Giáo án Toán 10 - Chương 4: Vectơ - Năm học 2022-2023 - Lê Quang Hải - Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai

Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
KHÁI NIỆM VÉCTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ 
A. Kiến thức cơ bản 
1. Các định nghĩa 
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . 
- Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. 
- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . 
- Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . 
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 
- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 
- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. 
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu , ,...a b để biểu diễn vectơ. 
 + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 
2. Các phép toán trên vectơ 
a) Tổng của hai vectơ 
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC . 
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC . 
Tính chất: a b b a ; a b c a b c ; 0 a a 
b) Hiệu của hai vectơ 
Vectơ đối của a là vectơ b sao cho 0 a b . Kí hiệu vectơ đối của a là a . 
Vectơ đối của 0 là 0 . 
Hiệu của hai vectơ : a b a b . 
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB . 
c) Tích của một vectơ với một số 
Cho vectơ a và số k R. ka là một vectơ được xác định như sau: 
 + ka cùng hướng với a nếu k 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. 
 + . ka k a . 
Tính chất: + k a b ka kb ; ( ) k l a ka la ; ( ) k la kl a ; 
+ 0 ka k = 0 hoặc 0 a . 
- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: 0 :a vaø b a cuøng phöông k R b ka  
- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k 0: AB k AC . 
- Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng 
phương ,a b và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n R: x ma nb . 
Chú ý: 
- Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
M là trung điểm của đoạn thẳng AB 0 MA MB 2 OA OB OM (O tuỳ ý). 
- Hệ thức trọng tâm tam giác: 
G là trọng tâm ABC 0 GA GB GC 3 OA OB OC OG (O tuỳ ý). 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ 
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ,AC BD . Xét 
các cặp vectơ: AB và DC , DA và BC , BC và CD , OA và CO , BO và DO . 
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ trong mỗi cặp trên. 
b) Trong các cặp trên, có bao nhiêu cặp gồm hai vectơ bằng nhau? 
Giải 
a) Do tứ giác ABCD là hình thoi, nên các cặp cạnh đối diện 
song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm của mỗi đường. Từ đó 
- Hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ DA và BC ngược hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ BC và CD không cùng phương nhưng có độ dài 
bằng nhau. 
- Hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài. 
- Hai vectơ BO và DO cùng độ dài, nhưng ngược hướng. 
b) Theo kết quả câu a) 
- Do hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài, nên AB DC . 
- Do hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài, nên OA CO . 
- Do hai vectơ DA và BC có cùng độ dài, nhưng ngược hướng nên DA và BC không 
bằng nhau. Tương tự BO và DO không bằng nhau. 
- Do hai vectơ BC và CD không cùng phương, vì vậy BC và CD không bằng nhau. 
Vậy trong những cặp vectơ được xét, có 2 cặp gồm hai vectơ bằng nhau, đó là AB và 
DC ; OA và CO . 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu 
và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? 
Bài 2. Cho ABC có A , B , C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. 
 a) Chứng minh: BC C A A B . 
 b) Tìm các vectơ bằng , B C C A . 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, 
AD, BC. Chứng minh: ; MP QN MQ PN . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ 
Phương pháp giải: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo 
hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: 
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. 
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. 
– Tính chất của các hình. 
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB a , 2 AD a . 
a) Tính độ dài của vectơ DC BD AB . 
b) Xác định điểm M sao cho DC BD AB BM . 
Giải 
a) Do hình chữ nhật ABCD có , 2 AB a AD a nên độ dài 
của hai đường chéo: 
2
2 2 3. AC BD a a a 
Theo tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng vectơ, ta có: 
 DC BD AB AB BD DC AB BD DC AD DC AC . 
Do đó 3 DC BD AB AC a . 
b) Do DC BD AB AC nên DC BD AB BM 
 AC BM 
Ta có: AC BM tương đương với tứ giác ABMC là hình bình 
hành. Từ đó CM AB DC . 
Vậy điểm M cần tìm đối xứng với điểm D qua C . 
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O , Độ dài các cạnh bằng 1 
a) Chứng minh rằng 0 OA OB OC OD OE OF 
b) Tính độ dài của các vec tơ AB OE , AB CD EF . 
