Chuyên đề Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC HAI
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Hàm số bậc hai có tập xác định .
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh là , có trục đối xứng là đường thẳng .
Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0.
Sự biến thiên:
PHÂN DẠNG TOÁN TỰ LUẬN:
ÄDẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI – PARABOL
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Parabol (P): :
(P) đi qua điểm A: .
(P) có đỉnh .
(P) có điểm cực đại nếu a 0.
(P) đạt giá trị lớn nhất là nếu a 0.
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 41: Xác định parabol (P): biết:
Đi qua điểm A(2;3) và có giá trị nhỏ nhất là -2.
Đỉnh là I(0;3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(2;0)
Bài 42: Xác định parabol (P): biết rằng (P):
Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3).
Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng .
Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng .
Bài 43: Xác định hàm số bậc hai (P):biết rằng (P):
Có trục đối xứng là đường thẳng x=-1 và cắt trục tung tại điểm A(0,3).
Có đỉnh là I(-1;-2).
Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(-1;2).
ÄDẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Các bước vẽ parabol (P): :
- Tập xác định .
- Đỉnh .
- Trục đối xứng :.
- Xác định bề lõm và bảng biến thiên:
Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0
Tìm các giao điểm đặc biệt: giao điểm với trục hoành, với trục tung.
Vẽ Parabol (P).
@Chú ý:
Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải bất phương trình và biện luận số nghiệm của phương trình.
Sử dụng các phép tịnh tiến y=f(x+a)+b để suy đồ thị này ra đồ thị khác.
Từ đồ thị (P): y=f(x) ta có thể suy ra đồ thị của hàm số:
y=-f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y=f(x) qua trục hoành.
 bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì lấy đối xứng qua trục hoành.
y=f(-x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung.
 bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, và lấy đối cứng phần đồ thị đó qua trục tung.
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 44: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. 	b. 	c. 
Bài 45: Cho (P): 
Vẽ (P).
Tìm x sao cho .
Bài 46: Cho (P): 
Vẽ (P).
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Bài 47: Cho (P): .
Vẽ (P).
Từ đồ thị (P) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số .
Xác định m để phương trình vô nghiệm, có 2 nghiệm, có 3 nghiệm, có 4 nghiệm.
Bài 48: Cho . Chứng minh nếu có số sao cho thì phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt hơn nữa .
Bài 49: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị :
(P): thành (P’): .
(P): thành (P’): .
ÄDẠNG 3: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TƯƠNG TUYẾN.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1. Cho đồ thị (C):y=f(x) và (P): .
Tọa độ giao điểm nếu có là nghiệm của hệ .
Phương trình hoành độ giao điểm: , nếu biến đổi về được dạng: thì:
+ <0: không có điểm chung.
+ =0: tiếp xúc nhau.
+ >0: cắt nhau tại 2 điểm.
Đặc biệt, nếu (C) là đương thẳng và khi =0 thì đường thẳng là tiếp tuyến của (P).
2. Lập phương trình tiếp tuyến với (P): tại điểm hoặc đi qua điểm .
- Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y-.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P).
- Cho điều kiện tiếp xúc: =0 để tìm ra k.
3. Cho (P): có 
- Nếu >0 thì (P) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
- Nếu =0 thì (P) tiếp xúc với trục hoành.
- Nếu <0 thì (P) không cắt trục hoành.
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 49: Tìm tọa độ giao điểm của:
a. 	b. 
c.	d. 
Bài 50: Chứng minh đường thẳng:
a. y=-x+3 cắt (P): .	b. y=2x-5 tiếp xúc với (P):.
Bài 51: Cho hàm số: . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:
a. Không cắt trục Ox.	b. Tiếp xúc với trục Ox.
c. Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt về bên phải gốc O.
Bài 52: Biện luận theo m số giao điểm của (d): y=2x+m với (P): .
Bài 53: Cho (P): . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(4;1) biết rằng:
d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
d tiếp xúc với (P).
Bài 54: Lập phương trình tiếp tuyến với (P): .
Tại điểm A(-2;1).
Đi qua điểm B(-1;-5).
Bài 55: Cho (P): . Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết rằng:
Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng .
Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=2x+1.
Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .
Bài 56: Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol .
Bài 57: Xác định (P) biết (P) tiếp xúc với 3 đường thẳng y=x-5; y=-3x+3; y=3x-12.
Bài 58: Chứng minh rằng các parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 59: Chứng minh rằng các đường thẳng luôn luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Bài 60: Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt (P): tại 2 điểm P, Q sao cho PQ=3.
ÄDẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG KHÁC.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cho (P): 
Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng . Lúc đó hàm số đạt GTNN bằng tại .
Nếu a<0 thì hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng . Lúc đó hàm số đạt GTLN bằng tại .
Dựa vào BBT hay đồ thị ta tìm được GTLN và GTNN.
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 61: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a. 	b. .	
c. với 	d. với .
Bài 62: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đồ thị của hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
Bài 63: Tìm m để hàm số:
a. luôn đồng biến trên khoảng .
b. luôn nghịch biến trên khoảng .
 Bài 64: Tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. trên [0;3] bằng 4.
b. trên [0;1] bằng 1.
TRẮC NGHIỆM
Câu 1:	Tọa độ đỉnh của parabol là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2:	Cho (P) như hình vẽ sau, hãy tìm tọa độ điểm trên (P) có tung độ nhỏ nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3:	Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên dưới?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4:	Cho hàm số thì đồ thị (P) của hàm số là hình nào trong các hình sau:
A. Hình (4).	B. Hình (2).	C. Hình (3).	D. Hình (1)
Câu 5:	Cho : . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. có đỉnh .
B. nhận đường thẳng làm trục đối xứng.
C. có đồ thị quay bề lõm xuống dưới.
D. đi qua điểm .
Câu 6:	Giao điểm của parabol : với trục hoành
A. ; .	B. .	C. ;.	D. .
Câu 7:	Giao điểm của parabol : với trục tung là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8:	Điểm nào dưới đây thuộc giao điểm của và đường thẳng là
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 9:	Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10:	Hàm số có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị để phương trình vô nghiệm.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11:	Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số 
A. Hình 2.	B. Hình 4.	C. Hình 1.	D. Hình 3.
Câu 12:	Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. có đỉnh là 
C. cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 
D. cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Câu 13:	Một chiếc cổng hình parabol dạngcó chiều rộng . Hãy tính chiều cao của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh).
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14:	Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua đôi. Hỏi của hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15:	Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
A. 	B. 	C. 	D. 
BẢNG ĐÁP ÁN KHUNG BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bảng đáp án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
B
C
C
A
C
B
D
D
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
D
C
A
D
D