Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý 10 - Chuyên đề III: Tĩnh học vật rắn

MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ III. TĨNH HỌC VẬT RẮN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm cơ bản về cân bằng của vật rắn
Vật rắn là vật mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì không đổi (vật không thay đổi hình CHỦ ĐỀ)
Giá của lực: Đường thẳng mang vectơ lực gọi là giá của lực hay đường tác dụng của lực.
Hai lực trực đối là hai lực cùng giá, ngược chiều và có độ lớn bằng nhau.
Trạng thái cân bằng là trạng thái mà mọi điểm của vật rắn đều đứng yên.
Hệ lực cân bằng là hệ lực tác dụng lên cùng một vật rắn đứng yên làm cho vật tiếp tục đứng yên.
Trọng lực của vật rắn có giá là đường thẳng đứng, hướng xuống dưới và đặt ở một điểm xác định gắn với vật, điểm ấy gọi là trọng tâm của vật rắn.
2. Cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai lực và ba lực không song song
Điều kiện cân bằng của một vật rắn chịu tác dụng của hai lực là hai lực đó phải cùng giá, cùng độ lớn và ngược chiều: .
Dựa vào điều kiện cân bằng của một vật rắn chịu tác dụng của hai lực ta có thể xác định được trọng tâm của các vật mỏng, phẳng.
Trọng tâm của các vật phẳng, mỏng và có CHỦ ĐỀ hình học đối xứng nằm ở tâm đối xứng của vật.
Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực không song song: 
Ba lực đó phải đồng phẳng, đồng quy.
Hợp lực của hai lực phải cân bằng với lực thứ ba: 
Quy tắc tổng hợp hai lực có giá đồng quy: Muốn tổng hợp hai lực có giá đồng quy, trước hết ta phải trượt hai vectơ lực đó trên giá của chúng đến điểm đồng quy, rồi áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực.
3. Cân bằng của một vật có trục quay cố định. Momen lực
Momen lực đối với một trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng tích của lực với cánh tay đòn của nó: , đơn vị của momen lực là (N.m).
Quy tắc momen lực: Muốn cho một vật có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng, thì tổng các momen lực có xu hướng làm vật quay theo chiều kim đồng hồ phải bằng tổng các mômen lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ.
4. Quy tắc hợp lực song song cùng chiều
Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song, cùng chiều và có độ lớn bằng tổng các độ lớn của hai lực ấy.
Giá của hợp lực chia trong khoảng cách giữa hai giá của hai lực song song thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực ấy.
F = F1 + F2; (chia trong).
5. Các CHỦ ĐỀ cân bằng của một vật có mặt chân đế
Có ba CHỦ ĐỀ cân bằng là cân bằng bền, cân bằng không bền và cân bằng phiếm định.
Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một chút mà trọng lực của vật có xu hướng:
kéo nó về vị trí cân bằng, thì đó là vị trí cân bằng bền.
kéo nó ra xa vị trí cân bằng, thì đó là vị trí cân bằng không bền.
giữ nó đứng yên ở vị trí mới, thì đó là vị trí cân bằng phiếm định.
Chú ý: Ở CHỦ ĐỀ cân bằng không bền, trọng tâm ở vị trí cao nhất so với các vị trí lân cận. Ở CHỦ ĐỀ cân bằng bền, trọng tâm ở vị trí thấp nhất so với các vị trí lân cận. Ở CHỦ ĐỀ cân bằng phiếm định, vị trí trọng tâm không thay đổi hoặc ở một độ cao không đổi.
Điều kiện cân bằng của một vật có mặt chân đế: giá của trọng lực phải xuyên qua mặt chân đế (hay trọng tâm “rơi” trên mặt chân đế).
Muốn tăng mức vững vàng của vật có mặt chân đế thì hạ thấp trọng tâm và tăng diện tích mặt chân đế của vật.
6. Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của vật rắn
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó đường thẳng nối hai điểm bất kì của vật luôn luôn song song với chính nó.
Gia tốc chuyển động tịnh tiến của vật rắn được xác định bằng định luật II Niu-tơn: 
Momen lực tác dụng vào một vật quay quanh một trục cố định làm thay đổi tốc độ góc của vật.
Mọi vật quay quanh một trục đều có mức quán tính. Mức quán tính của vật càng lớn thì vật càng khó thay đổi tốc độ góc và ngược lại.
7. Ngẫu lực
Hệ hai lực song song ngược chiều có độ lớn bằng nhau và cùng tác dụng vào một vật gọi là ngẫu lực.
Momen của ngẫu lực: M = Fd (d là khoảng cách giữa hai giá của hai lực trong ngẫu lực).
Momen của ngẫu lực không phụ thuộc vào vị trí của trục quay vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực.
XIN GIỚI THIỆU QUÝ THẦY CÔ GIÁO BỘ TÀI LIỆU 
1. TÀI LIỆU DẠY THÊM FILE WORD FULL VẬT LÝ 10, 11, 12 GỒM NHIỀU CHUYÊN ĐỀ CÓ ĐẦY ĐỦ LÝ THUYẾT, VÍ DỤ GIẢI CHI TIẾT, BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN, ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT, ĐỀ THI HỌC KỲ có thể dùng giảng dạy, ôn thi HSG, ôn thi THPT Quốc Gia.
