Chuyên đề Khảo sát hàm số

Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 1 
PHẦN 1: ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 
Định lý 1. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên ;a b . 
a) Nếu ' 0f x với mọi ;x a b và ' 0f x chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc ;a b thì hàm số 
( )f x đồng biến trên ;a b . 
b) Nếu ' 0f x với mọi ;x a b và ' 0f x chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc ;a b thì hàm số 
( )f x nghịch biến trên ;a b . 
Định lý 2. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên ;a b . 
a) Nếu ' 0f x với mọi ;x a b , ' 0f x chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc (a;b) và f(x) liên tục trên 
 ;a b thì hàm số ( )f x đồng biến trên  ;a b . 
b) Nếu ' 0f x với mọi ;x a b và ' 0f x chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc ;a b và ( )f x liên 
tục trên  ;a b thì hàm số ( )f x nghịch biến trên  ;a b . 
Chú ý: 
a. 3 2 ( 0)y ax bx cx d a 
● Hàm luôn đồng biến trên R 
,
0
0, x R
0y
a
y
  
. 
● Hàm luôn nghịch biến trên R 
,
0
0, x R
0y
a
y
  
. 
b. 
ax b
y
cx d
, Txđ: \
d
D R
c
 
 
 
, 
,
2
ad bc
y
cx d
. 
● Hàm luôn đồng biến trên từng khoảng xác định , 0, 0y x D ad bc  . 
● Hàm luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định , 0, 0y x D ad bc  . 
● Hàm đồng biến trên ;  
0
;
ad bc
d
c
 