Giải 
a) Do O là tâm của lục giác đều ABCDEF nên O là trung điểm 
của các đường chéo , ,AD BE CF 
Khi đó 0, 0, 0 OA OD OB OE OF OC 
Suy ra 0 OA OB OC OD OE OF . 
b) AB OE FO OE FE 
Từ đó, do độ dài các cạnh của lục giác ABCDEF bằng 1 nên 1 AB OE EF . 
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: 
a) AB DC AC DB b) AD BE CF AE BF CD . 
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng 
minh: 
a) Nếu AB CD thì AC BD b) 2 AC BD AD BC IJ . 
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: 0 GA GB GC GD . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng 
minh: 2( ) 3 AB AI JA DA DB . 
Bài 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. 
Chứng minh: 0 RJ IQ PS . 
Bài 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. 
a) Chứng minh: 2 0 IA IB IC . 
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2 4 OA OB OC OI . 
Bài 6. Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: 
a) 2 AH OM b) 2 HA HB HC HO c) OA OB OC OH . 
Bài 7. Cho hai tam giác ABC và A B C lần lượt có các trọng tâm là G và G . 
a) Chứng minh 3 AA BB CC GG . 
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. 
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: 
1 2
3 3
 AM AB AC . 
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là 
điểm thuộc AC sao cho 2 CN NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh: 
a) 
1 1
4 6
 AK AB AC b) 
1 1
4 3
 KD AB AC . 
Bài 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh 
rằng: 
a) 
1
2
 AM OB OA b) 
1
2
 BN OC OB c) 
1
2
 MN OC OB . 
Bài 10. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: 
a) 
2 4
3 3
 AB CM BN b) 
4 2
3 3
 AC CM BN c) 
1 1
3 3
 MN BN CM . 
Bài 11. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. 
a) Chứng minh: 
2 1
3 3
 AH AC AB và 
1
3
 CH AB AC . 
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: 
1 5
6 6
 MH AC AB . 
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD, đặt , AB a AD b . Gọi I là trung điểm của CD, G 
là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ ,BI AG theo ,a b . 
Bài 13. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích 
vectơ AM theo các vectơ , ,OA OB OC . 
Bài 14. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P 
sao cho 3 , 3 , 0 MB MC NA CN PA PB . 
a) Tính ,PM PN theo ,AB AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
Phương pháp giải: Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với 
hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a , trong đó O 
và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: 
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. 
– Hình bình hành. 
– Trung điểm của đoạn thẳng. 
– Trọng tâm tam giác, 
Bài 1. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 0 MA MB MC . 
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường 
thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. 
a) Chứng minh: BN BA MB . 
b) Tìm các điểm D, C sao cho: ; NA NI ND NM BN NC . 
 Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. 
a) Chứng minh rằng: 2 AB AC AD AC . 
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM AB AC AD . 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 
a) Chứng minh: 
1
( )
2
 MN AB DC . 
b) Xác định điểm O sao cho: 0 OA OB OC OD . 
Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là 
trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: 4 SA SB SC SD SO . 
Bài 6. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a) 2 3 0 IB IC b) 2 JA JC JB CA 
c) 2 KA KB KC BC d) 3 2 0 LA LB LC . 
Bài 7. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a) 2 3 3 IA IB BC b) 2 0 JA JB JC 
c) KA KB KC BC d) 2 2 LA LC AB AC . 
Bài 8. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: 
a) IA IB IC BC b) FA FB FC AB AC 
c) 3 0 KA KB KC d) 3 2 0 LA LB LC . 
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các 
đẳng thức sau: 
a) 4 IA IB IC ID b) 2 2 3 FA FB FC FD 
c) 4 3 2 0 KA KB KC KD . 
 Bài 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. 
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB , ME MA BC , 
 MF MB CA . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MF . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau 
Phương pháp chứng minh: 
- Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng 
thức AB k AC , với k 0. 
- Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức 
 OM ON , với O là một điểm nào đó hoặc 0 MN . 
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : 2 3 0 OA OB OC . Chứng tỏ rằng A, B, C 
thẳng hàng. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: 
1 1
,
5 6
 BH BC BK BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 
Hướng dẫn: ; BH AH AB BK AK AB . 