Nếu quý Thầy/ Cô nào quan tâm muốn có được đầy đủ bộ tài liệu này xin liên hệ zalo: 0911.465.929 (Thầy Đông) hoặc facebook : Lê Kim Đông
GIÁ: + Cả 3 bộ 10, 11, 12: 200K
2. BỘ TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI : 10,11,12
(Có đầy đủ chuyên đề, phương pháp giải và giải chi tiết. Đặc biệt file word các Sách BDHSG 10, 11 của Nguyễn Phú Đồng)
GIÁ : + Cả 3 khối 10,11,12: 200K 
(ĐẶC BIỆT RẤT NHIỀU SÁCH HAY CỦA CÁC THẦY CÔ NỔI TIẾNG CÓ GIẢI CHI TIẾT FILE)
Thầy cô inb zalo hoặc facebook để biết thêm chi tiết file tài liệu !
Xin cám ơn !
Xin cám ơn sự quan tâm của quý Thầy/ Cô.
B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CHỦ ĐỀ 1. CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHÔNG CÓ TRỤC QUAY
Dạng 1. Hợp các lực đồng quy
@ Phương pháp giải:
Xác định và biểu diễn các lực tác dụng lên vật rắn
Viết điều kiện cân bằng cho vật rắn: 	(*)
Tìm điểm đồng quy của các lực. Nếu các lực không đồng quy thì trượt các lực trên giá của chúng cho đến khi cùng gặp nhau tại một điểm đồng quy I.
Giải phương trình (*) theo một trong hai cách sau:
Phân tích và tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành. Tìm hợp lực F theo công thức: 
Chiếu phương trình (*) lên các trục tọa độ để đưa về CHỦ ĐỀ đại số.
Chú ý: 
Chương động lực học chất điểm khi biểu diễn lực tác dụng lên vật ta có thể xem vật như chất điểm, rồi biểu diễn các lực lên chất điểm đó.
Chương tĩnh học vật rắn, vật có kích thước đáng kể so với hệ quy chiếu đang xét nên không thể xem vật như chất điểm, do đó khi biểu diễn lực phải biểu diễn lên vật, tại điểm đặt của lực.
Ví dụ 1: Cho bốn lực đồng quy, đồng phẳng như hình vẽ bên. Biết F1 = 5N, F2 = 3N, F3 = 7N, F4 = 1N. Tìm hợp lực của bốn lực đó.
Hướng dẫn
+ Ta có: 
+ Với . Với 
+ Vì 
Ví dụ 2: Cho ba lực đồng quy cùng nằm trong một mặt phẳng, có độ lớn bằng nhau và từng đôi một làm thành góc 1200. Tìm hợp lực của chúng.
Hướng dẫn
+ Ta có: 
+ Hợp lực: 
+ Lại có: 
+ Do đó: và cùng độ lớn nên 
a
Ví dụ 3: Một vật có khối lượng m chịu tác dụng của hai lực lực và như hình. Cho biết N; N; là góc hợp bởi với phương thẳng đứng. Tìm m để vật cân bằng.
Hướng dẫn
O
a
b
+ Gọi là trọng lực tác dụng lên vật
+ Để vật cân bằng: 
+ Gọi là hợp lực của hai lực và . 
+ Ta có: 
+ Vậy để vật cân bằng thì hợp của hai lực và phải cùng phương, ngược chiều với . Do đó ta biểu diễn được các lực như hình vẽ.
+ Từ hình vẽ ta có: 
TH1: 
TH2: 
Vậy có hai trường hợp thoả mãn là m = 2kg hoặc m = 4kg
A
B
C
D
Ví dụ 4: Một vật có khối lượng m = 3 kg treo vào điểm chính giữa của sợi dây AB. Biết AB = 4 m và CD = 10 cm. Tính lực kéo của mỗi nửa sợi dây. Lấy g = 9,8 m/s2.
Hướng dẫn
Cách 1:
+ Các lực được biểu diễn như hình vẽ
B
A
C
D
+ Phân tích lực căng của mỗi sợi dây: 
Với: 
+ Vì vật nằm cân bằng nên: 
+ Vì nên 
+ Mà: 
+ Từ hình có: 
Cách 2:
+ Các lực tác dụng lên vật được biểu diễn như hình
+ Điều kiện cân bằng: 	(*)
B
A
C
D
x
y
O
a
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình
+ Chiếu (*) lên Ox ta có: 	(1)
+ Chiếu (*) lên Oy ta có: 	(2)
+ Thay (1) vào (2) ta có: 
+ Từ hình có: 
45o
45o
Ví dụ 5: Hai mặt phẳng tạo với mặt nằm ngang các góc 450. Trên hai mặt đó người ta đặt một quả cầu có trọng lượng 20 N. Hãy xác định áp lực của quả cầu lên hai mặt phẳng đỡ.
Hướng dẫn
Cách 1:
45o
45o
Hình a
+ Các lực tác dụng lên quả cầu gồm:
Trọng lực có: điểm đặt tại trọng tâm quả cầu, có phương thẳng đứng, có chiều hướng xuống. 
