Giáo án Đại số Lớp 10 - Chủ đề: Bất đẳng thức

Vấn đề cần nắm:
1. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
Chủ đề 4
BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số, 
Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.
ççç
A. Lý thuyết
I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Bất đẳng thức 
STUDY TIP
Đặc biệt, nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu hoặc ; nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D thì ta ký hiệu hoặc . 
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “”, “”, “”, “” được gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là , nếu:
(1) M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là , nếu:
(1) với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho 
Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy ra bất đẳng thức , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho .
- Bước 3: Kết luận .
II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. và .
2. .
3. Nếu thì .
4. Nếu thì .
5. và .
6. và .
7. và .
8. .
9. .
10. và .
11. .
12. . Đẳng thức xảy ra khi .
13. , với mọi .
14. Với thì .
15. Với thì hoặc .
16. Với mọi , ta có .
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi .
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:
- Cách 1: Lập hiệu . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được .
Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình; sử dụng tính chất của hàm số; sử dụng dồn biến; sử dụng dấu tam thức bậc hai; sử dụng phản chứng.
Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:
(1): .
(2): với mọi x sao cho xác định.
Đặc biệt, .
(3): , với mọi a, b, c.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Lời giải
a) Ta có . ĐKXĐ: 
Với mọi , ta có: .
Do đó .
Ta có .
Vậy và .
b) Với thì .
Ta có .
Với mọi x thuộc đoạn thì 
.
Do đó , .
Mặt khác .
Vậy và ./.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Điều kiện: .
Ta có , suy ra .
 , suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi thì .
b) Cho là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
.
Lời giải
a) Ta có .
STUDY TIP
Khi học về đạo hàm, chúng ta có thể tìm ra biểu thức một cách đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán được . Với thì . Sau đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Tiếp tuyến đó có phương trình là . 
Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi hoặc .
b) Từ giả thiết, ta có .
Tương tự, ta cũng có và .
Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn .
Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:
.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ./.
Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a) chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây:
Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.
Thứ hai, giả thiết của bài toán là (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh giá , trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.
Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi . Khi thì , do đó ta cần đánh giá . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.
Xét 
Lúc này, ta cần chọn m để nhận làm nghiệm (mục tiêu là xuất hiện ). Giải điều kiện đó ta tìm được . Khi đó ta có
 (do ).
2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. .
2. .
- Hệ quả:
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra khi .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1. 	2. .
- Hệ quả:
+) Nếu a, b, c là các số không âm và không đổi thì abc đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
Lời giải
a) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện ).
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
b) Do nên ta có .
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
c) Ta có .
Do nên ta có 
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
STUDY TIP
Ngoài lời giải trình bày ở bên, chúng ta có thể sử dụng một cách chung nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất đối với hàm số, đó là sử dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12 và bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3. 
d) 
. 
Từ giả thiết ta có . Do đó
.
Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.
Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh giá .
- Việc đánh giá thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức .
- Việc đánh giá thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức thành , còn thành (nhằm khi đánh giá thì về phải không còn biến số).
- Việc đánh giá chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của để đạt được mục tiêu. Ngay cả khi viết thì chúng ta cũng không thể áp dụng luôn bất đẳng thức Cô-si .
Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , trong khi điều kiện của biến là . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết thành
?
Và số được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
Chúng ta để ý khi thì và , trong khi chúng ta đang cần đánh giá nên ta phải tìm cách ghép , với để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi thì . Dễ dàng tìm được và chúng ta có lời giải như trên.
Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Lời giải
Ta có .
a) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi .
b) Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi ./.
3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: .
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ và thì do ta luôn có nên .
(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có
Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là
STUDY TIP
Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công phá Toán 3.
.
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ và thì do ta luôn có nên .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
 .
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .
Lời giải
a) Đặt , với .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Với mọi , ta luôn có .
Có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy, .
Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy, .
Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
Ta có .
STUDY TIP
Ngoài các cách trình bày ở bên, ví dụ này còn có thể giải theo cách lập bảng biến thiên của hàm số (có sử dụng công cụ đạo hàm - sử dụng kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, .
b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
Ta có .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Nhận xét:
1. Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki để giải thì trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy nhiên, nếu để nguyên biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x. Do đó, chúng ta cần biết đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó, ví dụ .
2. Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương trình giải được bằng cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra, chúng ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:
Bài 1. Giải phương trình .
Bài 2. Giải phương trình .
Bài 3. Giải hệ phương trình .
Bài 4. Giải hệ phương trình .
Bài 5. Giải hệ phương trình .
Bài 6. Giải hệ phương trình .
Ví dụ 8: a) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức .
b) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
a) Ta có 
.