Bài 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: 2 IB IC , 
1
2
 JC JA , 
 KA KB . 
a) Tính , , ACIJ IK theo AB . (Hướng dẫn: 
4
3
 IJ AB AC ) 
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (Hướng dẫn: J là trọng tâm AIB). 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, 
N, P sao cho 3 MB MC , 3 NA CN , 0 PA PB . 
a) Tính ,PM PN theo ,AB AC . 
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. 
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao 
cho AD = 
1
2
AF, AB = 
1
2
AE. Chứng minh: 
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. 
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. 
Bài 6. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: 3 0 IA IC , 2 3 0 JA JB JC . 
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng. 
Bài 7. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3 4 0 MA MB , 3 0 NB NC . 
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC. 
Cho ABC. Lấy các điểm M N, P: 2 2 0 MB MC NA NC PA PB 
a) Tính , ,PM PN theo AB AC . 
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho 
 BD DE EC . 
a) Chứng minh AB AC AD AE . 
b) Tính AS AB AD AC AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi 
đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: 
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của 
đoạn thẳng đó. 
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là 
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi. 
Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
a) MA MB MA MB b) 2 2 MA MB MA MB . 
Hướng dẫn: a) Đường tròn đường kính AB; b) Trung trực của AB. 
Bài 2. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
a) 
3
2
 MA MB MC MB MC b) MA BC MA MB 
c) 2 4 MA MB MB MC d) 4 2 MA MB MC MA MB MC . 
Hướng dẫn: 
a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC). 
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. 
Bài 3. Cho ABC. 
a) Xác định điểm I sao cho: 3 2 0 IA IB IC . 
b) Xác định điểm D sao cho: 3 2 0 DB DC . 
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. 
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 3 2 2 MA MB MC MA MB MC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Trục toạ độ, toạ độ đối với trục 
Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng, mà trên đó đã xác định một 
điểm O và một vectơ e có độ dài bằng 1 . Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ e gọi là 
vectơ đơn vị của trục. 
Điểm M trên trục biểu diễn số 0x nếu 0 OM x e 
2. Hệ trục tọa độ, tọa độ đối với hệ trục tọa độ 
Hệ trục toạ độ là một hệ gồm hai trục Ox (với vectơ đơn vị 
i ) và trục Oy (với vectơ đơn vị j ) vuông góc với nhau tại 
gốc chung O . Trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được 
gọi là trục tung. 
Với mỗi vectơ u trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số 
thực 0 0;x y sao cho 0 0 u x i y j . 
Cặp số 0 0;x y ở đây được gọi là toạ độ của vectơ u đối 
với hệ trục. Ta viết 0 0; u x y hay 0 0;u x y để chỉ rằng 
vectơ u có tọa độ là 0 0;x y đối với hệ trục toạ độ. Các số 0 0,x y tương ứng gọi là hoành 
độ, tung độ của vectơ u . 
Nếu điểm M có toạ độ 0 0;x y thì vectơ OM có toạ độ 0 0;x y và 
2 2
0 0 OM x y . 
Với hai điểm ( ; )M x y và ; N x y thì ; MN x x y y và khoảng cách giữa hai 
điểm ,M N bằng 
2 2
| | MN MN x x y y . 
3. Tính chất 
Cho hai vectơ ; , ; u x y v x y và cho số thực k . Khi đó 
 ; ; ; ; ; u v x x y y u v x x y y ku kx ky 
; 
.
x x x x
u v u v
y y y y
4. Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ 
Vectơ ;v x y cùng phương với vectơ ; 0 u x y khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho 
 x kx và y ky . 
5. Tọa độ trung điểm 
Cho hai điểm 1 2 1 2; , ;A a a B b b . Khi đó trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ 
1 1 2 2;
2 2
a b a b
M . 
6. Tọa độ trọng tâm tam giác 
Cho tam giác ABC với 1 2 1 2 1 2; , ; , ;A a a B b b C c c . Khi đó trọng tâm G của tam giác 
ABC có toạ độ 1 1 1 2 2 2;
3 3
a b c a b c
G . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm 1;2A và 3; 4 B . 
a) Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn AB . 
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA NB . 
Giải 
a) Gọi ;M x y là trung điểm của AB . Khi đó 
1 3
2
2
2 4
1
2
x
y
suy ra 2; 1 M . 
b) Do 2 NA NB nên 2 1 2 OA OB ON ON , suy ra 2 ON OB OA. 
