Bài tập Hình học Lớp 10 - Chủ đề 8: Vectơ
Vấn đề cần nắm:
1. Định nghĩa và các phép toán vectơ
2. Các quy tắc và kết quả ứng dụng vectơ
3. Trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
94 trang
01/06/2022
4041
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 10 - Chủ đề 8: Vectơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Vấn đề cần nắm: 1. Định nghĩa và các phép toán vectơ 2. Các quy tắc và kết quả ứng dụng vectơ 3. Trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng VECTƠChủ đề 8 Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến thức vectơ và tọa độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc đại số quan trọng được dùng trong nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn đề trong hình học phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian. §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A. Lý thuyết 1. Các định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là . + Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ. Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. STUDY TIP - Độ dài vectơ là một số không âm. - Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh. - Khi nhắc đến vectơ là ta nói tới điểm đặt, giá, phương, chiều, độ lớn vectơ đó. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, độ dài vủa vectơ kí hiệu là . Hai vectơ và được gọi là cùng phương nếu giá của chúungsong song hoặc trùng nhau. + Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu . + Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. + Mọi vectơ đều bằng nhau và . + Giá của vectơ-không là mọi đường thẳng đi qua nó. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu . + Khi cho trước vectơ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . 2. Các phép toán trên vectơ a. Tổng của hai vectơ Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: . + Quy tắc mở rộng cho n điểm ta có: + Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: . STUDY TIP - Có thể phân tich một vectơ bằng tổng của nhiều vectơ bằng cách chèn điểm theo quy tắc phép cộng. chung điểm đầu thì dồn ra phía trước. chung điểm cuối thì dồn ra phía sau. Tính chất: với ba vectơ tùy ý + (tính chất giao hoán); + (tính chất kết hợp); + (tính chất vectơ – không). b. Hiệu của hai vectơ Vectơ đối: vectơ là vectơ đối của nếu và là hai vectơ ngược hướng. Kí hiệu . + Vectơ đối của là . + . +. Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: . c) Tích của một vectơ với một số Cho vectơ và số . là một vectơ được xác định như sau: + cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu . +. Tính chất: Với các vectơ tùy ý và . + + + + + hoặc . Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số . * Chú ý: Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có: (M tùy ý). Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G là trọng tâm ta có: STUDY TIP - Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác với các hệ thức là các trường hợp riêng của tâm tỉ cự (M tùy ý). Tâm tỉ cự: Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với hệ số mà khi Dạng 1 B. Các dạng toán điển hình Các bài toán về khái niệm vectơ Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau - Xác định sự cùng phương, cùng hướng của các vectơ. - Áp dụng tính chất hình học của các hình trong hình học phẳng để giải toán. STUDY TIP -Với hình n giác ta lập được vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của n giác. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 Lời giải Ta có các vectơ: Đáp án B. Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương và . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ và B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ và C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ D. Cả A, B, C đều sai STUDY TIP - Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng chiều và cùng độ dài. - Hai vectơ cùng chiều thì cùng phương nhưng hai vectơ cùng phương thì chưa chắc đã cùng chiều. Lời giải Vì vectơ cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ . Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải Các vectơ cùng phương với vectơ là: Đáp án B. Ví dụ 4: Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. B. C. D. Lời giải Ta có (do cùng song song và bằng ). Do đó MNPQ là hình bình hành. Đáp án D. Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. B. và cùng hướng C. và ngược hướng D. và cùng phương Lời giải Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có cùng phương. Đáp án D. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. và B. và C. và D. và Lời giải Ta có BD là đường kính . (1) Ta lại có (2) Từ (1) và (2) tứ giác HADC là hình bình hành . Đáp án C. Ví dụ 7: Cho với điểm M nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua . Câu nào sau đây đúng? A. và B. và C. và D. và Lời giải Ta có là hình bình hành Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành là hình bình hành . Đáp án B. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Biến đổi vế này thành vế kia. - Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đã biết hiển nhiên đúng. - Từ một đẳng thức đúng biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai: A. B. C. D. Lời giải + Tứ giác AMCN là hình bình hành A đúng. + ABCD là hình bình hành B đúng. + đúng. Đáp án D. Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. B. C. D. Lời giải + Ta có: đúng. + đúng. + C đúng. + (mâu thuẫn giả thiết) D sai. Đáp án D. Ví dụ 3: Cho với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Lời giải Ta có (1) Gọi I là trung điểm BC, đối xứng với A qua O. Dễ thấy là hình bình hành (2) Từ (1) và (2) . Đáp án C. Ví dụ 4: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. B. C. D. Lời giải + B đúng vì + C đúng vì + D đúng vì Đáp án A. Ví dụ 5: Cho , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Lời giải Kẻ . Áp dụng định lí Ta-lét ta có . Đáp án A. Ví dụ 6: Cho , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. B. C. D. Lời giải Ta có: (1) Tương tự (2) (3) Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A. Đáp án A. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Lời giải Qua M kẻ các đường thẳng Các tam giác đều Ta có: . Đáp án D. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: - Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm biến đổi đẳng thức đã cho về dạng trong đó đã biết trước. - Bước 2: Dựng điểm M, dựng một vectơ bằng vectơ , điểm cuối của vectơ chính là M. * Chú ý: + Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số và với điểm O tùy ý thì + Điều kiện cần và đủ để và cùng trọng tâm là . Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho . A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho C. Điểm I là trung điểm đoạn AB D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và . Lời giải . Vậy I thuộc đoạn AB sao cho . Đáp án B. Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho . A. B. C. D. Đáp án B. Ví dụ 3: Cho có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho: . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC. B. Điểm M là trung điểm cạnh GC. C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4. D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn . Lời giải Đáp án D. Ví dụ 4: Cho , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn xác định bởi hệ thức: A. B. C. D. Lời giải Ta có: Đáp án C. Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn: . A. Điểm N là trung điểm cạnh AB B. Điểm C là trung điểm cạnh BN C. Điểm C là trung điểm cạnh AM D. Điểm B là trung điểm cạnh NC Lời giải Ta có là hình bình hành là trung điểm cạnh BN. Đáp án B. Ví dụ 6: Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho . Xét các mệnh đề: (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn . (II) . (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB. Trong các mệnh đề trên thì: A. (I) và (III) tương đương nhau B. (II) và (III) tương đương nhau C. (I) và (II) tương đương nhau D. (I), (II), (III) tương đương nhau Lời giải Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB. Đáp án C. Ví dụ 7: Cho với . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức thì: A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp . C. Điểm I là trực tâm của . D. Điểm I là trọng tâm của . Lời giải Lấy sao cho hay là đường phân giác. Ta có: I thuộc đoạn và I là tâm đường tròn nội tiếp . Đáp án B. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Phương pháp: - Nếu với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường trung trực của AB. - Nếu với A cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A bán kính . - Nếu với A, B cố định cho trước thì M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính . - Nếu với A, B cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng AB. - Nếu với A, B, C cố định, k là số thực thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC. - Nếu với A, B, C, D cố định cho trước thì tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ví dụ 1: Gọi G là trọng tâm của . Tập hợp điểm M sao cho là: A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B. Đường tròn tâm G bán kính là 1. C. Đường tròn tâm G bán kính là 2. D. Đường tròn tâm G bán kính là 6. Lời giải Ta có Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2. Đáp án C. Ví dụ 2: Cho có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M sao cho: là: A. đường trung trực của đoạn GI B. đường tròn ngoại tiếp C. đường thẳng GI D. đường trung trực của đoạn AI Lời giải Ta có: Tập hợp điểm M là trung trực của GI. Đáp án A. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức là A. một đoạn thẳng B. một đường tròn C. một điểm D. tập hợp rỗng Lời giải Ta có: với I, J là trung điểm của AB, CD Không có điểm M nào thỏa mãn. Đáp án D. Ví dụ 4: Trên đường tròn lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi M là điểm di động sao cho . Khi đó tập hợp điểm M là: A. đường tròn tâm O bán kính 2R. B. đường tròn tâm A bán kính R C. đường thẳng song song với OA D. đường tròn tâm C bán kính Lời giải Từ giả thiết O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A bán kính R. Đáp án B. Ví dụ 5: Cho và điểm M thỏa mãn đẳng thức: . Tập hợp điểm M là A. một đoạn thẳng B. nửa đường tròn C. một đường tròn D. một đường thẳng Lời giải Gọi E là trung điểm của AC Gọi I là điểm thỏa mãn Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . Đáp án C. Ví dụ 6: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: A. là một đường tròn có bán kính là B. là một đường tròn có bán kính là C. là một đường thẳng qua A và song song với BC D. là một điểm Lời giải Chọn điểm I sao cho Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . Đáp án B. Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức: , k là giá trị thay đổi trên . A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng. B. Tập hợp điểm M là một đường tròn. C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng. D. Tập hợp điểm M là một nửa đường tròn. Lời giải Từ giả thiết (*) Gọi I, K là các điểm sao cho Thì I, K là các điểm cố định: Từ (*) Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng. Đáp án C. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Sự thẳng hàng, song song 1. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương Phương pháp: Cách 1: Từ giả thiết đã cho xác định tính chất hình học rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu hai vectơ, quy tắc hình bình hành, Cách 2: Chuyển điều kiện ràng buộc thành hệ phương trình và giải hệ điều kiện đó. 2. Sự thẳng hàng, song song Phương pháp: + Ba điểm A, B, C thẳng hàng + Ba điểm A, B, C thẳng hàng với + Ví dụ 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của . Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ và . A. B. C. D. Lời giải Cách 1: Ta có: (vì ) Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho , với Ta có (*) Do không cùng phương (*) . Đáp án A. Ví dụ 2: Cho vuông cân, . Khi đó vectơ được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải Theo hình vẽ Chọn đáp án D. Đáp án D. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho . Gọi G là trọng tâm của . Hãy phân tích theo hai vectơ . A. B. C. D. Lời giải Ta có mà . Đáp án C. Ví dụ 4: Cho . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho và J là điểm trên tia đối của BC sao cho . Tính theo . A. B. C. D. Lời giải Ta có: . Ta lại có: Đáp án A. Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho , , . Hãy biểu diễn theo hai vectơ và . A. B. C. D. Lời giải Với điểm O bất kì: Tương tự Đáp án C. Ví dụ 6: Cho có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên AC sao cho . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng. A. B. C. D. Lời giải Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) thẳng hàng. Đáp án B. Ví dụ 7: Cho là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn . Tìm m để A, K, D thẳng hàng. A. B. C. D. Lời giải Ta có: A, K, D thẳng hàng (1) Mà nên (2) Từ (1) và (2) . Đáp án B. Ví dụ 8: Cho . Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức , . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để . A. B. C. D. Lời giải Ta có: và Ta có: là hình bình hành hay Chọn đáp án A. Đáp án A. Ví dụ 9: Cho và N xác định bởi , . Trọng tâm là G. Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho . Các đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, G, N, P thẳng hàng. A. và B. và C. và D. và Lời giải + Ta có: Tương tự: . Vậy + Gọi E là trung điểm (1) (2) Từ (1) và (2) . Đáp án A. Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của và . Đẳng thức nào là điều kiện cần và đủ để . A. B. C. D. . Lời giải Gọi M là trung điểm ĐƯỢC. Ta có: . Đáp án A. Ví dụ 11: Cho . Gọi M là điểm thuộc cạnh cạnh AC sao cho , . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số và tương ứng. A. và B. và C. và D. và Lời giải Giả sử: Tương tự: Và chỉ biểu diễn duy nhất qua và . Đáp án A. Ví dụ 12: Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho . Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Tính tỉ số và theo k. A. B. C. D. Lời giải Đặt Ta có: Vì (1) Mặt khác: Vì: (2) Từ (1), (2) Đáp án B. Xác định và tính độ dài vectơ Phương pháp: - Vẽ hình xác định các vectơ thông qua các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. - Áp dụng các công thức hình học để tính độ dài vectơ. - Để tính độ dài thì ta đi rút gọn biểu thức vectơ rồi tính độ dài. - Áp dụng vectơ giải một số bài toán thực tế. Ví dụ 1: Cho . Vectơ được vẽ đúng ở hình nào sau đây? A. B. C. D. Lời giải Vì Đáp án A. Ví dụ 2: Cho tam giác vuông tại A có , . Khi đó độ dài là: A. 4 B. 8 C. D. Lời giải Ta có: . Đáp án C. Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và . Tính . A. B. C. D. Lời giải Đáp án B. Ví dụ 4: Cho 2 vectơ và tạo với nhau góc 60°. Biết . Tính A. B. C. D. Lời giải Dựng Dựng hình bình hành OACB vuông tại . Đáp án B. Ví dụ 5: Cho tam giác vuông cân OAB với . Tính độ dài vectơ . A. 2a B. C. D. Lời giải Biểu diễn vectơ theo 2 vectơ . Áp dụng Pitago ta có: . Đáp án B. Ví dụ 6: Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lực và như hình vẽ. Xác định hướng di chuyển của (Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của và . Biết và góc giữa và là 60°. A. B. C. D. Lời giải Đặt Ta có: là đều , với . Đáp án D. Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho , . Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó: A. B. C. D. Lời giải (vì và cùng hướng) Đáp án A. Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ: A. B. C. D. Lời giải . Đáp án B. Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho . Điểm M di động trên BC sao cho . Tìm x sao cho độ dài vectơ đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. Lời giải Dựng hình bình hành AGCE. Ta có Kẻ Do đó: nhỏ nhất khi . Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của B trên BC. Ta có Mặt khác: là đường trung bình của . Đáp án B. Ví dụ 10: Cho đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài . A. B. C. D. Lời giải Gọi N là trung điểm của AB, Q là điểm đối xứng với A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN. Gọi L là hình chiếu của A trên PN. Xét tam giác vuông ANL có: Xét tam giác vuông APL có: . Đáp án B. Dạng 1: Các bài toán về khái niệm vectơ Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 Câu 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho: A. 4 B. 20 C. 10 D. 12 Câu 3: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với ? A. B. C. D. Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng phương với . A. B. C. D. Câu 6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của vectơ . A. B. C. D. Câu 7: Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ cùng hướng khi và chỉ khi: A. Điểm B thuộc đoạn AC B. Điểm A thuộc đoạn BC C. Điểm C thuộc đoạn AB D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC Câu 8: Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 9: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC nhọn thì cùng hướng. B. luôn cùng hướng. C. cùng phương nhưng ngược hướng. D. có cùng giá Câu 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 11: Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và . Kết luận nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 12: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để A. ABCD là hình bình hành B. ACBD là hình bình hành C. AD và BC có cùng trung điểm D. và Câu 13: Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 14: Cho vectơ và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn . A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số Câu 15: Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. B. C. D. Câu 16: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết . Chọn câu đúng. A. B. C. D. Câu 17: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. Câu nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 18: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới . Xét mệnh đề: (I) (II) (III) Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I) B. (I) và (III) C. (I), (II), (III) D. Chỉ (III) Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai? A. Có 2 vectơ bằng B. Có 4 vectơ bằng C. Có 2 vectơ bằng D. Có 5 vectơ bằng Câu 20: Nếu thì: A. tam giác ABC là tam giác cân B. tam giác ABC là tam giác đều C. A là trung điểm đoạn BC D. điểm B trùng với điểm C Câu 21: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? A. và B. và C. và D. và Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Câu 22: Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 23: Cho lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 24: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau: A. B. C. D. Câu 25: Cho , các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 26: Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 27: Cho hai tam giác và có trọng tâm lần lượt là G và . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 28: Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 29: Cho và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng? A. B. C. D. Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng. A. B. C. D. Câu 31: Cho có trọng tâm G. Gọi lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng thức sai. A. B. C. D. Câu 32: Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng. A. B. C. D. Câu 33: Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các mệnh đề: (I) (II) (III) Mệnh đề sai là: A. (I) và (II) B. (II) và (III) C. Chỉ (I) D. Tất cả đều sai Câu 34: Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho . Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Câu 35: Cho và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt , . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. B. C. D. Câu 36: Cho với . I là tâm đường tròn nội tiếp , đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 37: Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm M sao cho A. M ở vị trí bất kì B. M là trung điểm của AB C. Không tìm được M D. M nằm trên đường trung trực của AB Câu 38: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm M. A. B. C. D. Câu 39: Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho . Tìm k để . A. B. C. D. Câu 40: Cho . Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho . Điểm M được vẽ đúng trong hình nào sau đây? A. B. C. D. Câu 41: Cho . Xác định điểm I sao cho: . A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2 Câu 42: Cho có M là trung điểm AB và N trên cạnh AC sao cho . Xác định điểm K sao cho . A. Điểm K là trung điểm cạnh AM B. Điểm K là trung điểm cạnh BN C. Điểm K là trung điểm cạnh BC D. Điểm K là trung điểm cạnh MN Câu 43: Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn: . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC B. Điểm M là trung điểm cạnh BD C. Điểm C là trung điểm cạnh AM D. Điểm B là trung điểm cạnh MC Câu 44: Cho . Tìm điểm N sao cho: . A. N là trọng tâm B. N là trung điểm của BC C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm 2 cạnh Câu 45: Cho . Xác định điểm M sao cho: . A. M là trung điểm cạnh AB B. M là trung điểm cạnh BC C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2 D. M là trọng tâm Câu 46: Cho có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn . Khi đó điểm M thỏa mãn hệ thức nào sau đây? A. B. C. D. Câu 47: Gọi G là trọng tâm . Nối điểm M thỏa mãn hệ thức thì M ở vị trí nào trong hình vẽ: A. Miền (1) B. Miền (2) C. Miền (3) D. Ở ngoài Câu 48: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa mãn đẳng thức . Khi đó điểm M trùng với điểm: A. O B. I là trung điểm đoạn OA C. I là trung điểm đoạn OC D. C Câu 49: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi điểm M thỏa mãn đẳng thức ; . Nếu M là trọng tâm thì thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. B. C. D. Cả A, B, C đều đúng Câu 50: Cho . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức với M tùy ý, thì D là đỉnh của hình bình hành: A. ABCD B. ACBD C. ABED với E là trung điểm của BC D. ACED với B là trung điểm của EC Câu 51: Cho đoạn AB và điểm I sao cho . Tìm số sao cho . A. B. C. D. Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Câu 52: Cho . Tập hợp các điểm M thỏa mãn là: A. một đường tròn tâm C B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB) C. một đường thẳng song song với AB D. là đường thẳng trung trực của BC Câu 53: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn là: A. đường tròn tâm O bán kính là B. đường tròn đi qua A, B, C, D C. đường trung trực của AB D. tập rỗng Câu 54: Cho trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, AB, CA. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn là: A. đường tròn tâm I bán kính B. đường tròn tâm G bán kính C. đường tròn tâm G bán kính D. trung trực AC Câu 56: Cho đường tròn và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm sao cho , lúc đó: A. Khi M chạy trên thì chạy trên đường thẳng AB B. Khi M chạy trên thì chạy trên đường thẳng đối xứng với AB qua O C. Khi M chạy trên thì chạy trên một đường tròn cố định D. Khi M chạy trên thì chạy trên một đường tròn cố định bán kính R Câu 57: Cho . Tìm tập hợp điểm M sao cho với A. là một đoạn thẳng B. là một đường thẳng C. là một đường tròn D. là một điểm Câu 58: Cho . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: là: A. đường thẳng qua A B. đường thẳng qua B và C C. đường tròn D. một điểm duy nhất Câu 59: Tập hợp điểm M mà , là: A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A D. đường trung trực của AB Câu 60: Cho . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: A. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính B. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính C. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính D. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính Câu 61: Cho . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện: . A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính D. Với H là điểm thỏa mãn thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB với E là trung điểm của AB Câu 62: Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá điểm M, N sao cho . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. A. Tập hợp điểm I là đường thẳng với O và lần lượt là trung điểm của B. Tập hợp điểm I là đường thẳng với O và lần lượt là trung điểm của C. Tập hợp điểm I là đường thẳng với O và lần lượt là trung điểm của D. Cả A, B, C đều sai. Câu 63: Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm M sao cho nhận giá trị nhỏ nhất. A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng C. Tập hợp điểm M là một đường tròn D. Là một điểm Câu 64: Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: là: A. đường thẳng B. đường tròn C. đoạn thẳng D. một điểm Dạng 5: Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Sự thẳng hàng, song song Câu 65: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây? A. B. C. D. Câu 66: Cho . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích theo hai vectơ là . A. B. C. D. Câu 67: Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao cho . A. B. C. D. Câu 68: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm BC, CD. Biết . Biểu diễn theo A. B. C. D. Câu 69: Cho có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho và J là điểm trên BC kéo dài sao cho . Tính theo và A. B. C. D. Câu 70: Cho . Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích vectơ theo A. B. C. D. Câu 71: Cho . Diểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích theo . A. B. C. D. Câu 72: Cho với M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để . A. B. C. D. Câu 73: Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại các điểm E, F và M. Biết rẳng , . Hãy biểu diễn qua và m, n. A. B. C. D. Câu 74: Cho . Trên BC lấy điểm D sao cho . Khi đó phân tích theo các vectơ và . A. B. C. D. Câu 75: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thỏa mãn hệ thức và . Tìm hai số p,q sao cho . A. B. C. D. Câu 76: Cho . Lấy các điểm M, N, P sao cho . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng. A. B. C. D. Câu 77: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho , . Gọi G là trọng tâm của . Gọi I là điểm xác định bởi . Xác định m để AI đi qua G. A. B. C. D. Câu
Tài liệu đính kèm:
- bai_tap_hinh_hoc_lop_10_chu_de_8_vecto.docx