. 
● Hàm nghịch biến trên ;  
0
;
ad bc
d
c
 
. 
PHẦN 2: CỰC TRỊ 
1. Tìm m để hàm số đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại 0x x : 
Phương pháp : 
+ Txđ : D= , , ...y 
+ Hàm đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại 0x x thì 0 0 ...y x m 
+ Thử lại : Với m = thay vào, xét cụ thể. 
+ KL, giá trị m cần tìm. 
2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 
Phương pháp : 
a. 3 2y ax bx cx d 0a . Txđ: D=R, , 23 2y ax bx c . 
● Hàm có CĐ và CT (có cực trị) 0y có hai nghiệm phân biệt 0 . 
● Hàm không có cực trị 0y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 2 
b. 4 2y ax bx c 0a . Txđ: D=R. 3 24 2 4
2
b
y ax bx ax x
a
. Khi đó, 
2
0
0
2
x
y b
x
a
. 
● Hàm có CĐ và CT ( có 3 cực trị) 0y có ba nghiệm phân biệt 0 . 0
2
b
a b
a
 . 
● Hàm có 1 cực trị 0y có 1 nghiệm 0 . 0
2
b
a b
a
 . 
Lƣu ý : Khi đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị thì có một cực trị luôn nằm trên trục tung Oy có hoành độ 
bằng 0 và hai cực trị còn lại đối xứng nhau qua trục tung. Tức là, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm trùng 
phương luôn tạo thành một tam giác cân. 
Các kết quả cần ghi nhớ: 
 ABC vuông cân 2 2 2BC AB AC 
4 4 3 3
2 2
2
2 0 1 0 1 0
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
. 
 ABC đều 2 2BC AB 
4 4 3 3
2 2
2 3
0 3 0 3 0
16 2 16 2 2 8 8
b b b b b b b b
a a a a a a a a
. 
 BAC , ta có: 
3
3 3
8 8
cos tan
8 2
b a a
b a b
. 
2
4 2
ABC
b b
S
a a
 . 
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là 
3 8
8
b a
R
a b
 . 
 Bán kính đường tròn nội tiếp ABC là 
2
2
4 2 3
2
4 2
4 16 2
16 2 2
b b
a a b
r
b b b a a ab
a a a
. 
 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2
2 2
0
4 4
x y c y c
b a b a
. 
3. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 
► Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của pt 0f x . 
(VD: 
3 2
1 2 3f x x x x thì 1x là nghiệm đơn, 2x là nghiệm bội 3, 3x là nghiệm kép. 
Vậy f x có 2 điểm cực trị ). 
► Số điểm cực trị của hàm số ( 0)y f ax b c a bằng số điểm cực trị của hàm số y f x . 
► Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y f x và số nghiệm 
đơn, nghiệm bội lẻ của pt 0f x . 
► Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng 2 1n với n là số điểm cực trị dương của hàm số 
 y f x . 
► Số điểm cực trị của hàm số y f x m bằng số điểm cực trị của hàm số y f x . 
► Số điểm cực trị của hàm số y f x m bằng 2 1n với n là số điểm cực trị dương của hàm số 
 y f x m . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 3 
4. Một số trƣờng hợp thƣờng gặp cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 
a. Cho hàm số 4 2y ax bx c với 0a 
► Hàm số 4 2y ax bx c có 3 điểm cực trị 
0
0
0
0
ab
c
ab
. 
► Hàm số 4 2y ax bx c có 5 điểm cực trị 
0
0
ab
c
. 
► Hàm số 4 2y ax bx c có 7 điểm cực trị 4 2 0ax bx c có 4 nghiệm phân biệt 
0
0
0
b
a
c
a
. 
b. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d với 0a 
► Hàm số 3 2y ax bx cx d có 1 điểm cực trị 0y . 
► Hàm số 3 2y ax bx cx d có 3 điểm cực trị 
0
. 0
y
CD CTy y
. 
► Hàm số 3 2y ax bx cx d có 5 điểm cực trị 3 2 0ax bx cx d có 3 nghiệm phân biệt. 
► Hàm số 
3 2y a x bx c x d có 3 điểm cực trị 3 2y ax bx cx d có đúng 1 điểm cực trị 
dương 
 0y có 2 nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20x x 
. 0
0 0
0
a c
y
S
. 
► Hàm số 
3 2y a x bx c x d có 5 điểm cực trị 3 2y ax bx cx d có 2 điểm cực trị dương 
 0y có 2 nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20 x x 
0
0
0
y
S
P
 . 
PHẦN 3: GTLN-GTNN 
1. GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng, nửa khoảng 
Phương pháp : Lập BBT Kết luận GTLN, GTNN. 
2. GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 
Hàm số liên tục trên đoạn  ;a b thì đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó. 
Phương pháp : 
B1) Tính đạo hàm .y f x 
B2) Tìm các điểm làm cho y bằng 0 (giải phương trình 0y ) hoặc y không xác định. Giả sử các điểm đó 
là 1 2, , . . . .nx x x 
B3) Tính 1 2 ; ; . ; .nf a f x f x f x f b 
B4) Kết luận: So sánh các số 1 2; ; ; .nf a f x f x f x f b 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 4 
Số lớn nhất M trong các giá trị đó là GTLN của y f x trên đoạn  ;a b . Ký hiệu: 
 ;a b
M max y 
Số nhỏ nhất m trong các giá trị đó là GTNN của y f x trên đoạn  ;a b . Ký hiệu: 
 ;a b
m min y 
Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta hiểu đó 
là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó. 
3. GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y f x trên đoạn 
Phương pháp : 
Giả sử 
 
;a b
A max f x và 
 
;a b
a min f x . Khi đó: 
► GTLN: 
 
 
;
,
a b
max f x max A a 
► GTNN: Ta xét các trường hợp sau 
TH1: 0a 
 
 
; ;
; 
a b a b
min f x a max f x A 
TH2: 0A 
 
 
; ;
; 
a b a b
min f x A max f x a 
TH3: . 0a A 
 
 
 
; ;
0; ,
a b a b
min f x max f x max A a 
Lưu ý: Nếu bài toán chỉ liên quan đến GTLN thì ta dùng 
 
