Giáo án Hình học Lớp 10 - Bài 5: Phương trình đường Elip - Trần Thị Hằng

§5 Phương trình đường Elip
I. MỤC TIÊU:
Sau khi kết thúc bài học, học sinh cần làm được:
1. Kiến thức:
- Phát biểu được định nghĩa của “ đường Elip;
- Phát biểu được định nghĩa “ Phương trình chính tắc của elip”. 
2. Kĩ năng:
Vận dụng được định nghĩa của đường elip và phương trình chính tắc để:
- Vẽ hình chuẩn, đẹp;
- Nhận dạng elip và lập phương trình elip;
- Viết được phương trình elip khi biết 2 trong 3 yếu tố a,b,c;
- Xác định được các yếu tố của elip khi biết phương trình elip;
3. Thái độ và tư duy:
- Có thái độ tích cực, tự giác trong học tập;
- Liên hệ được nhiều vấn đề trong thực tế liên quan đến đường elip;
- Luyện tư duy phân tích, tổng hợp, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác;
- Biết vận dụng đại số vào hình học.
II. CHUẨN BỊ:
Học sinh: SGK, dụng cụ học tập, thước vẽ Elip.
Giáo viên: giáo án, thước và một số phương tiện dạy học, bảng phụ. 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
1. Khởi động:
a. Mục tiêu:
Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với nội dung bài học.
b.Nội dung:
GV giới thiệu một số hình ảnh trực quan đường elip thường gặp trong thực tế.
c. Phương pháp và tổ chức thực hiện : 
*Phương pháp: đàm thoại gợi mở, 
*Tổ chức thực hiện: 
GV đặt vấn đề vào bài:
- Trên tay cô có một cốc thủy tinh đựng nước. Khi cô để thẳng đứng thì đường giao giữa mặt nước và thành cốc là đường gì ta đã được học? Bây giờ, cô nghiêng cốc và các em hãy quan sát xem nó còn là đường tròn nữa không?
- Ngoài ra khi học môn địa lý các em cũng được giới thiệu về quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời là đường elip nhận mặt trời là một tiêu điểm.
- Tương tự các em hãy quan sát các hình sau đây ( hình chiếu)
Bóng của đường tròn in trên mặt đất dưới ánh nắng mặt trời;
Một quả dưa hấu;
Mặt nước trong cốc nước nằm nghiêng;
Chuyển động của các vệ tinh xung quanh Trái Đất.
Chúng cũng có hình dạng là một hình Elip. Vậy Elip là gì, chúng được định nghĩa như thế nào và phương trình của nó có dạng gì ta sẽ vào bài ngày hôm nay.
d. Đánh giá:
- GV đánh giá bằng cách nghe HS trả lời câu hỏi
e. Sản phẩm: 
HS hứng thú với nội dung bài mới và biết thêm những hình ảnh đường elip trong cuộc sống. 
2. Hình thành kiến thức mới:
a. Mục tiêu:
- Phát biểu được định nghĩa của “đường elip”;
- Chỉ ra được các tiêu điểm, tiêu cự, bán kính qua tiêu; 
- Chỉ ra được phương trình chính tắc của Elip;
- Vận dụng định nghĩa của đường elip và phương trình chính tắc của elip để giải một số bài tập thực tế.
b. Nội dung:
GV gợi mở, hướng dẫn học sinh phát biểu định nghĩa đường elip và phát hiện phương trình chính tắc của đường elip.
c. Phương pháp và tổ chức thực hiện:
*Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm.
* Tổ chức thực hiện:
Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa đường elip
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- Giới thiệu cách vẽ đường Elip thông qua hoạt động 1 của SGK ( bảng phụ)
- Chu vi của tam giác MF1F2 bằng gì?
Ta thấy theo như HĐ1 thì chu vi tam giác MF1F2 chính là bằng độ dài sợi dây.
 Vì độ dài sợi dây luôn không đổi nên chu vi tam giác MF1F2 cũng sẽ luôn không đổi.
Tổng MF1+ MF2 như thế nào khi M thay đổi? Vì sao?
- NX: Tập hợp những điểm M như thế
(cụ thể tập hợp những điểm M mà tổng MF1 +MF2 không đổi) sẽ tạo thành một hình đó là hình Elip.
Định nghĩa:
Cho 2 điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c ( c > 0) 
(E) = { M | MF1 +MF2 = 2a, a > c}
Trong đó: 
F1, F2 là 2 tiêu điểm
2c là tiêu cự
MF1, MF2 : bán kính qua tiêu của điểm M.
( Trình chiếu) 
- Tại sao a > c? Nếu a < c thì sao?