Phản lực và của hai mặt phẳng nghiêng có: điểm đặt tại điểm tiếp xúc giữa quả cầu với mặt đỡ, có phương vuông góc với mặt đỡ, có chiều hướng về phía quả cầu.
I
Hình b
+ Các lực tác dụng lên quả cầu được biểu diễn như hình vẽ a.
+ Các lực , và đồng quy tại tâm I của quả cầu nên ta tịnh tiến và lại I (hình b)
+ Quả cầu nằm cân bằng nên: 
+ Gọi là lực tổng hợp của hai lực và .
+ Vì hai mặt nghiêng tạo với nhau một góc 90o và N1 = N2 nên hình N1NN2I là hình vuông 
Þ 
+ Áp lực cân bằng với phản lực nên áp lực Q do quả cầu đè lên các mặt phẳng nghiêng là: 
45o
45o
Hình c
x
y
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxy có Ox nằm ngang hướng sang phải, Oy thẳng đứng hướng lên.
+ Điều kiện cân bằng: 	(*)
+ Chiếu (*) lên Ox: 
+ Chiếu (*) lên Oy: 
	Þ 
A
B
C
Ví dụ 6: Quả cầu đồng chất khối lượng m = 2,4 kg bán kính R = 7 cm tựa vào tường trơn nhẵn và được giữ nằm yên nhờ một dây treo gắn vào tường tại A, chiều dài AC =18 cm. Tính lực căng của dây BC và lực nén lên thanh AB. Lấy g = 10 m/s2.
Hướng dẫn
+ Các lực tác dụng vào quả cầu gồm: 
Trọng lực 
Lực căng dây 
Phản lực của thanh AB
+ Các lực được biểu diễn như hình vẽ a
Hình b
Hình a
B
O
A
+ Thực hiện tịnh tiến các lực đến điểm đồng quy O (tâm quả cầu) như hình b.
+ Điều kiện cân bằng của vật rắn: 
+ Suy ra vectơ có phương sợi dây nên từ hình vẽ ta có:
+ Lực căng dây: 
Ví dụ 7: Một vật có khối lượng m = 450g nằm yên trên mặt nghiêng 1 góc a = 30o so với mặt ngang. Cho g = 10 m/s2.
Tính độ lớn của lực ma sát giữa vật và mặt nghiêng và áp lực của vật lên mặt phẳng nghiêng.
Biết hệ số ma sát nghỉ là 1. Tìm góc nghiêng cực đại để vật không trượt.
Hướng dẫn
+ Các lực tác dụng lên vật gồm trọng lực , phản lực , lực ma sát nghỉ 
+ Trọng lực được phân tích thành như hình vẽ
a) Vì vật nằm yên nên: 
+ Ta có: 
+ Mà: N = Py = Pcosα = (N)
b) Để vật không trượt thì thành phần lực 
Ví dụ 8: Thanh nhẹ AB nằm ngang được gắn vào tường tại A, đầu B nối với tường bằng dây BC không dãn. Vật có khối lượng m = 0,6 kg đựơc treo vào đầu B bằng 
dây BD. Biết AB = 40 cm; AC = 30 cm. Tính lực căng của dây BC và lực nén lên thanh AB. Lấy g = 10 m/s2.
Hướng dẫn
A
B
C
a
+ Các lực tác dụng lên thanh AB, khi cân bằng gồm:
Lực căng dây của dây BD
Lực căng dây của dây BC
Phản lực của tường
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Tịnh tiến lực đến điểm đồng quy B
+ Gọi là hợp lực của và . 
+ Ta có: 
+ Suy ra F = T1 và ngược chiều với 
+ Từ hình vẽ suy ra: . 
+ Lại có F = T1 = P Þ 
+ Lực nén lên thanh AB bằng phản lực của tường và bằng 8 (N)
+ Lực căng dây BC: 
45o
A
O
 B
Ví dụ 9: Một thanh AO có trọng tâm O ở giữa thanh và có khối lượng m = kg. Một đầu O của thanh được liên kết với tường bằng một bản lề, còn đầu A được treo vào tường bằng dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc 45o (hình vẽ). Lấy g = 10 m/s2. Hãy xác định:
Xác định giá của phản lực của bản lề tác dụng vào thanh.
Độ lớn của lực căng dây và phản lực N.
Hướng dẫn
a) Xác định giá của 
a
I
45o
A
O
B
+ Thanh AO chịu tác dụng của 3 lực: trọng lực có giá là đường IG (I là trung điểm AB, G là trọng tâm của thanh), lực căng có giá là AB, phản lực của bản lề có giá qua O.
+ Theo điều kiện cân bằng của vật rắn thì 3 lực trên phải đồng quy tại một điểm. Do và đồng quy tại I nên cũng phải đồng quy tại I. Hay giá của là OI.
b) Độ lớn của T và N
+ Điều kiện cân bằng: 	(*)
a
y
x
O
I
+ Do trọng tâm G nằm chính giữa thanh AO nên IG là đường trung bình của tam giác AOB nên I là trung điểm của AB 
Þ tam giác AIO cân tại I nên a = 45o
+ Thực hiện tịnh tiến 3 lực đến điểm đồng quy I như hình.
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình
+ Chiếu (*) lên các trục ta có:
Ox: 	 (1)
Oy: 	 (2)
+ Từ (1) Þ T = N. 