Từ đó, do 1;2 OA , 3; 4 OB nên 5; 10 ON . Vậy 5; 10 N . 
Nhận xét 
Một cách khái quát, với hai điểm 1 2 1 2; , ;A a a B b b thì điểm P thoả mãn PA kPB 
 1 k có toạ độ 1 1 2 2;
1 1
a kb a kb
k k
. 
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm 2; 1 , 1;4 A B và 2;3 C . 
a) Chứng minh rằng , ,A B C là ba đỉnh của một tam giác. 
b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . 
Giải 
a) Từ giả thiết suy ra 1;5 , 4;4 AB AC . Do 
1 5
4 4
 nên các vectơ AB và AC 
không cùng phương. Suy ra , ,A B C là ba đỉnh của một tam giác. 
b) Gọi ;G x y là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó 
2 1 2 1
3 3
1 4 3
2.
3
x
y
. 
suy ra 
1
;2
3
G . 
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm ,A B thoả mãn 2 3 OA i j , 
3 2 OB i j . 
a) Chứng minh rằng , ,O A B không thẳng hàng. 
b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành. 
c) Tìm tọa độ của điểm D thuộc trục hoành sao cho DA DB . 
Giải 
a) Từ giả thiết suy ra 2; 3 OA và 3;2 OB . Vì 
2 3
3 2
 nên hai vectơ OA và OB 
không cùng phương, hay , ,O A B không thẳng hàng. 
b) Từ giả thiết suy ra 1;5 AB . Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là 
hình bình hành. Khi đó do OC AB nên 1;5 OC . Suy ra 1;5C . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
c) Xét điểm ;0 D d Ox . Khi đó 
2 2
2 9, 3 4 DA d DB d . 
Suy ra 
2 22 2 2 9 3 4 0 DA DB DA DB d d d . 
Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ 0;0O . 
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm (1;2)A và (3; 4) B . Tìm toạ độ của 
điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất. 
Giải 
Xét điểm 0; C c Oy . Khi đó 1;2 CA c và 3; 4 CB c . 
Do đó 4; 2 2 CA CB c , suy ra 
2
16 4 1 CA CB c . 
Do 
2
1 0 c c , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 c , nên 4 CA CB , đẳng 
thức xảy ra khi và chỉ khi 1 c . Vậy với điểm 0; 1 C Oy thì vectơ CA CB có 
độ dài ngắn nhất. 
Nhận xét 
- Với mỗi điểm C đều có 2 CA CB CI , với I là trung điểm AB . Suy ra vectơ 
 CA CB có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do 
C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung. 
- Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm C thuộc đường thẳng sao cho vectơ 
  CA CB có độ dài ngắn nhất, với ,  là hai hằng số cho trước. 
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên hệ trục 
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: 
a) 
1
2 3 ; 5 ; 3 ; 2
3
 a i j b i j c i d j . 
b) 
1 3
3 ; ; ; 4 ; 3
2 2
 a i j b i j c i j d j e i . 
 Bài 2. Viết dưới dạng u xi yj khi biết toạ độ của vectơ u là: 
a) (2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1) u u u u . 
b) (1;3); (4; 1); (1;0); (0;0) u u u u . 
Bài 3. Cho (1; 2), (0;3) a b . Tìm toạ độ của các vectơ sau: 
 a) ; ; 2 3 x a b y a b z a b . b) 
1
3 2 ; 2 ; 4
2
 u a b v b w a b . 
Bài 4. Cho 
1
(2;0), 1; , (4; 6)
2
a b c . 
 a) Tìm toạ độ của vectơ 2 3 5 d a b c . 
 b) Tìm 2 số m, n sao cho: 0 ma b nc . 
 c) Biểu diễn vectơ theo ,c a b . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
 Bài 5. Cho hai điểm (3; 5), (1;0) A B . 
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: 3 OC AB . 
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. 
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. 
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). 
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. 
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. 
Bài 7. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2). 
a) Tìm toạ độ các vectơ , ,AB AC BC . 
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. 
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2 3 CM AB AC . 
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: 2 4 0 AN BN CN . 
Bài 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). 
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. 
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. 
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
O
A
B
a b
a
b
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Góc giữa hai vectơ 
Cho , 0 a b . Từ một điểm O bất kì vẽ , OA a OB b . 