 
;
,
a b
max f x max A a , không cần xét các 
trường hợp. 
PHẦN 4: TIỆM CẬN 
1. ĐN: 
►Nếu lim hoac lim
x x
y b y b
(b là hằng số) thì đường thẳng y b được gọi là tiệm cận ngang của 
đths. 
►Nếu lim hoac lim
x a x a
y y
(b là hằng số) thì đường thẳng x a được gọi là tiệm cận đứng của 
đths. 
Chú ý: Đồ thị hs 
ax b
y
cx d
luôn có một TCN 
a
y
c
và một TCĐ 
d
x
c
 . 
2. Cách tìm tiệm cận: 
a. Tiệm cận ngang: 
+ Bước 1: TXĐ phải có ký hiệu 
+ Bước 2: Nếu hàm số có dạng 
u
y
v
 và bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì hs không có TCN. Nếu hàm số 
có dạng y u v hoặc y u v thì nhân lượng liên hợp chuyển về dạng 
u
y
v
 . 
+ Bước 3: Tính lim hoac lim
x x
y y
. 
b. Tiệm cận đứng: (Dành cho hàm số có dạng 
u
y
v
 ) 
+ Bước 1: Giải phương trình 0v tìm nghiệm 0,...x 
+ Bước 2: Tính
0 0
lim hoac lim
x x x x
y y
PHẦN 5: GIAO ĐIỂM 2 ĐỒ THỊ + SỐ NGHIỆM CỦA PT 
Trong mp Oxy . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
C y f x
C y g x
Phƣơng pháp chung: 
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f x g x (1) 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 5 
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị 1C và 2C . 
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị 1C và 2C . 
 Nghiệm 0x của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của 1C và 2C . 
 Khi đó tung độ giao điểm là 0 0y f x hoặc 0 0y g x . 
PHẦN 6: TIẾP TUYẾN 
Phƣơng trình tiếp tuyến tại 0 0;M x y C có dạng : 0 0 0y y x x x y (*) 
● Giả thiết 1 : Biết hoành độ tiếp điểm 0x hoặc tung độ tiếp điểm 0y . 
 + Cho hoành độ tiếp điểm 0x : Tính 0 0y y x và 0y x → Viết PTTT theo công thức (*) 
 + Cho tung độ tiếp điểm 0y : Giải phương trình 0 0 0 ...y x y x và tìm 0y x → Viết PTTT theo 
công thức (*) 
 Chú ý các cụm từ sau: 
+ “ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành” thì ta 
có 0 0y . 
+ “ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị cua hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung” thì ta 
có 0 0.x 
● Giả thiết 2: Biết tiếp tuyến có hệ số góc k . 
+ Gọi 0 0;M x y là tiếp điểm. 
+ Giải phương trình 0 0 ...y x k x và tính 0 0y y x . Viết PTTT theo công thức (*). 
Chú ý các cụm từ sau: 
+ “Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
y ax b ” thì ta có hệ số góc k a . 
+ “Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
y ax b ” thì ta có hệ số góc 
1
k
a
 . 
GIỚI THIỆU ĐỀ THPT QG 2017 
Câu 1. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 22 1y x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) 
 C.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) 
Câu 2. (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số 
2
2
1
y
x
 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? 
 A. (0; ) B. ( 1;1) C. ( ; ) D. ( ;0) 
Câu 3. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 
3 23y x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; ) 
 C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) 
Câu 4. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 3 2 (4 9) 5y x mx m x với m là tham số. Có bao nhiêu 
giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) ? 
 A. 7 B. 4 C. 6 D. 5 
Câu 5. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 
4 22y x x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? 
 A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) 
 C.
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) 
Câu 6. (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( ; ) 
 A. 
1
3
x
y
x
. B. 
3y x x . C. 
1
2
x
y
x
. D. 3 3y x x . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 6 