+ Thay vào (2) ta có:
Dạng 2. Hợp lực song song
Loại 1. Tìm hợp lực của các lực song song
@. Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hợp lực song song: 
Nếu hai lực cùng chiều thì: 
Nếu hai lực ngược chiều thì: 
Trong đó:
d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ giá của F1, F2 đến giá của lực tổng hợp F
d là khoảng cách giữa giá của hai lực thành phần F1 và F2
Hai lực cùng chiều
Hai lực ngược chiều
Chú ý:
Nếu hai lực và cùng chiều thì giá của thuộc mặt phẳng của và . Lúc này lực nằm bên trong giữa hai lực và (chia trong). Lực nào càng lớn thì lực đó càng gần .
Nếu hai lực và ngược chiều thì giá của thuộc mặt phẳng của và . Lúc này lực nằm bên ngoài hai lực và (chia ngoài). Lực nằm bên ngoài về phía lực lớn.
Điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của 3 lực song song
Hợp lực của 2 lực bất kỳ cân bằng với lực thứ 3. 
Và: 
Ví dụ 10: Một thanh sắt có trọng lượng 480N được kê bởi hai giá đỡ O1 và O2 ở hai đầu. Đường thẳng đứng đi qua trọng tâm G chia đoạn thẳng O1O2 theo tỉ lệ OO2 : OO1 = 2. Tính lực đè của thanh sắt lên từng giá.
A
B
O1
O2
G
Hướng dẫn
+ Phân tích trọng lực P = F thành hai lực F1 và F2 như hình
+ Theo quy tắc hợp lực ta có: 
+ Từ (1) và (2) suy ra F1 = 320N và F2 = 160N
A
B
C
Ví dụ 11: Người ta đặt một thanh đồng chất AB tiết diện đều, dài L = 100 cm trọng lượng P1 = 100N lên hai giá đỡ tại O1 và O2. Móc vào điểm C trên thanh AB vật có trọng lượng P2 = 200N. Biết AC = 65 cm. Lấy g = 10 m/s2. Xác định:
Hợp lực của hai lực và .
Lực nén lên hai giá đỡ O1 và O2.
Hướng dẫn
a) Vì thanh AB đồng chất tiết diện đều nên trọng tâm của thanh nằm ở chính giữa thanh. Gọi d là khoảng cách giữa hai lực và Þ d = 65 – 50 = 15 cm
+ Vì hai lực và cùng chiều nên hợp lực của hai lực và là: 
+ Vì hai lực cùng chiều nên hợp lực sẽ chia trong và . Gọi d1 và d2 lần lượt là khoảng cách từ và đến .
+ Ta có: 
+ Suy ra hợp lực đặt tại điểm I cách A đoạn: 
d
I
A
B
C
G
d1
d2
+ Vậy hợp lực của hai lực và là có độ lớn 300 (N) và đặt tại điểm I cách A đoạn .
L
I
O1
O2
h1
h2
b) Phân tích trọng lực thành hai lực và đè lên hai giá đỡ O1 và O2 như hình. Gọi h1 và h2 lần lượt là khoảng cách từ và đến hợp lực . 
+ Ta có: 
+ Theo quy tắc hợp lực hai lực song song cùng chiều ta có: 
+ Vậy lực nén lên hai giá đỡ O1 và O2 là: 
Loại 2. Xác định trọng tâm của vật rắn
Trọng tâm của một số vật rắn có CHỦ ĐỀ đặc biệt:
Trọng tâm của hình vuông hoặc hình chữ nhật là giao của hai đường chéo.
Trọng tâm của tam giác là giao của ba đường trung tuyến.
Trọng tâm của hình tròn là tâm của hình tròn.
Tổng quát: Khối tâm của hệ chất điểm m1, m2, , mn xác định bởi: 
Þ hình chiếu trên các trục tọa độ: , ; 
Chú ý:
Khi khối lượng m phân bố đều theo chiều dài thì mật độ khối lượng (khối lượng trên 1 đơn vị chiều dài) là: 
Khi khối lượng m phân bố đều theo diện tích S thì mật độ khối lượng (khối lượng trên 1 đơn vị diện tích) là: 
Ví dụ 12: Hãy xách định trọng tâm của bản mỏng, đồng chất, hình chữ nhật, dài 12 cm, rộng 6 cm, bị cắt mất một mẩu hình vuông có cạnh 3 cm như hình.
Hướng dẫn
+ Bản mỏng được chia thành hai bản mỏng nhỏ: bản mỏng ABCD có trọng tâm là G1, trọng lượng P1 và bản mỏng HKLC có trọng tâm G2 và trọng lượng P2
G
G1
G2
A
B
C
D
K
L
H
+ Gọi G là trọng tâm của bản mỏng, đó chính là điểm đặt của trọng lực , ta có:
+ Vậy muốn tìm điểm G ta phải đi tìm điểm đặt hợp lực của hai lực song song cùng chiều và .