Khi đó , a b AOB với 00 AOB 1800. 
Chú ý: 
+ ,a b = 900 a b 
+ ,a b = 00 ,a b cùng hướng 
+ ,a b = 1800 ,a b ngược hướng 
+ , , a b b a 
2. Tích vô hướng của hai vectơ 
 Định nghĩa: . . .cos , a b a b a b . 
Đặc biệt: 
22. a a a a . 
 Tính chất: Với , ,a b c bất kì và k R, ta có: 
+ . . a b b a ; . . a b c a b a c ; 
 . . . ka b k a b a kb ; 2 20; 0 0 a a a . 
 + 
2
2 22 . a b a a b b ; 
2
2 22 . a b a a b b ; 
 2 2 a b a b a b . 
 + .a b > 0 ,a b nhoïn + .a b < 0 ,a b tuø 
 .a b = 0 ,a b vuoâng. 
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng 
 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: 1 1 2 2. a b a b a b . 
 2 21 2 a a a ; 
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
a b a b
a b
a a b b
; 1 1 2 2 0 a b a b a b 
 Cho ( ; ), ( ; )A A B BA x y B x y . Khi đó: 
2 2( ) ( ) B A B AAB x x y y . 
Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC tâm O , có độ dài các cạnh bằng 1. 
a) Xác định góc giữa các cặp véctơ AB và AC , AB và BC , OA và BC , OB và CB . 
b) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: AB và AC , AB và BC , OA và OB , OA 
và BC , OB và CB . 
Giải 
a) Do tam giác ABC đều, nên 60 CAB ABC BCA . 
Suy ra ; 60  AB AC CAB . 
Gọi D là điểm đối xứng với B qua CA H.4.13 . Khi đó tứ giác ABCD là một hình 
thoi, do đó AD BC và 180 120  BAD ABC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Suy ra ; ; 120 AB BC AB AD BAD . 
Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của ,OA P là điểm đối xứng với M 
qua C . Khi đó, do O là tâm của tam giác đều ABC , nên , , ,A N O M thẳng hàng, 
, AM BC MN OA và MP BC . 
Suy ra ; ; 90 OA BC MN MP . Lấy điểm Q đối xứng với O qua M . Khi đó tứ giác 
BOCQ là một hình thoi, có 60 OCQ . 
Suy ra ; ; 30 OB CB CQ CB BCQ . 
b) Do AM BC nên 
2
2 2 2 1 31
2 2
AM AB BM . 
Do O là tâm của tam giác đều ABC , nên 
2 2 3 3
3 3 2 3
  OA OB OA AM . 
Suy ra 1cos ; 1 1 cos60
2
      AB AC AB AC AB AC ; 
 1cos ; 1 1 cos120 ;
2
      AB BC AB BC AB BC 
 3 3 1cos ; cos120
3 3 6
     OA OB OA OB OA OB ; 
 3cos ; 1 cos90 0
3
      OA BC OA BC OA BC ; 
 3 1cos ; 1 cos30
3 2
      OB CB OB CB OB CB . 
Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ ,OB CB như sau: Lấy O đối xứng với 
O qua B và C đối xứng với C qua B H.4.14 . 
Khi đó, do , BO OB BC CB , nên ; ; 30  OB CB BO BC O BC OBC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn với đường kính 2 AB R . Gọi M và N là hai điểm trên 
nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại một điểm I . 
a) Chứng minh rằng  AI AM AI AB . 
b) Tính  AI AM BI BN theo R . 
Giải 
a) Do M thuộc nửa đường tròn với đường kính AB nên 90 AMB H.4.15a . 
Suy ra cos AM AB BAM . Từ đó, để ý rằng ; BAM Al AB , ta có 
 cos ; cos .      AI AM AI AM AI AM AI AM AI AB BAM AI AB 
b) Tương tự như phần a), ta cũng được   BI BN BI BA BI AB . 
Suy ra      AI AM BI BN AI AB BI AB AB AI BI 
2
24 .  AB AI IB AB R 
Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được  a b a b , trong đó b là hình chiếu 
vuông góc của vectơ b trên giá của vectơ H.4.15 ba . Kết quả này được gọi là định lí 
chiếu. 