Câu 7. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm 
2( ) 1f x x , x . Mệnh đề nào 
dưới đây đúng ? 
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) . 
 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) . 
Câu 8. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 
4mx m
y
x m
 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá 
trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S. 
 A. 5 B. 4 . C. Vô số D. 3 
Câu 9. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số 3 23 9 1y x x x có hai điểm cực trị A và B. Điểm 
nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? 
 A. (1;0)P B. (0; 1)M C. (1; 10)N D. ( 1;10)Q 
Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA QG 2017) Giá trị cực đại CDy của hàm số 
3 3 2y x x ? 
A. CD 4y . B. CD 1y . C. CD 0y . D. CD 1.y 
Câu 11. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số 
3 23 5y x x có hai điểm cực trị A và B. Tính diện 
tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ. 
 A. 9S B. 
10
3
S C. 5S D. 10S 
Câu 12. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 2
1
( 4) 3
3
y x mx m x 
đạt cực đại tại 3x . 
 A. 1m B. 1m C. 5m D. 7m 
Câu 13. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng : (2 1) 3d y m x m 
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số 3 23 1y x x . 
 A. 
3
2
m B. 
3
4
m C. 
1
2
m D. 
1
4
m 
Câu 14. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
3 2 33 4y x mx m có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa 
độ. 
 A. 
4 4
1 1
; 
2 2
m m B. 1, 1m m C. 1m D. 0m 
Câu 15. (ĐỀ MINH HỌA QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 
4 22 1y x mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 
A. 
3
1
9
m . B. 1m . C. 
3
1
9
m . D. 1m . 
Câu 16. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 
4 22y x mx 
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. 
 A. 0m B. 1m C. 30 4m D. 0 1m 
Câu 17. (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số 
2 3
1
x
y
x
 có bao nhiêu điểm cực trị ? 
 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 
Câu 18. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2 13y x x trên đoạn [ 2;3] 
 A. 
51
4
m . B. 
49
4
m . C. 13m D. 
51
2
m 
Câu 19. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của 2
2
y x
x
 trên đoạn 
1
;2
2
. 
 A. 
17
4
m B. 10m C. 5m D. 3m 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 7 
Câu 20. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 
1
x m
y
x
 (m là tham số thực) thoả mãn 
   1;2 1;2
16
min max
3
y y . 
Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
 A. 0m B. 4m C. 0 2m D. 2 4m 
Câu 21. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số 
1
x m
y
x
 (m là tham số thực) thỏa mãn 
[2;4]
min 3y . Mệnh đề 
nào sau dưới đây đúng ? 
 A. 1m B. 3 4m C. 4m D. 1 3m 
Câu 22. (ĐỀ MINH HỌA QG 2017) Cho hàm số y f x có lim 1
x
f x
 và lim 1
x
f x
 . Khẳng định 
nào sau đây là khẳng định đúng ? 
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. 
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. 
C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là các đường thẳng 1y và 1y 
D. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là các đường thẳng 1x và 1x . 
Câu 23. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
2
2
3 4
16
x x
y
x
. 
 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. 
Câu 24. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ? 
 A. 
1
y
x
 B. 
2
1
1
y
x x
 C. 
4
1
1
y
x
 D. 
2
1
1
y
x
Câu 25. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số 
2
2
4
x
y
x
 có bao nhiêu tiệm cận ? 
 A. 0 B. 3 C. 1. D. 2 