+ Áp dụng quy tắc hợp lực: 
+ Vì bản mỏng đồng chất nên: 	(1)
+ Từ hình vẽ có: 	(2)
+ Giải hệ (1) và (2) được GG1 = 0,8857 (m) và GG2 = 5,3142 (m)
O
x
y
Ví dụ 13: Một bản mỏng phẳng, đồng chất, bề dày đều có CHỦ ĐỀ hình vuông cạnh a bị khoét đi một mẫu hình vuông cạnh a/2 như hình vẽ. Gắn bản mỏng vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Xác định tọa độ trọng tâm của bản mỏng.
Hướng dẫn
+ Ta chia bản mỏng lớn thành 3 phần, mỗi phần là một bản nhỏ hình vuông cạnh a/2 (như hình vẽ).
+ Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các bản nhỏ
O
x
y
G1
G2
G3
3a/4
a/4
a/4
3a/4
a
a
+ Từ hình vẽ ta có: 
+ Gọi G là trọng tâm của bản mỏng lớn (của hệ)
+ Hoành độ điểm G là: 
+ Vì: (m là khối lượng bản mỏng lớn) nên:
Þ 
+ Tung độ điểm G là: 
+ Vì nên: 
+ Vậy trọng tâm G của bản mỏng có tọa độ: 
Ví dụ 14: *Xác định vị trí khối tâm của một dây dẫn đồng chất, tiết diện đều, có dạng nửa cung tròn bán kính R như hình.
Hướng dẫn
+ Do tính chất đối xứng nên trọng tâm G của đoạn dây sẽ nằm trên đường OI (với O là tâm đường tròn)
A
B
I
O
y
+ Chọn trục tọa độ Oy có gốc O trùng với tâm đường tròn, có chiều từ O đến I như hình.
+ Tọa độ trọng tâm G của đoạn dây là: 
+ Gọi r là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây, là chiều dài phần tử thứ i, L là chiều dài cả sợi dây, ta có: 	
+ Ta có: 
+ Do đó: 
+ Vậy tọa độ trọng tâm G của nửa cung tròn bán kính R cách O đoạn: 
Cách 2: Dùng tích phân
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Oy 
+ Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé có góc ở tâm dj, có độ dài và khối lượng tương ứng là: 
 (vì khối lượng phân bố đều theo chiều dài)
+ Tọa độ của phần tử là: 
+ Tọa độ khối tâm G: 
Þ 
Þ 
+ Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn 
O
Ví dụ 15: *Xác định vị trí khối tâm của một bản mỏng đồng chất, tiết diện đều, có CHỦ ĐỀ bán nguyệt bán kính R như hình.
Hướng dẫn
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của bán nguyệt nằm trên trục Oy 
+ Chia bản bán nguyệt tròn thành vô số tam giác cân đỉnh ở O
+ Trọng tâm của mỗi tam giác cách O một khoảng 
+ Khi đó tập hợp tất cả các trọng tâm của mỗi tam giác sẽ tạo thành một cung tròn có bán kính 
+ Theo ví dụ 14 ta có trọng tâm của nửa đường tròn bán kính r là 
+ Vậy trọng tâm của bản mỏng bán nguyệt cách O đoạn: 
Cách 2: Dùng tích phân
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của bán nguyệt nằm trên trục Oy 
y
O
r
dr
dφ
y
j
+ Xét phần tử vi phân diện tích dS giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và (r + dr) có góc ở tâm là có diện tích dS và khối lượng dm tương ứng là:
(vì khối lượng phân bố theo diện tích)
+ Tọa độ của phần tử dS là: 
+ Tọa độ khối tâm G: 
Þ 
Þ 
Þ 
+ Áp dụng cho hình bán nguyệt 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Một vật chịu tác dụng của hai lực và vuông góc với nhau như hình vẽ. Biết . Tìm lực tác dụng lên vật để vật cân bằng. 
120o
Một vật chịu tác dụng của ba lực , , như hình vẽ bên thì nằm cân bằng. Biết rằng độ lớn của lực F3 = N. Hãy tính độ lớn của lực F1 và F2. 
O
x
Cho ba lực đồng qui (tại điểm O), đồng phẳng lần lượt hợp với trục Ox những góc và có độ lớn tương ứng là như trên hình vẽ. Tìm hợp lực của ba lực trên.
Hãy dùng quy tắc hình bình hành và quy tắc đa giác lực để tìm hợp lực của ba lực , và có độ lớn bằng nhau và bằng F0. Biết chúng cùng nằm trong cùng một mặt phẳng và làm với hai lực và những góc bằng nhau và bằng 600. 
Một chiếc đèn được treo vào tường nhờ một dây AB có không dãn có khối lượng không đáng kể. Muốn cho xa tường, người ta dùng một thanh chống, một đầu tì vào tường, còn đầu kia tì vào điểm B của sợi dây. Biết đèn nặng 40N và dây hợp với tường một góc 45o. Tính lực căng của dây và phản lực của thanh ?
Một đèn tín hiệu giao thông ba màu được treo ở một ngã tư đường nhờ một dây cáp có trọng lượng không đáng kể. Hai dây cáp được giữ bằng hai cột đèn AB, CD cách nhau 8m. Đèn có khối lượng 6kg được treo vào điểm giữa O của dây cáp, làm dây cáp võng xuống một đoạn 0,5m. Tính lực căng của dây. Lấy g = 10m/s2.
