Bài tập Toán 10 - Chương VI: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn 
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad. 
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính có số đo , có số đo và có độ dài là thì:
 do đó 
Đặc biệt: .
2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia lần lượt cắt đường tròn tại và . Tia cắt đường tròn tại , tia chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
Tia chuyển động theo một chiều từ đến trùng với tia thì ta nói tia đã quét được một góc lượng giác tia đầu là , tia cuối là . Kí hiệu 
Điểm chuyển động theo một từ điểm đến trùng với điểm thì ta nói điểm đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu , điểm cuối . Kí hiệu là 
Tia quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia quay góc (hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc (hay ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc (hay ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) thì nói nó quay góc (hay ) 
Ta coi số đo của góc lượng giác là số đo của cung lượng giác 
 c) Hệ thức Sa-lơ.
Với ba tia tùy ý ta có: 
Sđ Sđ Sđ
Sđ Sđ Sđ
Với ba điểm tùy ý trên đường tròn định hướng ta có :
SđSđSđ
SđSđSđ
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải. 
	Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau: 
	Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo (hay ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng (hay , ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: .
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: .
Lời giải
a) Vì nên 
b) Vì nên 
.
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a) 	b) 	c) 
Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có nên
a) Ta có 
b) Ta có 
c) Ta có 
Ví dụ 3: Cho hình vuông nội tiếp đường tròn tâm (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác , ().
Lời giải
Ta có nên sđ, 
 nên sđ, 
 nên sđ, 
 nên sđ, 
Như vậy sđ, , 
Theo hệ thức salơ ta có sđ=sđ sđ, .
Ví dụ 4: Tìm số đo của góc lượng giác với , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là: 
a) 	 b) 	c) 	 
Lời giải
a) Mọi góc lượng giác có số đo là 
Vì nên 
Suy ra 
b) Mọi góc lượng giác có số đo là 
Vì nên 
Suy ra 
c) Mọi góc lượng giác có số đo là 
Vì nên 
Suy ra .
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác có số đo . Trong các số , những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của do đó
Vì , , và nên các số là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Ví dụ 6: Cho sđ và sđ. Chứng minh rằng hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi hoặc hoặc với .
Lời giải
Ta có sđ và sđ suy ra tồn tại , và số nguyên sao cho .
Khi đó là số đo của và là số đo của .
Hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi 
 hoặc với .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.0: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: .( chính xác đến )
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: .
Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo và ( là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không?
Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a) 	b) 	c) 
Bài 6.3: Tìm số đo của góc lượng giác với , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là: 
a) 	 b) 	c) 	
Bài 6.4: Cho lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác , ().
Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc . Cho điểm sao cho sđ, sđ . Các điểm lần lượt là các điểm đối xứng của qua tâm đường tròn. Tìm số đo của cung và .
§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.
a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.
Điểm trên đường tròn lượng giác sao cho gọi là điểm xác định bởi số (hay bởi cung , hay bởi góc ). Điểm còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực có một điểm nằm trên đường tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là .
d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác có số đo , xác định điểm trên đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa 
Ý nghĩa hình học: Gọi lần lượt là hình chiếu của lên trục . Vẽ trục số gốc cùng hướng với trục và vẽ trục số gốc cùng hướng với trục , gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng cắt với các trục sô . Khi đó ta có:
e) Tính chất:
 xác định với mọi giá trị của và .
 được xác định khi , xác định khi
f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.
Bảng xét dấu
 Phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
III
IV
cosa
+
–
–
+
sina
+
+
–
–
tana
+
–
+
–
cota
+
–
+
–
g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
Góc 
0
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
0
1
0
–1
0
1
0
–1
0
1
0
1
–1
0
0
1
0
–1
0
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.
Góc đối nhau ( và )
Góc bù nhau( và )
Góc phụ nhau( và )
Góc hơn kém ( và )
Góc hơn kém ( và )
Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém tang côtang, hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
Góc và góc có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng ( với là số nguyên và là số nguyên dương) là Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho từ tới rồi biểu diễn các góc đó.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 
Khi đó điểm là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
b) Ta có do đó điểm biểu diễn bởi góc trùng với góc và là điểm .
c) Ta có . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
Khi đó điểm là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
d) Ta có do đó điểm biểu diễn bởi góc trùng với góc .
. Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
Khi đó điểm (điểm chính giữa cung nhỏ ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với là số nguyên tùy ý).
	; 	; 	
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải
Ta có do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng 
Với được biểu diễn bởi điêm 
 được biểu diễn bởi 
 do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng 
 được biểu diễn bởi 
 được biểu diễn bởi 
 do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng 
 được biểu diễn bởi 
 được biểu diễn bởi .
Do các góc lượng giác được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là ( là số nguyên tùy ý).
Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với là số nguyên tùy ý).	; 	
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải. 
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác 
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt 
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
c) Vì do đó 
Suy ra .
d) 
Mà 
Nên .
Ví dụ 2: Cho . Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) 	 b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có suy ra 
b) Ta có suy ra 
c) Ta có suy ra 
 Và suy ra 
Vậy .
d) Ta có .
 suy ra .
Vậy .
3. Bài tập luyện tập:
Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi
Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) .
b) .
c) 
Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) 	 b) 	 c) 	
Bài 6.12: Cho . Xét dấu của các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6.13: Cho . Xét dấu của các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6.14: Cho tam giác có góc tù. Xét dấu của các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) 	
b) 
c) 
d) 
Lời giải
a) Đẳng thức tương đương với 
 (*)
Mà 
Do đó (*) (đúng) ĐPCM.
b) Ta có 
Mà và nên
 ĐPCM.
c) Ta có 
 ĐPCM.
d) 
Mặt khác vì nên 
 ĐPCM.
Ví dụ 2: Cho tam giác . Chứng minh rằng 
Lời giải
Vì nên 
Suy ra . ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) 
b) 
c) với 
Lời giải
a) Ta có 
Suy ra 
b) Ta có 
Vậy 
c) Ta có nên
Vì nên 
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào .
a) 
b) 
c)
Lời giải
a) Ta có Ta có 
Do đó 
Vậy không phụ thuộc vào .
b) Ta có 
Vậy không phụ thuộc vào .
c) 
Vậy không phụ thuộc vào .
3. Bài tập luyên tập.
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.
Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) .
Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau
a) 	b) 
c) 	d) 
e) ().
f) .
Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào . 
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 6.19: Cho tam giác . Hãy rút gọn 
a) 
b) 
DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc biết:
a) và . 	b) và .	
c) và 	d) và 
Lời giải
a) Vì nên mặt khác suy ra 
Do đó 
b) Vì nên 
Mà suy ra 
Ta có và 
c) Vì 
Ta có . 
Vì và nên 
Vì vậy 
Ta có .
d) Vì nên .
Ta có 
Do và nên 
Do đó .
Ta có 
Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc biết và 	
b) Cho . Tính .	
Lời giải
a) Ta có hay 
Vì , cùng dấu và nên 
Do đó . Ta lại có .
b) Ta có 
(Do )
Suy ra .
Ta lại có 
Suy ra 
Ví dụ 3: a) Cho . Tính .	
b) Cho . Tính 
c) Cho . Tính 
Lời giải
a) Ta có 
Suy ra 
b) 
Suy ra 
c) Ta có