng cắt nhau tại , Đường thẳng cắt nhau tại .
 Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (hình vẽ)
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 
Lời giải
a) Bảng biến thiên của hàm số trên 
b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có
 khi và chỉ khi 
 khi và chỉ khi 
2. Bài tập luyện tập.
Bài 2.18: Cho các hàm số : . 
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó
Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (hình vẽ)
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 
DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI .
1. Phương pháp giải.
 Vẽ đồ thị của hàm số ta làm như sau
Cách 1: Vẽ là đường thẳng với phần đồ thị sao cho hoành độ thỏa mãn , Vẽ là đường thẳng lấy phần đồ thị sao cho . Khi đó là hợp của hai đồ thị và .
Cách 2: Vẽ đường thẳng và rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là .
Chú ý: 
 Biết trước đồ thị khi đó đồ thị là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị ở bên phải trục tung qua trục tung.
 Biết trước đồ thị khi đó đồ thị là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị ở phía trên trục hoành
- Lấy đối xứng đồ thị ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) . b).
Lời giải
a) Với đồ thị hàm số là phần đường thẳng đi qua hai điểm nằm bên phải của đường thẳng . 
Với đồ thị hàm số là phần đường thẳng đi qua hai điểm nằm bên trái của đường thẳng . 
b) Vẽ hai đường thẳng và và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) 	b) 
Lời giải
a) Cách 1: Ta có 
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.
Cách 2: Đường thẳng đi qua .
Khi đó đồ thị của hàm số là phần đường thẳng nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung
b) Đồ thị là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị hàm số ở phía trên trục hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ 3: Cho đồ thị 
a) Vẽ 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với 
Lời giải
a) Ta có 
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng 
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng .
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng 
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có
 khi và chỉ khi 
 khi và chỉ khi 
Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a) . b) .
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên 
Lời giải
a) Ta có 
Bảng biến thiên
Ta có 
Dựa vào bảng biến thiên ta có
 khi và chỉ khi 
 khi và chỉ khi 
b) Ta có 
Bảng biến thiên
Ta có 
Dựa vào bảng biến thiên ta có
 khi và chỉ khi 
 khi và chỉ khi 
3. Bài tập luyện tập
Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số Từ đó suy ra đồ thị của:
Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên .
Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số 
b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng theo m.
DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.
1. Phương pháp giải.
a
f(a)
f(b)
b
 Cho hàm số và đoạn . Khi đó, đồ thị của hàm số y = f(x) trên là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
	w f(x) = max{f(a); f(b},
	w f(x) = min{f(a); f(b},
	w .
 Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta 
cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm m để giá trị lớn nhất của trên đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy chỉ có thể đạt được tại hoặc . 
Như vậy nếu đặt M = thì và . 
Ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi . Ta đặt do đó 
Khi đó hàm số được viết lại là với suy ra
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
Do đó . Đẳng thức xảy ra . 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 3: Cho thuộc . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Viết bất đẳng thức lại thành 
Xét hàm số bậc nhất với ẩn 
Ta có: 
Suy ra đpcm.
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm thoả mãn . 
Chứng minh rằng .
Lời giải 
Bất đẳng thức t\ưng đương với 
Đặt , do và yz ≤ nên . 
khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến , .
Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh và .
Thật vậy, ta có và nên bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.23: Cho . Chứng minh .
Bài 2.24: Cho . Chứng minh .
Bài 2.25: Cho . Chứng minh .
Bài 2.26: Cho . Chứng minh .
Bài 2.27: Cho . Chứng minh .
Bài 2.28: Chứng minh rằng với thì với .
§3: HÀM SỐ BẬC HAI 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng .
2. Sự biến thiên 
TXĐ: 
Khi hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên và có giá trị nhỏ nhất là khi . Khi hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên và có giá trị lớn nhất là khi .
Bảng biến thiên
( )
( )
3. Đồ thị.
Khi đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là 
Khi đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là 
Đồ thị nhận đường thẳng làm trục đối xứng.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.
Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm là. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn , từ đó suy ra hàm số cần tìm.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Xác định parabol : , biết:
a) đi qua có đỉnh 
b) và đi qua và có trục đối xứng là .
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi và nhận giá trị 
bằng khi.
d) đi qua cắt tại và sao cho có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm nhỏ hơn .
.Lời giải
a) Vì nên (1). 
Mặt khác có đỉnh nên (2) và suy ra (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có 
Vậy cần tìm là .
b) Ta có và đi qua nên (4)
 có trục đối xứng là nên thay vào (4) ta được .
Vậy cần tìm là .
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi nên ta có
 (5) (6) và 
Hàm số nhận giá trị bằng khi nên (7)
Từ (5), (6) và (7) ta có 
Vậy cần tìm là .
d) Vì đi qua nên (8)
Mặt khác cắt tại suy ra (9), cắt tại nên 
Theo định lý Viét ta có 
Ta có với là hình chiếu của lên trục hoành 
Do , nên 
 (10)
Từ (8) và (9) ta có suy ra 
Thay vào (10) ta có 
Suy ra .
Vậy cần tìm là .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.29: Xác định phương trình của Parabol (P): trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm và 
b) (P) có đỉnh 
c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh .
Bài 2.30: Tìm Parabol , biết rằng Parabol đó :
a) Qua điểm 	 
b) Cắt trục tại điểm có hoành độ bằng 2	
c) Có trục đối xứng 	 
d) Có đỉnh 	 
Bài 2.31: Xác định phương trình Parabol:
a) qua A(1 ; 0) và trục đối xứng 	 
b) qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng 	 
c) qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)	
DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI.
1. Phương pháp giải
Để vẽ đường parabol ta thực hiện các bước như sau:
– Xác định toạ độ đỉnh .
– Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) 	b) 
Lời giải
a) Ta có 
Bảng biến thiên
Suy ra đồ thị hàm số có đỉnh là , đi qua các điểm 
Nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên 
b) Ta có 
Bảng biến thiên
Suy ra đồ thị hàm số có đỉnh là , đi qua các điểm 
Nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới 
Ví dụ 2: Cho hàm số 
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số số điểm chung của đường thẳng và đồ thị hàm số trên
c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương
d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 
Lời giải
a) Ta có 
Bảng biến thiên
Suy ra đồ thị hàm số có đỉnh là , đi qua các điểm 
Nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên 
b) Đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có
Với đường thẳng và parabol không cắt nhau
Với đường thẳng và parabol cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc)
Với đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt
c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành 
Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi .
d) Ta có , kết hợp với đồ thị hàm số suy ra
 khi và chỉ khi 
 khi và chỉ khi 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.32: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) 	b) 
Bài 2.33: Cho hàm số 
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Tìm để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt
c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm
d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 
DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau
a) 	b) 
Lời giải
a) Đồ thị hàm số gồm :
+ Vẽ đường thẳng đi qua và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng 
+ Parabol có đỉnh , trục đối xứng , đi qua các điểm và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng 
b) Vẽ parabol của đồ thị hàm số có đỉnh , trục đối xứng , đi qua các điểm .
Khi đó đồ thị hàm số gồm
+ Phần parabol nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của nằm dưới trục hoành qua trục hoành.