O
a
A
B
I
Một dây nhẹ căng ngang giữa hai điểm cố định A, B. Treo vào trung điểm O của sợi dây một vật có khối lượng m thì hệ cân bằng, dây hợp với phương ngang góc a. Lấy g = 10 m/s2
Tính lực căng dây khi a = 300, m = 10 kg. 
Khảo sát sự thay đổi độ lớn của lực căng dây theo góc a.
120o
C
B
A
30o
B
A
Một chiếc đèn được treo vào tường nhờ một dây AB. Muốn cho đèn ở xa tường, người ta dùng một thanh chống nằm ngang, một đầu tì vào tường, còn đầu kia tì vào điểm B của dây như hình vẽ. Cho biết đèn nặng 4kg và dây hợp với tường một góc 30o. Tính lực căng của dây và phản lực của thanh. Cho biết phản lực của thanh có phương dọc theo thanh và lấy g = 10 m/s2.
Một vật có khối lượng m = 5 kg được treo vào cơ cấu như hình vẽ. Hãy xác định lực do vật nặng m làm căng các dây AC và AB. Lấy g = 10 m/s2.
Một ngọn đèn có khối lượng m = 1 kg được treo dưới trần nhà bằng một sợi dây. Dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 8 N. Lấy g = 9,8 m/s2.
Chứng minh rằng không thể treo ngọn đèn này vào một đầu dây.
Người ta đã treo đèn này bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây được gắn chặt lên trần nhà như hình vẽ. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc bằng 600. Hỏi lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu ?
Thanh nhẹ AB nằm ngang được gắn vào tường tại A, đầu B nối với tường bằng dây BC không dãn. Vật có khối lượng m = 1,2kg đựơc treo vào đầu B bằng 
dây BD. Biết 5AC = 12AB. Tính lực căng của dây BC và phản lực của tường lên thanh AB.
A
C
B
a
b
Hai thanh AB, AC được nối với nhau và nối vào tường nhờ các bản lề, tại A có treo vật trọng lượng P = 1000N. Tính lực đàn hồi xuất hiện ở các thanh. Cho a + b = 900, bỏ qua trọng lượng các thanh. Áp dụng khi a = 30o.
Quả cầu đồng chất có trọng lượng P = 40 N được treo vào tường nhờ một sợi dây hợp với mặt tường một góc a = 30o. Bỏ qua ma sát chỗ tiếp xúc giữa quả cầu và tường. Tính lực căng của dây và phản lực của tường lên quả cầu.
Một lò xo có k = 50 N/m đặt trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng 300 đầu trên gắn với vật khối lượng 200 g, đầu dưới cố định, chiều dài tự nhiên là 50 cm, bỏ qua ma sát giữa vật và mặt nghiêng. Tính chiều dài của lò xo và phản lực của mặt nghiêng lên vật. Cho g = 10 m/s2
30o
60o
A
B
O
G
Một thanh AB đồng chất khối lượng m = 2 kg tựa trên 2 mặt phẳng nghiêng không ma sát với các góc nghiêng a = 30o và b = 60o. Biết giá của trọng lực của thanh đi qua giao tuyến O của 2 mặt nghiêng. Lấy g = 10 m/s2. Tìm áp lực của thanh lên mỗi mặt phẳng nghiêng.
Một khúc gỗ hình trụ tròn khối lượng m = 50kg được đặt theo một lòng máng có hai thành cao thấp lệch nhau. Tại chỗ tiếp xúc giữa thành máng thấp và giữa thành máng cao với khúc gỗ, bán kính hợp với phương thẳng đứng góc α1 = 30o và góc α2 = 60o. Tìm lực ép lên các thành máng. Lấy g = 10 m/s2.
m
A
C
B
Một giá treo như hình vẽ gồm: thanh AB = 1 m tựa vào tường ở A, dây BC = 0,6 m nằm ngang. Treo vào đầu B một vật nặng khối lượng m = 1 kg. Tính độ lớn lực đàn hồi F xuất hiện trên thanh AB và sức căng T của dây BC khi giá treo cân bằng. Lấy g = 9,8 m/s2 và bỏ qua khối lượng thanh AB, các dây nối.
a
m
Một vật có khối lượng 2kg được giữ yên trên mặt phẳng nghiêng bởi một sợi dây song song với đường dốc chính. Biết α = 30o, g = 9,8m/s2 và ma sát không đáng kể. Hãy xác định:
Lực căng của dây.
Phản lực của mặt phẳng nghiêng lên vật. 
a
A
B
C
D
Một cây trụ nhẹ AB thẳng đứng được kéo bởi 2 dây: dây BC nằm ngang và dây BD nghiêng với trụ AB góc 30o (hình vẽ). Áp lực của trụ lên sàn là . Tính lực căng của 2 dây.
30o
A
O
 B
Một thanh AO có trọng tâm O ở giữa thanh và có khối lượng m = 1 kg. Một đầu O của thanh được liên kết với tường bằng một bản lề, còn đầu A được treo vào tường bằng dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc 30o (hình vẽ). Lấy g = 10 m/s2. Hãy xác định:
Xác định giá của phản lực của bản lề tác dụng vào thanh.
Độ lớn của lực căng dây và phản lực N.