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A , có 120 , 3. A AB 
a) Tính .AB AC , .AB CB , . .AC CB 
b) Tính độ dài cạnh BC. 
c) Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho 2 . MB MC Tính . .MA MB 
Giải 
a) Do tam giác ABC cân tại A, 120 , 3. A AB nên 
 9. . . os ; 3.3. os120
2

 AB AC AB AC c AB AC c 
Theo quy tắc ba điểm ta có CB AB AC và do đó 
2
2 9 27
. . . 3
2 2
AB CB AB AB AC AB AB AC ; 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
2 9 272
. . . . 3
2 2
AC CB AC AB AC AC AB AC . 
b) Theo quy tắc ba điểm ta có . BC AC AB Từ đó 
22 2 2
2 2 2 9
2 . 3 3 2. 27
2
BC BC AC AB AC AB AC AB . 
Suy ra 3 3. BC 
c) Gọi I là trung điểm của BC . Do M thuộc cạnh BC và 2 , MB MC I là trung điểm 
BC , nên theo kết quả của Ví dụ 2, Bài 9, ta có 
2 1
, .
3 2
 MB CB IB CB 
Suy ra 
2 1 1
3 2 6
. 
MI MB BI MB IB CB CB 
Từ đó, theo định lí chiếu, ta được 
21 2
. . . . 3.
6 3
 MA MB MI MB CB 
Nhận xét 
- Để tính độ dài của một đoạn thẳng XY , trước hết ta biểu thị vectơ XY theo hai vectơ 
không cùng phương ,a b đã biết, rồi tính bình phương vô hướng của vectơ XY 
- Nhờ vào kết quả của Ví dụ 2, bài 9, ta chứng minh được 1 2
3
. MA BA CA Suy ra 
 2. . 2 . .
9
 MA MB BA CB CA CB Bởi vậy cũng có thể tính tích vô hướng .MA MB nhờ vào việc 
tính các tích vô hướng .BACB và . .CACB 
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: 
 a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC 
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: 
 a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC 
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
a) Chứng minh: . . . 0 DA BC DB CA DC AB . 
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". 
Bài 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: 
 . . . 0 BC AD CA BE AB CF . 
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) .AB AC b) ( )( ) AB AD BD BC 
c) ( )(2 ) AC AB AD AB d) .AB BD 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
e) ( )( ) AB AC AD DA DB DC 
 Đáp số: a) 2a b) 2a c) 22a d) 2 a e) 0 
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3. 
a) Tính .AB AC , rồi suy ra cosA. 
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính .AG BC . 
c) Tính giá trị biểu thức S = . . . GAGB GB GC GC GA . 
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D BC). Tính AD theo ,AB AC , suy ra 
AD. 
Hướng dẫn 
a) 
3
.
2
 AB AC , 
1
cos
4
 A b) 
5
.
3
 AG BC c) 
29
6
 S 
d) Sử dụng tính chất đường phân giác . 
AB
DB DC
AC
3 2
5 5
 AD AB AC , 
54
5
 AD 
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC. 
 a) Tính BC, AM. 
 b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 0, 2 IA IB JB JC . 
Hướng dẫn: a) BC = 19 , AM = 
7
2
 b) IJ = 
2
133
3
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). 
 a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. 
 b) Tìm toạ độ điểm M biết 2 3 CM AB AC . 
 c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Bài 9. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 
 a) Tính .AB AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 
 b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. 
 d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 
 e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 
 f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. 
 g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. 
 h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO. 
 i) Tìm toạ độ điểm T thoả 2 3 0 TA TB TC 
 k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. 
 l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC. 
 Bài 9. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
 a) 2 2 . MA MA MB b) ( )(2 ) 0 MA MB MB MC 
 c) ( )( ) 0 MA MB MB MC d) 22 . . MA MA MB MA MC 
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
 a) 2. . MA MC MB MD a b) 2. . 5 MA MB MC MD a 
 c) 
2 2 2 23 MA MB MC MD d) 2( )( ) 3 MA MB MC MC MB a 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 
Trắc nghiệm 
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các 
điểm A , B , C , D và O . Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với AC là 
A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 2. Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A , C . Trong các khẳng định 
sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng? 
