Định lí Rolle và ứng dụng

Định lí Rolle và ứng dụng
Ths. Nguyễn Bá Thủy
I. Đặt vấn đề
	Công tác bồi dưỡng học sinh khá và giỏi là nhiệm vụ rất quan trọng được tiến hành thường xuyên và liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng. Với đối tượng học sinh khá và giỏi, người thầy giáo ngoài việc dạy cho học sinh cách giải bài toán còn cần phải hướng dẫn học sinh cách tìm tòi, định hướng phương pháp giải, sáng tạo bài toán mới và đi tìm những lời giải đẹp cho các bài toán. Từ đó tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong học tập toán.
	Với suy nghĩ trên, trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán lớp 12 phần phương trình, chúng tôi đã hướng dẫn học sinh tìm những phương pháp, những lời giải hay và độc đáo cho các bài toán, đặc biệt là các bài toán khó. Quá trình đó đã đưa chúng tôi đến với định lí Rôn (Rolle) — Một định lí rất đẹp, một công cụ rất mạnh để giải các bài toán về phương trình. Đề tài này của chúng tôi sẽ tìm hiểu các ứng dụng của Định lí Rolle trong việc nghiên cứu các phương trình.
Trước hết chúng ta hãy làm quen với định lí này:
	“Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra f(a) = f(b) thì tồn tại cẻ(a; b) sao cho f’(c) = 0”. 
Chứng minh: 
Theo định lí Lagrange vì f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) nên tồn tại cẻ(a; b) sao cho: , nhưng vì f(a) = f(b) nên ta có f’(c) = 0.
(Định lí này có thể được chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng định lí Lagrange)
Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí Rôn như sau: “Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra nếu phương trình f’(x) =0 có n nghiệm trên (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá (n+1) nghiệm trong khoảng đó”. 
Thật vậy, nếu phương trình f(x) = 0 có nhiều hơn (n+1) nghiệm trên khoảng (a; b). Chẳng hạn là n+2 nghiệm, được kí hiệu bởi: x1< x2< ...< xn+2, như vậy ta có
 do đó trong mỗi khoảng (xi; xi+1) phương trình f’(x) = 0 sẽ có một nghiệm ị trong khoảng (a; b) phương trình f’(x) = 0 sẽ có n+1 nghiệm. (Vì n+2 số x1, ...xn+2 sẽ xác định n+1 khoảng).
Chính nhờ cách hiểu này mà định lí Rôn trở thành một công cụ rất mạnh để giải toán. Đặc biệt là trong việc giải phương trình và chứng minh phương trình có n nghiệm trong một khoảng nào đó. 
Vận dụng định lí Rolle nghiên cứu phương trình.
Phương pháp chung: — Ta biến đổi phương trình cần giải về dạng: f(x) = 0.
Xét hàm số y = f(x), Tìm số nghiệm của phương trình y’ = 0. Giả sử phương trình y’ = 0 có n nghiệm. Khi đó theo định lí Rôn phương trình f(x) = 0 có không quá n +1 nghiệm.
Chỉ ra các nghiệm của phương trình.
Phương pháp này rất có tác dụng đối với các phương trình mũ, lôgarít hoặc phương trình lượng giác chỉ có hữu hạn nghiệm (nhất là có nghiệm nguyên).
	Ta xét các thí dụ sau:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
(T6/267 – TH&TT)
Giải.
Đặt cosx = y, điều kiện -1Ê y Ê1, ta có phương trình
Có: 
Đây là phương trình bậc 2 đối với ẩn 4y nên có không quá 2 nghiệm. Do đó theo định lí Rôn phương trình f(y) = 0 có không quá 3 nghiệm.
Mặt khác nhận thấy là 3 nghiệm của phương trình f(y) = 0.
Suy ra phương trình đã cho có các nghiệm tương ứng là:
(kẻZ)
Ví dụ 2. Giải phương trình
 	(1) (T7/298 – TH&TT)
Giải.
Điều kiện .
(1) Û 
Với t > 0 ta có f(t) là hàm số đồng biến nên .
Xét hàm số
 ,
có là hàm số đồng biến, nên phương trình g’(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Theo định lí Rôn ta suy ra phương trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Rõ ràng ta có g(0) = g(1) = 0. 
Vậy phương trình g(x) = 0 có đúng 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. Hay phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là x = 0 và x=1.
	Trong 2 ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lí Rôn để chứng minh phương trình có nhiều nhất là n nghiệm rồi chỉ ra các giá trị nghiệm đó bằng cách dự đoán. Và việc vận dụng định lí Rôn không được đặt ra từ đầu mà chỉ xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán trung gian.
Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho việc vận dụng định lí Rôn ở mức độ phức tạp hơn:
Ví dụ 3. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [2p; 3p]?	(T7/305 — TH&TT)
Giải.
Với x > 0 ta có 
Xét hàm số với 
Có 
Xét hàm số:
 . 
Có 
Phương trình g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0ẻ(2p; 3p) và ta có 
(Vì .
Hàm số g(x) đồng biến trên (2p; x0) và nghịch biến trong (x0; 3p).
Hơn nữa g(2p) = 2p> g(3p) = -3p < 0 nên phương trình f’(x) =0 có đúng một nghiệm trên (2p; 3p). Theo định lí Rôn ta có phương trình f(x) có không quá 2 nghiệm trên (2p; 3p).
Mặt khác, 
 ,
ị Phương trình f(x) = 0 có đúng 2 nghiệm trên [2p; 3p].
Ví dụ 4: Tồn tại hay không các số thực a, b, c để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: 
(OLP 30/4 – 2003)
Giải.
Đặt ị mỗi giá trị t > 0 cho một nghiệm x = -lnt.
Ta có phương trình:
Xét hàm số: liên tục trong (0; +Ơ)
, với t > 1, f(4)(t) > 0
ị f’”(t) đồng biến trên (1; +Ơ).
với t< 1, f(4)(t) < 0ị f”’(t) nghịch biến trên (0; 1)
Suy ra f”’(t) > f”’(1) =0 "xẻ(0; +Ơ)
ị f”(t) nghịch biến trong (0: +Ơ). Do đó f”(t) chỉ có thể có nhiều nhất là một nghiệm t > 0. Theo định lí Rôn ta có f’(t) có nhiều nhất là 2 nghiệm t>0 và do đó f(t) chỉ có thể có nhiều nhất là 3 nghiệm t > 0. Vậy f(t) không thể có 4 nghiệm dương phân biệt hay không tồn tại a, b, c để phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.
Trên đây là một vài thí dụ thể hiện ưu thế của việc sử dụng Định lí Rôn để giải các bài toán về phương trình. Hy vọng rằng các bạn có thể tìm thấy những điều bổ ích qua bài viết này.
Để luyện tập xin mời các bạn giải các phương trình sau:
1) 
(OLP 30/4 – 2003)
 2) 
3) 	
4) 
5) 
(Đề thi HSG tỉnh lớp 12 năm học 04-05)
Tài liệu tham khảo:
Tạp chí TH&TT. NXB Giáo dục
Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9. NXB GD - 2003.
3. PP giải toán Mũ – Lôgarit. Lê Hồng Đức (cb). NXB Hà Nội - 2003