- Thực hiện nhanh cách vẽ
- HS quan sát và trả lời:
 MF1+ MF2 +F1F2
Suy nghĩ và trả lời: 
Tổng không đổi do chu vi tam giác MF1F2 và độ dài F1F2 không đổi.
- HS phát hiện và phát biểu định nghĩa về elip 
Hoạt động 2: Tiếp cận phương trình chính tắc của ( E) 
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
- Yêu cầu HS nhắc lại các dạng của phương trình đường tròn.
? Vậy để viết được phương trình đường tròn ta cần biết ít nhất bao nhiêu yếu tố? Đó là gì?
Vậy thì tương tự đường tròn, đối với Elip, phương trình Elip có dạng gì? Cần ít nhất bao nhiêu yếu tố thì ta viết được phương trình Elip. Ta tiến hành đi lập phương trình chính tắc của Elip.
Ta bước vào phần 2. Phương trình chính tắc của Elip 
Cho ( E) như định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn F1F2 . Trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 và F2 nằm trên tia Ox như hình vẽ. 
y
M
x
O
F2
F1
?: Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy. Hãy tính OF1, OF2 từ đó suy ra tọa độ của 2 tiêu điểm F1, F2. 
- Bây giờ, với điểm M(x,y) nằm trên elip ( E) , ta sẽ tìm mối liên hệ giữa x và y bằng cách đi tính MF1 theo hai cách.
Cách 1 : Tính thông qua tọa độ véctơ 
?: Hãy tính MF1 ; MF2 . Từ đó tính MF1, MF2
Cách 2 : ( Thực hiện compa 2) Tính MF12 – MF22 rồi sử dụng định nghĩa MF1 + MF2 = 2a để tính MF1 – MF2. Từ đó suy ra
MF1 = a + cxa ; MF2 = a -cxa
Trình chiếu: 
MF12 – MF22 = ( x+c)2 + y2–(c – x)2+y2
 = 4cx = 2a ( MF1 – MF2) 
=> MF1 – MF2 = 2 cxa
Giải hệ :
MF1-MF2=2cxaMF1+MF2=2a
=> MF1 = a + cxa ; MF2= a -cxa
- Từ hai cách tính MF1 vừa rồi hãy rút ra biểu thức liên hệ giữa x và y.
Vì a > c > 0 nên có thể đặt b2 = a2 – c2, Khi đó thì phương trình trên được viết lại như thế nào? 
- Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng nếu tọa độ của M thỏa mãn PT ( 1) thì MF1 = a + cxa ; 
MF2= a -cxa
Và do đó MF1 + MF2 = 2a, tức là M thuộc Elip.
Phần CM này xem như bài tập về nhà cho các em, em nào làm không được hôm sau có thể hỏi cô, cô sẽ giải thích. 
- Đưa ra định nghĩa phương trình chính tắc của elip: 
PT(1) được gọi là PT chính tắc của Elip. 
Chú ý: MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu của điểm
Ví dụ 1: Cho phương trình (E): 
x225+ y216=1 (1)
Hãy cho biết phương trình (1) có phải là phương trình chính tắc của Elip không? Nếu phải hãy xác định các yếu tố a, b và tính tiêu cự.
- Nếu HS chưa làm được, GV tiến hành hướng dẫn 
Hướng dẫn : 
 - Yêu cầu HS quan sát và đối chiếu phương trình chính tắc của Elip bất kì với phương trình (1).
- Đầu tiên, ta biết được các yếu tố nào từ phương trình(1).
Từ đó, ta tính được a, b bằng bao nhiêu?
 ( chú ý điều kiện của Elip a>b>0)
Tính tiêu cự là tính gì? Làm sao để tính?
Chú ý: HS dễ nhầm tiêu cự là c 
Ví dụ 2: Cho phương trình sau:
x216+ y236=1 (2)
Hãy cho biết phương trình (2) có phải phương trình chính tắc của Elip không? Nếu phải hãy tính a, b và tiêu cự của Elip đó.
- Yêu cầu một số bạn trả lời câu hỏi: 
“ Phương trình (2) có phải là phương trình chính tắc của Elip không? Giải thích” .
Nếu HS chưa giải được, GV có thể hướng dẫn như sau
Hướng dẫn: 
+ Yêu cầu HS tính giá trị của a =? Và b=?
+ So sánh a và b
Ví dụ 3: Cho ba điểm F1( - 5; 0), 
F2 ( 5 ; 0) và I( 0; 3) 
a/ Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm F1, F2 và đi qua I.
b/ Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 
GV gợi ý:
a/
+ Nhắc lại dạng của phương trình chính tắc của Elip.
+ Muốn viết được phương trình chính tắc của Elip, ta cần xác định những yếu tố nào?
+ Điểm I thuộc elip, nó phải thỏa mãn điểu kiện gì? 