A. Hai vectơ AB và CB cùng hướng. 
B. Hai vectơ CA và BC cùng hướng. 
C. Hai vectơ AB và AC cùng hướng. 
D. Hai vectơ AC và BA cùng hướng. 
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi , , ,K L M N tương ứng là trung điểm các 
cạnh , , ,AB BC CD DA . Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm , , , , , , ,A B C D K L M O 
có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK ? 
A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . 
Câu 4. Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và 0120 DAB . Khẳng định nào 
sau đây là đúng ? 
A. AB CD . B. BD AC . C. 1 BD . D. 1 AC . 
Câu 5. Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G , có độ dài các cạnh bằng 3 . Độ dài của vectơ 
AG bằng? 
A. 3 . B. 
3 3
2
. C. 
3
2
. D. 2 3 . 
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại Avà 3, 4 AB AC . Độ dài của vectơ CB AB 
bằng ? 
A. 13 . B. 2 13 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 7. Cho tam giác ABC có 2, 4 AB BC và 60 ABC . Độ dài của vecto AC BA 
bằng 
A. 2 . B. 19 . C. 4 . D. 
19
2
. 
Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho 2 0 IB IC . Khẳng định nào sau đây là 
một khẳng định đúng ? 
A. 2 AI AC AB . B. 2 AI AB AC . 
C. 
2
3
AB AC
AI . D. 
2
3
AB AC
AI . 
Câu 9. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC . Khẳng định 
nào sau đây là một khẳng định đúng ? 
A. 2 GA GM . B. 3 AB AC AG . 
C. 3 AM MG . D. 3 2 GA AM . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm ( )3;1 A , ( )2; 1 B , ( )4;6C . Trọng 
tâm G của tam giác ABC có tọa độ là 
A. (1;2) . B. (2;1) . C. (1; )2 . D. ( 2;1 .) . 
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm ( )3;3 A , (5 ); 2 B và (2 );2G . Tọa độ 
của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là 
A. (5;4) . B. (4;5) . C. (4;3) . D. (3;5) . 
Câu 12. Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a . Tích vô hướng .AB AC bằng 
A. 2 2a . B. 
2
2
a
. C. 
2a . D. 
2
2
a
. 
Câu 13. Cho hai vectơ ,a b cùng khác 0 . Khi đó , . a b a b tương đương với 
A. a và b cùng phương. B. a và b ngược hướng. 
C. a và b cùng hướng . D. a b . 
Câu 14. Cho hai vecto ,a b cùng khác 0 . Khi đó , . a b a b tương đương với 
A. a và b cùng phương. B. a và b ngược hướng. 
C. a và b cùng hướng . D. a b . 
Câu 15. Cho tam giác ABC có 1 AB , 2 BC và 60 ABC . Tích vô hướng .BC CA 
bằng 
A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 . 
Câu 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm 2; 1 , 1;5 A B và 3 ;2 1 C m m . 
Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB OC là 
A. 2 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 3 m . 
Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với 1, 2 AB AC . Lấy , ,M N P tương ứng 
thuộc các cạnh , ,BC CA AB sao cho 2 , 2 , 2 BM MC CN NA AP PB . Giá trị của tích 
vô hướng .AM NP bằng 
A. 
2
3
. B. 
1
2
 . C. 0 . D. 1. 
Câu 18. Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy , ,M N P lần lượt thuộc 
các cạnh , ,BC CA AB sao cho 2 , 2 BM MC CN NA và AM NP . Tỉ số của 
AP
AB
 bằng 
A. 
5
12
. B. 
7
12
. C. 
5
7
. D. 
7
5
. 
Câu 19. Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a . Lấy điểm M thuộc cạnh 
BC sao cho 2 MB MC . Tích vô hướng của hai vectơ MA và MC bằng 
A. 
2
2
a
. B. 
2
2
a
. C. 
2a . D. 
2. a 
Câu 20. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thoả mãn MC MB MC AC là 
A. đường tròn tâm A bán kính BC . 
B. đường thẳng đi qua A và song song với BC . 
Lê Quang Hải Véctơ 
toanc3.online 
C. đường tròn đường kính BC . 
D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . 
Tự luận 
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Chứng minh: 2 AC BD AD BC IJ . 
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: 0 GA GB GC GD . 
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các 
đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung 
điểm. 
Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. 
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB , ME MA BC , 
 MF MB CA . Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC và MD ME MF . 
Bài 3. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. 
a)