GIỚI THIỆU ĐỀ THPT QG 2018 
 Câu 1. (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số 3 2y ax bx cx d , , ,a b c d có đồ thị như hình vẽ bên. 
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 
A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1 . 
 Câu 2. (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 0;1 . B. ;0 . C. 1; . D. 1;0 . 
 Câu 3. (ĐỀ THPT QG 2018) Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 
A. 4 23 1y x x . B. 3 23 1y x x . C. 3 23 1y x x . D. 4 23 1y x x . 
Câu 4: (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như sau : 
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây 
 A. ( 2; ) B . ( ;2) 
 C. ( 2;3) . D. (3; ) 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 8 
Câu 5: (ĐỀ THPT QG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
2
3
x
y
x m
đồng biến 
trên ( ; 6) . 
 A. Vô số . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 
Câu 6: (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số (a,b,c R)y ax bx c 4 2 có đồ thị như hình vẽ bên. Số 
điểm cực trị của hàm số đã cho là 
A. 2 B. 1 
C. 0 D. 3 
Câu 7: (ĐỀ THPT QG 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2 13y x x trên đoạn  1;2 bằng 
A. 
51
4
 B. 85 C. 13 D. 25 . 
Câu 8: (ĐỀ THPT QG 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
2
16 4x
y
x x
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0. 
 Câu 9. (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số 3 2y ax bx cx d , , ,a b c d . Đồ thị hàm số y f x 
như hình vẽ bên. 
Số nghiệm thực của phương trình 3 4 0f x là 
A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 
 Câu 10. (ĐỀ THPT QG 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 24 9y x x trên đoạn  2;3 bằng 
A. 201 . B. 2 . C. 9 . D. 54 . 
 Câu 11. (ĐỀ THPT QG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
2
5
x
y
x m
 đồng 
biến trên khoảng ; 10 ? 
A. 2 . B. Vô số. C. 1. D. 3 . 
 Câu 12. (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số 4 2
1 7
4 2
y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm A thuộc 
 C sao cho tiếp tuyến của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt 1 1;M x y , 2 2;N x y ( ,M N khác 
A ) thỏa mãn 1 2 1 26y y x x ? 
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . 
Câu 13. (ĐỀ THPT QG 2018) Cho hàm số y f x , 
 y g x . Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như 
hình 
 bên, trong đó đường cong đâṃ hơn là đồ thi ̣ của hàm số 
 y g x .Hàm số 
3
4 2
2
h x f x g x
 đồng biến 
trên khoảng nào sau đây? 
A. 
31
5;
5
. B. 
9
;3
4
. C. 
31
;
5
. D. 
25
6;
4
. 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 9 
GIỚI THIỆU ĐỀ THI THPT QG 2019 
Câu 1: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình 
vẽ bên? 
A. 
3 3 1y x x . B. 4 22 1y x x . 
C. 
3 3 1y x x . D. 4 22 1y x x . 
Câu 2: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau 
 Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
A. 1x . B. 3x . C. 2x . D. 2x . 
Câu 3: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau: 
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 0; . B. 0;2 . C. ; 2 . D. 2;0 . 
Câu 4: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
 Số nghiệm thực của phương trình 3 5 0f x là 
A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . 
Câu 5: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 2 f x x x trên [ 3;3] bằng 
A. 4. B. 0. C. 20. D. –16. 
Câu 6: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: 
A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. 
Câu 7: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 
2( ) ( 2)f x x x , x . Số điểm 