+ Từ tọa độ của F1 và F2 , ta tính được gì?
+ Ta có thể tính trực tiếp a không ?
( Gợi ý IF1 + IF2 = 2a).
b/ GV hướng dẫn câu b:
+ Bán kính qua tiêu MF1 = ?
+ Hãy đánh giá các cận của hoành độ điểm M thuộc Elip?
Suy ra đánh giá MF1?
Trả lời:
2 dạng:
( x – a)2 + ( y – b)2 = R2
x2 + y2 + 2ax + 2by +c = 0 
Nghe và trả lời :
2 yếu tố là tâm và bán kính của đường tròn
Quan sát hình vẽ và trả lời.
Vì F1F2 = 2c nên OF1 = OF2 = 2c 
F1( -c, 0); F2 ( c, 0)
M( x; y)
y
x
F2( c; 0)
O
F1( -c; 0) 
Quan sát và trả lời:
MF1 = ( x+c)2 + y2
MF2 = ( c -x)2 + y2
- HS suy nghĩ và thực hiện:
Ta có 
MF1 = (x+c)2+y2 = a + cxa
ó ( x+c)2 + y2 = ( a + cxa)2
ó x2a2+ y2a2-c2 = 1. 
Rút ra phương trình tương đương. x2a2+ y2b2=1,( b > 0; b2= a2 – c2) (1) 
 Trả lời: 
a2 = 25; b2 = 16
a = 5; b= 4
 do a > b
=> (1) là phương trình chính tắc của Elip
Tiêu cự là 2c.
Bằng cách sử dụng : 
c2 = a2 – b2 = 25- 16 = 9 
=> c = 3 ( vì c > 0) 
Vậy tiêu cự là 6.
Thực hiện bài toán:
a = 4; b= 6
Ta có a < b 
=> (2) không phải là phương trình chính tắc của Elip.
Elip có pt chính tắc là:
 ( E) :x2a2+ y2b2=1( a> b> 0)
Vì điểm I thuộc elip (E) nên
 02a2+ 32b2=1 => b2 = 9 
Mà tiêu cự của elip là 2c = F1 F2 = 25
Do đó, a2 = b2 + c2 = 9 + 5 = 14
Vậy PT chính tắc của Elip là
 x214+ y29=1
MF1 = a + cxa vì ( -a) ≤ x ≤ a nên 
a - caa ≤ MF1 ≤ a + caa 
hay a – c ≤ MF1 ≤ a + c
Vậy MF1 nhỏ nhất là a – c tại x = -a
 MF1 lớn nhất là a + c tại x = a
d. Sản phẩm:
- HS phát biểu được định nghĩa của đường Elip;
- HS xác định được phương trình chính tắc của Elip;
- HS chỉ ra được tiêu điểm, tiêu cự, bán kính qua tiêu;
- HS giải được một số bài tập cơ bản.
e. Đánh giá:
GV đánh giá HS thông qua các hoạt động nhóm, cá nhân.
4.Củng cố: 
a. Mục tiêu:
Học sinh phân biệt được các dạng bài tập khác nhau.
Học sinh giải được các dạng bài tập.
b. Nội dung:
GV đưa ra các dạng bài tập và gợi ý cho học sinh cách giải của 1 số bài tập điển hình của mỗi dạng.
c. Phương pháp và tổ chức thực hiện:
*Phương pháp: dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
* Tổ chức thực hiện:
-GV đưa ra các dạng bài tập sau:
Dạng 1: Xác định các yếu tố của Elip( tiêu điểm, tiêu cự,...)
Bài 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tiêu cự của mỗi Elip có phương trình sau:
a/ x225+y24 =1
b/ x2 + 4y2 = 4
Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip 
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong trường hợp sau:
( E) có một tiêu điểm là F( 3; 0) và đi qua điểm M( 1; 32 )
Dạng 3: Tìm tọa độ 1 điểm bất kì 
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip có phương trình
 x225+ y216=1 . Tìm điểm M nằm trên elip sao cho MF1 = 4MF2, trong đó F1, F2 lần lượt là các tiêu điểm trái, phải của elip.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E) có phương trình
 x28+ y24=1 .Giả sử F1, F2 là hai tiêu điểm của elip, trong đó F1 có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho MF1 – MF2 = 2. 
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình x225+ y29=1. Tìm điểm M thuộc elip sao cho góc F1MF2=90o với F1, F2 là tiêu điểm của elip 
d. Đánh giá:
GV đánh giá độ hiểu bài qua tốc độ và số câu trả lời đúng của học sinh.
e. Sản phẩm:
- HS áp dụng được định nghĩa đường Elip và phương trình chính tắc của Elip để giải bài tập cụ thể.