120o
A
B
O
Vật có trọng lượng P = được treo bởi hai sợi dây OA và OB như hình vẽ. Khi vật cân bằng thì góc . Tính lực căng của 2 sợi dây OA và OB.
A
B
m1
m2
m3
a
Tìm khối lượng m3 bé nhất để vật m1 nằm yên trên mặt phẳng nghiêng góc a với mặt ngang, biết lúc đó dây nối m1 với ròng rọc A thẳng đứng, dây nối với ròng rọc B song song với mặt phẳng nghiêng. Hệ số ma sát giữa vật m1 và mặt phẳng nghiêng là m.
A
B
m1
m2
m3
a
Khi người ta giữ cân bằng vật 1, có khối lượng m1 = 6kg, đặt trên mặt phẳng nghiêng góc α = 30o so với mặt ngang bằng cách buộc vào 1 hai sợi dây vắt qua ròng rọc A và B, đầu kia của hai sợi dây treo hai vật 2 và 3 có khối lượng m2 = 2kg và m3. Tính khối lượng m3 và lực nén của vật m1 lên mặt phẳng nghiêng. Lấy g = 10 m/s2. Bỏ qua ma sát.
m
b
a
m
m1
a
a
A
B
Một vật có khối lượng m nằm yên trên mặt phẳng nghiêng với phương nằm ngang góc a nhờ vật có khối lượng m1 và dây AB hợp với phương mặt phẳng nghiêng góc a như hình vẽ. Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. Tính lực căng dây T của dây AB và áp lực của vật lên mặt phẳng nghiêng.
Một viên bi khối lượng m = 2kg được giữ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng trơn nhờ một dây treo như hình vẽ. Cho α = 30o, β = 45o. Tính lực căng dây và áp lực của viên bi lên mặt phẳng nghiêng. Cho g = 10 m/s2. 	
A
B
a
a
Một thanh AB khối lượng 4 kg dài 60 cm được treo nằm ngang nhờ hai sợi dây dài 50 cm như hình. Tính lực căng của dây treo, lực nén lên thanh AB. Lấy g = 10 m/s2.
Một thanh AB khối lượng 8kg dài 60 cm được treo nằm ngang nhờ hai sợi dây dài 50 cm như hình. Tính lực căng của dây treo và lực nén hoặc kéo thanh trong mỗi trường hợp. Lấy g = 10 m/s2.
a
a
A
B
Hình b
Hình a
a
a
A
B
“Trích Vật Lí THPT 10 – Vũ Thanh Khiết”
A
C
B
a
b
Các thanh nhẹ AB, AC nối nhau và với tường nhờ các bản lề. Tại A tác dụng một lực thẳng đứng P = 1000N. Tìm lực đàn hồi của các thanh nếu α = 30o và β = 60o.
« Trích giải Toán Vật lí 10 – Bùi Quang Hân »
m
m
m
L
Hai trọng vật cùng khối lượng được treo vào hai đầy dây vắt qua hai ròng rọc cố định. Một trọng vật thứ ba có khối lượng bằng hai trọng vật trên được treo vào điểm giữa hai ròng rọc như hình vẽ. Hỏi điểm treo trọng vật thứ ba bị hạ thấp xuống bao nhiêu ? Cho biết khoảng cách hai ròng rọc là 2L. Bỏ qua các ma sát.
Một vật khối lượng m = 30 kg được treo ở đầu cảu thanh nhẹ AB. Thanh được giữ cân bằng nhờ dây AC như hình vẽ. Tìm lực căng dây AC và lực nén thanh AB. Cho a = 30o và b = 60o. Lấy g = 10 m/s2.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN
a
+ Gọi là hợp lực của 2 lực và ta có: 
+ Điều kiện để vật cân bằng lực cân bằng với hợp lực 
+ Do đó ta có: 
+ Gọi a là góc tạo bởi hợp lực và phương ngang. 
+ Từ hình ta có: 
120o
+ Để vật cân bằng thì lực tổng hợp của hai lực và phải cùng phương, ngược chiều với . 
+ Gọi phải tạo với một góc 60o. 
+ Từ hình vẽ có: 
+ Vì 
O
x
+ Gọi là hợp của 2 lực . 
+ Từ đề suy ra góc tạo bởi hai lực là a = 1200
+ Độ lớn của hợp 2 lực là: 
+ Gọi b là góc giữa hợp lực và . 
+ Theo định lý hàm cos ta có:
+ Vậy và cùng tạo với một góc Þ và cùng chiều nhau
+ Gọi là hợp của 2 lực và 
+ Vì và cùng chiều nhau Þ F = F13 + F2 = 10 + 5 = 15 N
+ Vậy có phương và chiều là phương và chiều của và có độ lớn là F = 15N
+ Vì làm với hai lực và những góc bằng nhau và bằng 60o nên nằm chính giữa hai lực và nên góc giữa 2 lực và là 120o.
+ Gọi là lực tổng hợp của 2 lực và 
+ Ta có: 
+ Gọi b là góc tạo bởi và . 
+ Theo định lý hàm cos ta có: 
+ Vậy lực trùng với 
+ Gọi là hợp của hai lực và . Vì 
a
C
A
B
+ Coi đèn như một chất điểm B và các lực tác dụng vào đèn gồm: trọng lực , lực căng dây và lực đàn hồi của thanh .