cực 
trị của hàm số đã cho là 
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. 
Câu 8: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Hàm số 
2 33x xy có đạo hàm là 
A. 
2 32 3 .3 .ln 3x xx . B. 
2 33 .ln 3x x . C. 
22 3 13 .3x xx x . D. 
2 32 3 .3x xx . 
Câu 9: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu f x như sau: 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 10 
Hàm số 5 2y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 5; . B. 2;3 . C. 0;2 . D. 3;5 . 
Câu 10: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số f x , hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị 
như 
hình vẽ bên. Bất phương trình f x x m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi 0;2x khi và 
chỉ khi 
A. 0m f . B. 2 2m f . 
C. 0m f . D. 2 2m f . 
Câu 11: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm 
thực của phương trình 3
1
3
2
f x x là: 
A. 3. B. 12. C. 6. D. 10. 
Câu 12: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hai hàm số 
1 2 3
1 2 3 4
x x x x
y
x x x x
 và 1y x x m 
( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là 1C và 2C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để 1C và 2C 
cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là 
A.  3; . B. ;3 . C. ;3 . D. 3; . 
Câu 13: (ĐỀ THI THPT QG 2019) Cho hàm số 
 f x
, bảng biến thiên của hàm số 
 'f x
 như sau: 
+∞+∞
1
3
∞∞ +11
f'(x)
x
0
2
Số điểm cực trị của hàm số 2 2y f x x là 
A. 7 . B. 5 . C. 3 . D. 9 . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 11 
MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO KHẢO SÁT HÀM SỐ 
I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 
Câu 1. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên R và có 
đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số 
(3 )y f x đồng biến trên khoảng nào? 
A. ( 1;2) . B. ( 2; 1) . 
C. (2; ) . D. ( ; 1) . 
Câu 2. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 
R, có đồ thị 'f x như hình vẽ. Hàm số 
 g x f x x đồng biến trên khoảng nào? 
A. ( 1;1) . B. (1;2) . 
C. (2; ) . D. ( 1;2) . 
Câu 3. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên R và có 
đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số 
2( ) 2 ( )h x f x x nghịch biến trên khoảng nào? 
A. ( 2;2) . B. ( 2;4) . 
C. (2; ) . D. ( ; 2) . 
Câu 4. Cho hàm số f x có đồ thị f x như hình vẽ. 
Hàm số 2 1g x f x đồng biến trên khoảng nào? 
A. 1;0 và 1; . B. ;0 và 1; . 
C. 1;1 . D. ; 1 và 0; . 
Câu 5. Cho hàm số y f x , biết đồ thị hàm số 
 y f x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số 2y f x x 
nghịch biến trong khoảng nào sau đây? 
A. 
1
1;
2
. B. 2; . 
C. ; 1 . D. 1;2 . 
Câu 6. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 
Hàm số 2 2y f x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 2;1 . B. 4; 3 . C. 0;1 . D. 2; 1 . 
x 
y 
2 
4 
2 
2 4 
2 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 12 
Câu 7. Cho hàm số y f x có đồ thị f x như hình 
vẽ. Hàm số 
2
1
2
x
y f x x nghịch biến trên 
khoảng nào? 
A. 3; 1 . B. 2; 0 . 
C. 1; 3 . D. 
3
1;
2
. 
Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm f x 
như sau: 
Hàm số 3 26 1 2 3 y f x x x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
A. 2; . B. 1;0 . C. ; 1 . D. 0;1 . 
Câu 9. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau 
Hàm số 31 12 2019y f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 
A. 1; . B. 1;2 . C. ;1 . D. 3;4 . 
Câu 10. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số 'f x như 
hình bên. Hàm số 2cosy f x x x đồng biến trên 
khoảng nào? 
A. 1;2 . B. 1;0 . 
C. 0;1 . D. 2; 1 . 
