Bài tập Đại số 10 - Chương 3: Hàm số bậc hai

HÀM SỐ BẬC HAI
Dẫn dắt vấn đề 
Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Hàm số bậc hai 
Hàm số bậc hai cho bởi công thức . Tập xác định của hàm số .
Đồ thị hàm số bậc hai:
1. Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc hai là một Parabol có:
 - Đỉnh .
- Trục đối xứng: .
- Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, bề lõm quay xuống dưới nếu a < 0.
2. Cách vẽ đường Parabol: 
1. Xác định tọa độ đỉnh 
2. Vẽ trục đối xứng .
3. Lập bảng giá trị: tọa độ đỉnh của (P), tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)), tọa độ một số điểm khác thuộc đồ thị.
4. Vẽ Parabol.
Sự biến thiên của hàm số bậc hai:
Bảng biến thiên
Với 
x
y
Hàm số với nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng , có giá trị nhỏ nhất là đạt tại .
Với 
x
y
 Hàm số với , đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng , có giá trị lớn nhất là đạt tại .
Ví dụ: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
Tập xác định của hàm số là .
Đồ thị hàm số là một parabol có:
Đỉnh . Trục đối xứng .
Bảng biến thiên
x
 2 
y
Một số điểm đặc biệt
x
0
1
2
2
3
y
3
0
- 1
0
3
Giải bài toán 
Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
Lời giải
Gắn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia là chiều dương của trục hoành (hình vẽ).
Parabol có phương trình , đi qua các điểm: và nên ta có hệ
Suy ra chiều cao của cổng là m.
 Bài tập
Bài 1. Xác định parabol (P): biết rằng (P):
Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3).
Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng .
Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng .
Bài 2. Xác định hàm số bậc hai (P):biết rằng (P):
Có trục đối xứng là đường thẳng và cắt trục tung tại điểm A(0,3).
Có đỉnh là I(-1;-2).
Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(-1;2).
Bài 3. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. 	b. 	c. 
Bài 4. Cho (P): 
Vẽ (P).
Tìm tất cả các giá trị x sao cho .
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a. 	b. .	
c. với 	d. với .
Bài 6. Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định.
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số:
a. luôn đồng biến trên khoảng .
b. luôn nghịch biến trên khoảng .
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. trên [0;3] bằng 4.
b. trên [0;1] bằng 1.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.	Gọi là tập các giá trị để parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng . Tính tổng các giá trị của tập 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2.	Xác định hàm số biết đồ thị của nó có đỉnh và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3.	Cho Parabol (P): có đỉnh và cắt trục tại điểm . Khi đó Parabol (P) có hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. 
Câu 4.	Cho parabol . Điểm nào sau đây là đỉnh của ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Trên khoảng hàm số đồng biến.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
C. Trên khoảng hàm số nghịch biến.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Câu 6.	Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ?
A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 7.	Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số 
A. Hình .	B. Hình .	C. Hình .	D. Hình .
Câu 8.	Bảng biến thi của hàm số là bảng nào sau đây?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 9.	Nếu hàm số có và thì đồ thị hàm số của nó có dạng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	Cho hàm số thì đồ thị (P) của hàm số là hình nào trong các hình sau:
A. Hình (4).	B. Hình (2).	C. Hình (3).	D. Hình (1)
Câu 11.	Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
`
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là:
A. 	B. 0	C. 	D. 
Câu 14.	Giá trị lớn nhất của hàm số bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15.	Tìm giá trị thực của tham số để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng trên 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16.	Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng khi thuộc
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17.	Cho hai parabol có phương trình và . Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B (). Tính độ dài đoạn thẳng AB. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18.	Hàm số có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị để phương trình vô nghiệm.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19.	Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung?
A. 6	B. 5	C. 7	D. 8
Câu 20. Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng và chiều cao như hình vẽ. Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang đi vào vị trí chính giữa cổng. Hỏi chiều cao của xe tải thỏa mãn điều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?
A. .	B. .	C. .	D. .