+ Ta có: 
+ Từ hình vẽ ta có: 
+ Lực nén lên thanh đúng bằng lực F nên lực nén lên thanh là 40N
+ Ta có : 
+ Các lực được biểu diễn như hình vẽ
C
A
O
I
+ Phân tích lực căng của mỗi sợi dây: 
Với: 
+ Vì đèn nằm cân bằng nên:
+ Do 
+ Mà: 
+ Từ hình có: 
Các lực được biểu diễn như hình vẽ
B
A
O
I
+ Phân tích lực căng của mỗi sợi dây: 
Với: 
+ Vì đèn nằm cân bằng nên:
+ Do 
+ Mà: 	
+ Từ hình có: 
b) Từ câu a ta có: 
+ Ta nhận thấy rằng 0 < a < 90o Þ khi a tăng thì sina tăng Þ T giảm
30o
B
A
a
 Các lực được biểu diễn như hình
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Gọi 
+ Vậy có phương của sợi dây Þ a = 30o
+ Từ hình ta có: 
+ Lực căng T của sợi dây: 
a
A
C
B
b
+ Các lực được biểu diễn như hình
+ Ta dễ dàng tính được góc 
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Gọi 
+ Vậy có phương của sợi dây AC Þ b = 30o
+ Từ hình ta có: 
+ Lực căng TAC của sợi dây AC: 
a) Nếu treo đèn vào một đầu sợi dây thì để đèn cân bằng lực căng của sợi dây phải bằng trọng lực.
+ Ta có : P = mg = 9,8 N > Tmax nên dây sẽ bị đứt
b) Các lực tác dụng lên bóng đèn: trọng lực , lực căng và .
+ Khi hệ cân bằng ta có: 
+ Suy ra và ngược chiều nhau, cùng độ lớn Þ T là phân giác góc 600
+ Từ hình có: 
A
B
C
a
+ Các lực tác dụng lên thanh AB, khi cân bằng gồm:
Lực căng dây của dây BD
Lực căng dây của dây BC
Phản lực của tường
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Tịnh tiến lực đến điểm đồng quy B
+ Gọi là hợp lực của và . 
+ Ta có: 
+ Suy ra F = T1 và ngược chiều với 
+ Từ hình vẽ suy ra: . 
+ Lại có F = T1 = P Þ 
+ Vậy phản lực của tường bằng 5 (N)
+ Lực căng dây BC: 
+ Khi giá treo cân bằng có 3 lực đồng quy tại A: 
A
C
B
a
b
Trọng lực 
Lực đàn hồi 
Lực đàn hồi 
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Từ hình vẽ suy ra: 
+ Các lực tác dụng vào quả cầu gồm: 
Trọng lực 
Lực căng dây 
Phản lực của thanh AB
+ Các lực được biểu diễn như hình vẽ a
Hình b
Hình a
B
O
A
+ Thực hiện tịnh tiến các lực đến điểm đồng quy O (tâm quả cầu) như hình b.
+ Điều kiện cân bằng của vật rắn: 
+ Suy ra vectơ có phương sợi dây nên từ hình vẽ ta có:
+ Lực căng dây: 
x
y
a
O
+ Các lực tác dụng lên vật gồm:
Trọng lực 
Phản lực 
Lực đàn hồi . 
+ Khi vật nằm cân bằng: 
+ Chiếu lên Ox ta có: 
Fđh – Psinα = 0 Þ Fđh = mgsinα = 1 (N)
+ Lại có 
+ Khi vật nằm cân bằng lò xo bị nén 2 cm nên chiều dài lúc này của lò xo là: 	
+ Chiếu lên Oy ta có: N - Pcosa = 0 Þ N = Pcosa = (N)
30o
60o
A
B
O
G
M
+ Thanh AB chịu tác dụng của 3 lực:
Trọng lực 
Phản lực và 
+ Các lực được biểu diễn như hình.
+ Thanh cân bằng khi: 
+ Tịnh tiến 3 lực đến điểm đồng quy M
+ Vì Þ 
+ Gọi là vectơ tổng hợp của 
Þ 
+ Vì đi qua O nên nằm trên đường chéo MO của hình chữ nhật AOBM nên:
Góc 
Góc 
+ Từ hình có: 
+ Theo định luật III Niu-tơn áp lực Q bằng phản lực N nên áp lực lên các mặt nghiêng là: 
+ Khúc gỗ chịu tác dụng của các lực:
G
Trọng lực 
Phản lực , của các máng gỗ
+ Khúc gỗ chịu tác dụng của ba lực , , có giá đồng quy tại trọng tâm G của khúc gỗ. 
+ Điều kiện cân bằng: 
+ Gọi là hợp lực của , 
Þ 
Þ 
+ Suy ra cùng phương, ngược chiều và cùng độ lớn với Þ thẳng đứng hướng lên và N = P.
+ Vì và vuông góc nhau nên:
+ Theo định luật III Niu-tơn áp lực lên các thành máng là 
B
m
A
C
Khi giá treo cân bằng có 3 lực đồng quy tại B gồm: trọng lực của vật nặng m, lực căng dây của dây BC, lực đàn hồi của thanh AB (do thanh bị co lại dưới tác dụng của lực căng