Câu 11. Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới 
đây. Hàm số lng x f x đồng biến trên khoảng 
nào dưới đây? 
A. ;0 . B. 1; . 
C. 1;1 . D. 0; . 
Câu 12. Với các giá trị nào của tham số m thì hàm số 
( 1) 2 2m x m
y
x m
 nghịch biến trên khoảng 
 1; ? 
A. 2m . B.
1
2
m
m
. C. 1m . D.1 2m . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 13 
Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 26 1y x x mx đồng biến trên 
khoảng 0; . 
A. 12m . B. 0m . C. 0m . D. 12m . 
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  2018;2018m để hàm số 2 1 1y x mx đồng 
biến trên ; . 
A. 2017 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2018 . 
Câu 15. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
cos 1
cos
m x
y
x m
 đồng biến trên khoảng 
0;
3
. 
A. 1;1 . B. ; 1 1;  . C. 
1
;1
2
. D. 
1
1;
2
. 
Câu 16. Hàm số 
3 3 3y x m x n x (tham số ;m n ) đồng biến trên khoảng ; . Giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 2 24P m n m n bằng 
A. 16 . B. 4 . C. 
1
16
 . D. 
1
4
. 
Câu 17. Cho các hàm số 2 4f x x x m và 
2 3
2 2 21 2 3g x x x x . Tập tất cả các giá trị của 
tham số m để hàm số g f x đồng biến trên 3; là 
A.  3;4 . B.  0;3 . C.  4; . D.  3; . 
Câu 18. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm 2 22 6f x x x x x m với mọi 
x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2019;2019 để hàm số 1g x f x nghịch biến trên 
khoảng ; 1 ? 
A. 2012 . B. 2011 . C. 2009 . D. 2010 . 
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm trên là 1 3f x x x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
tham số  10,20m để hàm số 2 3f x x m đồng biến trên khoảng 0;2 ? 
A. 18. B. 17. C. 16. D. 20. 
II. CỰC TRỊ 
Câu 1. Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m . Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị 
hàm số lập thành một tam giác đều. 
A. 2 2m . B. 1m . C. 3 3m . D. 3 4m . 
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 
3 2 33 4y x mx m có hai điểm 
cực trị A , B sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 64 , với O là gốc tọa độ. 
A. 1m . B. 1m . C. 2m . D. 2m . 
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: 4 22 1y x mx m có ba điểm cực trị. 
Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
A. 
1
1 5
2
m
m
. B. m= 1 . C. 
1
1 5
2
m
m
. D. 
1 5
2
m
 . 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 14 
Câu 4. Cho hàm số 
3
2 3 4
3
x
y ax ax . Để hàm số đạt cực trị tại 1x , 2x thỏa mãn 
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
x ax a a
a x ax a
 thì a thuộc khoảng nào ? 
A. 
5
3;
2
a
. B. 
7
5;
2
a
. C. 2; 1a . D. 
7
; 3
2
a
. 
Câu 5. Cho hàm số 4 2( ) 2 1 2 3f x x m x m . Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số 
( )y f x có 3 điểm cực trị 
A. 3. B. 4. C. 5. D.6. 
Câu 6. Tìm m để hàm số 4 22 1 2 3y x m x m có 5 điểm cực trị 
A. 
3
1;
2
. B. 
3
; \ 2
2
. C. 1; \ 2 . D. 
3
1;
2
. 
Câu 7. Có bao nhiêu m nguyên thuộc 20;20 để hàm số 4 21y x m x m có 7 điểm cực trị 
A. 18. B. 19. C. 20. D. 21. 
Câu 8. Tìm m để hàm số 
3 23y x x m có 5 điểm cực trị. 
A. 4;0 . B.  4;0 . C. 0;4 . D. 1; . 
Câu 9. Có bao nhiêu m nguyên để hàm số 3 2 2 22 1 2 2 9 2 9y x m x m m x m có 5 điểm cực 
trị 
A. 6. B. 4. C. 5. D. 7. 
Câu 10. Tìm m nguyên để hàm số 3 2 23 3 4 1y x mx m x có 3 điểm cực trị 
A. 3. B. 4. C. 5. D.6. 
Câu 11. Có bao nhiêu m nguyên thuộc 10;10 để hàm số 3 2 23 3 4 1y x mx m x có 5 điểm cực 
trị 
A. 6. B. 3. C. 7. D. 8. 
Câu 12. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
3 22 1 3 5y x m x m x có ba 
điểm cực trị. 
A. 1; . B.
1
;
4
. C. ;0 . D. 
1
0; 1;
4
 
. 
Câu 13. Cho hàm số f x có đạo hàm trên là 2 21 2 5f x x x x mx . Có bao nhiêu giá trị 
nguyên của tham số 10m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị. 
A. 6. B. 9. C. 7. D. 8. 
Câu 14. Cho hàm số 3 24 .f x x x Hỏi hàm số 1g x f x có bao nhiêu cực trị? 
A. 6 B.3 C.5 D. 4 
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R. 
Đồ thị hàm số 'y f x như hình vẽ. Số điểm cực trị của 
hàm số 4g x f x x là 
A. 2. B. 3. 
C. 1 . D. 4. 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 15 
Câu 16. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên R, có đồ thị 'f x 
như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu của hàm số .g x f x x 
A. Không có điểm cực tiểu. B. 2.x 
C. 0.x D. 1.x 
Câu 17. Hàm số f x có đạo hàm 'f x trên . Hình 
vẽ bên là đồ thị của hàm số 'f x trên . Hỏi hàm số 
 2018y f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 5. B. 3. 
C. 2. D. 4. 
Câu 18. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x . 
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham 
số m để hàm số 1y f x m có 5 điểm cực 
trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 
A. 12 . B. 15 . 
C. 18 . D. 9 . 
Câu 19. Cho hàm số y f x liên tục trên và 
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y f x 
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 8 . B. 6 . 
C. 9 . D. 7 . 
Câu 20. Cho hàm số Cho hàm số xy f liên tục 
trên và hàm số 22 2 2019x f x xg x . Biết 
đồ thị hàm số xy f như hình vẽ. Số điểm cực trị 
của hàm số xy g là 
A. 5 . B. 3 . 
C. 2 . D. 4 . 
Câu 21. Cho hàm số f x xác định trên và có đồ 
thị f x như hình vẽ. Đặt g x f x x . Hàm 
số g x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 
A. 2 x . B. 0 x . 
C. 1 x . D. 1 x . 
1 
O1 1 2 x
1
2
y
O x
y
2 
2
1
1 
3
1 
O x
y
2
3 
6 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 16 
Câu 22. Cho hàm số f x có đồ thị hàm số 
 y f x được cho như hình vẽ bên. Hàm số 
 2
1
0
2
y f x x f có nhiều nhất bao nhiêu 
điểm cực trị trong khoảng 2;3 ? 
A.6. B.2. 
C.5. D.3. 
Câu 23. Cho hàm số y f x với đạo hàm 'f x 
có đồ thị như hình vẽ. hàm số 
3
2 2
3
x
g x f x x x đạt cực đại tại điểm 
nào? 
A. 1.x B. 1.x 
C. 0.x D. 2.x 
Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 2' 1 2f x x x x , với mọi .x R Có bao nhiêu giá trị 
nguyên dương của tham số m để hàm số y f x x m 2 8 có 5 điểm cực trị? 
A. 16. B. 17. C. 15. D. 18. 
III. TƢƠNG GIAO – SỐ NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH 
Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 
Phương trình 2 2f x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? 
A. 4. B. 2. C. 6. D. 3. 
Câu 2. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên R\{0} và có bảng biến thiên như hình dưới: 
Hỏi phương trình 3 ( ) 10 0f x có bao nhiêu nghiệm? 
A. 2 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 1 nghiệm. 
Câu 3. Cho hàm số xfy có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương 
trình mxf 1 có 4 nghiệm phân biệt? 
O x
y
4
1 1
2
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 17 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Câu 4. Cho hàm số 132
3
1 23 xxxxf . Khi đó phương trình 0 xff có bao nhiêu nghiệm 
thực? 
A. 9. B. 6. C. 5. D. 4. 
Câu 5. Cho hàm số 
2 2
1
x
y C
x
. Tìm m để đường thẳng : 2d y x m cắt C tại hai điểm phân biệt 
,A B thỏa mãn: 5AB . 
A. 
10
2
m
m
. B. 10m . C. 2m . D. 2;10m . 
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị tham số a để phương trình 3 23 0x x a có 4 nghiệm phân biệt là: 
A. 2 2a . B. 2 0a . C. 4 0a . D. Không tồn tại a . 
Câu 7. Cho hàm số 
1
2
x
y
x
. Số các giá trị tham số m để đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị hàm số 
tại hai điểm phân biệt A , B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường tròn 2 2 3 4x y y là 
A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 8. Cho hàm số 
2
1
2 3
x
y
x
. Đường thẳng :d y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 . Biết d 
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho OAB cân tại O . Khi đó a b bằng 
A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 34cos cos 2 3 cos 1 0x x m x có 
đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng ;
2 2
? 
A. 2 . B.3 . C. 0 . D.1 . 
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2
1
cos 3cos 5 cos 3 2 0
3
x x x m có 
đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  0;2 . 
A.
3 1
2 3
m . B.
1 3
3 2
m . C.
1 3
3 2
m . D.
3 1
2 3
m . 
Câu 11. Gọi d là đường thẳng đi qua 2;0A
có hệ số góc m cắt đồ thị 3 2: 6 9 2C y x x x tại 
ba điểm phân biệt A , B , C . Gọi B , C lần lượt là hình chiếu vuông góc của B , C lên trục tung. Tìm 
giá trị dương của m để hình thang BB C C có diện tích bằng 8. 
Chuyen de KHAO SAT HAM SO_ThQuyen 
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor 18 
A. 
3
2
m . B. 1m . C. 2m . D. 
1
2
m . 
Câu 12. Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 21 1 3 2 1 5 0m x x x 
có đúng hai nghiệm phân biệt là một nửa khoảng ;a b . Tính 
5
7
b a . 
A. 
6 5 2
35
. B. 
6 5 2
7
. C. 
12 5 2
35
. D. 
12 5 2
7
. 
Câu 13. Cho hàm số 
1
2
x
y
x
 có đồ thị C và đường thẳng : 2 1d y x m ( m là tham số thực). Gọi 
1k , 2k là hệ số góc của tiếp tuyến của C tại giao điểm của d và C . Tính tích 1 2. .k k 
A. 1 2. 3k k . B. 1 2. 4k k . C. 1 2
1
.
4
k k . D. 1 2. 2k k . 
Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  và có 
đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt 
 g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình 
 0g x . 
A. 8 . B. 2 . 
C. 6 . D. 4 . 
Câu 15. Cho hàm số 
3( ) 3 1y f x x x có đồ thị n