Dấu bằng xảy ra khi 
 hoặc .
Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ; đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi .
b) Ta có .
.
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi ./.
4. Sử dụng kiến thức hình học
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận.
Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
- Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là ).
- Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương .
- Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có
.
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi ngược hướng
 hoặc .
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi cùng hướng
 hoặc .
- Kết quả 4: Cho đường tròn và điểm A nằm ngoài . Gọi M là điểm tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức .
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với đường tròn , trong đó M nằm ngoài đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức .
- Kết quả 5: Cho hai đường tròn và ngoài nhau (tức là ). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc và .
Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường tròn và , trong đó M, N thuộc đoạn , tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức .
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường tròn và , trong đó M, N nằm ngoài đoạn , tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức .
- Kết quả 6: Cho đường tròn và đường thẳng không cắt đường tròn. Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng . Khi đó ta luôn có: .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn , tức là M thỏa mãn hệ thức .
STUDY TIP
Khi sử dụng một kết quả nào đó trong các kết quả nên trên vào việc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chúng ta lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra để có sự điều chỉnh hình thức tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ một cách phù hợp.
* Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn:
Biểu thức đại số
Ngôn ngữ hình học
Phương trình đường thẳng .
Phương trình đường tròn có tâm và bán kính ().
Độ dài vectơ hoặc khoảng cách giữa hai điểm và .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 9: a) Chứng minh rằng với mọi , ta có
.
b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, ta luôn có
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
a) Ta có .
Xét hai vectơ và . Khi đó
 và .
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng .
b) Cách 1: Xét hai vectơ và .
Suy ra và .
Ta có .
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng
.
Cách 2: Xét ba điểm .
Khi đó và đường thẳng EF có phương trình là .
Ta có .
Vì ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay .
c) Xét hai vectơ và .
Suy ra và .
Ta có .
Mặt khác, ta luôn có nên .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng .
Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.
Ví dụ 10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn các điều kiện
 và 
Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có .
Xét điểm và điểm thì M và N lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng .
Đường tròn có tâm và bán kính .
Ta có .
Mặt khác với mọi điểm thì . Do đó .
STUDY TIP
Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo cách này chúng ta không cần phải chỉ ra giá trị cụ thể của x để đẳng thức xảy ra nữa (vì chúng ta đã có điều kiện tồn tại x để đẳng thức xảy ra rồi). 
Ta lại có .
Vậy, hay ./.
5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
a. Nội dung phương pháp
Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau đây:
(1) Phương trình , có nghiệm khi và chỉ khi .
(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho là .
(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho là
.
Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số theo cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau:
- Bước 1: Gọi là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Biến đổi đưa phương trình về dạng . Sau đó tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất phương trình ẩn ).
- Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Vì với mọi nên hàm số xác định trên .
Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình 
 có nghiệm
 có nghiệm
 (1) có nghiệm.
Trường hợp 1: .
Khi đó (1) trở thành .
Trường hợp 2: .
Khi đó phương trình (1) có nghiệm
.
Kết hợp hai trường hợp ta có 
Với ta tìm được .
Với ta tìm được .
Vậy, và ./.
Nhận xét:
1. Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gnn của hàm số , trong đó và .
2. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể phát biểu lại bài toán dưới hình thức khác như sau:
a) Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình , hãy tìm cặp số sao cho y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
b) Hàm số nhận giá trị nguyên khi nào?
STUDY TIP
Ngoài cách giải này, chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (đây là cách làm có tư tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối với mọi đối tượng học sinh) mà chúng ta sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12.
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .
Lời giải
Hệ điều kiện đã cho được viết lại là (*).
Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay .
Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương tự ta cũng có . Vậy, ./.
Nhận xét:
1. Trong ví dụ này vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có cùng kết quả đánh giá . Cũng có những trường hợp vai trò của các biến là không tương đương, ta cần thực hiện phép biến đổi đưa về dạng vai trò của các biến là tương đương. Hãy nghiên cứu vấn đề thông qua bài tập dưới đây: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện . Chứng minh rằng
.
2. Nội dung ví dụ này có thể diễn đạt bằng hình thức khác như: Trong các bộ số thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho c đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Nếu kết hợp với tính chất hàm số, chúng ta có thể đề xuất bài toán sau: Trong các bộ số thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
4. Từ hằng đẳng thức và từ giả thiết của ví dụ này, ta có . Do đó ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:
a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .
6. Sử dụng tính chất của hàm số
a. Nội dung phương pháp
Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, chúng ta cần biết một số kiến thức sau đây:
(1) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai .
Trường hợp 
Trường hợp 
STUDY TIP
Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số mà công cụ hiệu quả, có đường lối, tư duy rõ ràng là sử dụng công cụ đạo hàm (được nghiên cứu đầy đủ ở chương trình lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.
(2) Xét hàm số bậc nhất trên đoạn . Khi đó,
 và .
Đặc biệt: - Nếu thì .
- Nếu thì .
(3) Xét hàm số bậc hai trên đoạn .
Tính . Khi đó
- Nếu thì 
- Nếu thì 
(4) Xét hàm số xác định trên đoạn .
Khi đó, .
(5) Xét hàm số , trong đó với . Khi đó .
Đặc biệt, với thì .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) , với .
b) , với .
Lời giải
a) Với thì .
Ta có .
Xét hàm số trên đoạn . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
3
5
6
12
16
15
Từ bảng biến thiên, ta có 
.
Vậy, và .
Chú ý: Chúng ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng cách đơn giản như nêu ở phần lý thuyết. Cụ thể:
Ta có và nên
 và .
b) Đặt (ĐK: ). Suy ra .
Do đó .
Với thì theo ý a) ta có .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Do đó .
Suy ra .
Vậy, và ./.
Ví dụ 14: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Ta luôn có và .
Do đó, kết hợp với giả thiết ta có .
Đặt thì và .
Suy ra, .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Do vậy .
+) hoặc .
+) (hệ có nghiệm .
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng 33 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng ./.
7. Sử dụng dồn biến
a. Nội dung phương pháp
Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức là một kỹ thuật làm giảm số biến trong bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến, Trong các kỳ thi Trung học phổ thông chúng ta thường chỉ gặp các bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với những kỹ thuật dồn biến khá là cơ bản như đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; 
Một số đánh giá thường sử dụng thì đã được nêu ở các phần trên, ngoài ra còn cần chú ý đến một vài đánh giá như: Với thì
(1) 
(2) , với 
Một số cách đổi biến thường gặp là hoặc hoặc hoặc ; hoặc Bên cạnh việc đổi biến số, chúng ta thường sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc kinh điển để tìm tập giá trị của biến mới.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 15: Cho x, y là các số thực khác không. Chứng minh rằng
.
Lời giải
Đặt thì hoặc .
Từ cách đặt, ta có .
Do hoặc nên hoặc .
Vậy, . Đẳng thức xảy ra khi ./.
Ví dụ 16: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Vì nên 
.
Đặt (ĐK: ), ta được .
Lại có nên .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có và .
Suy ra, .
Vậy, Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi .
Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi 
 hoặc ./.
Ví dụ 17: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có và .
.
Đặt thì và .
Xét hàm số trên nửa khoảng . Bảng biến thiên của hàm số là:
0
4
7
Do đó .
Vậy, P đạt giá trị lớn nhất bằng 7; khi ./.
8. Sử dụng dấu tam thức bậc hai
a. Nội dung phương pháp
- Định lý (về dấu tam thức bậc hai):
Cho tam thức bậc hai .
+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi . 
+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .
+ Nếu thì có hai nghiệm và (). Khi đó, trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (tức là với ) và cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc ).
- Hệ quả: Từ định lý về dấu tam thức bậc hai ta rút ra các hệ quả sau đây:
.
(2) .
(3) Nếu tồn tại số α sao cho thì .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có
.
Lời giải
Cách 1: (Biến đổi tương đương)
Ta có 
.
Cách 2: (Sử dụng dấu tam thức bậc hai)
Xét .
Có 
.
Suy ra, .
Vậy, ./.
Ví dụ 19: Cho dãy số trong đó các số hạng thuộc đoạn . Chứng minh rằng .
Lời giải
Xét tam thức bậc hai .
Ta có .
Vì nên . Do đó .
Mặt khác hệ số của bằng nên 
./.
9. Sử dụng phản chứng
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau:
- Bước 1: Giả sử mệnh đề đó là sai (lúc này kết quả đó được dùng làm giả thiết, gọi là giả thiết phản chứng).
- Bước 2: Bằng lập luận lôgic, và những kiến thức đã biết, kết hợp với kết quả ở bước 1 để chỉ ra điều mâu thuẫn với điều giả sử hoặc mâu thuẫn với kết quả đúng đã biết.
- Bước 3: Khẳng định mệnh đề đã cho là đúng.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng . Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.
Lời giải
Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sia. Khi đó .
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
 (*).
Mặt khác, với thì nên 
.
Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng./.
B. Các dạng toán điển hình
Dạng 1
Trong phần này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp nêu trên.
STUDY TIP
Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ.
Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.
Xét phương trình 
.
Vậy .
Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Ta có .
Do nên . Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
Đáp án C.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Ví dụ 2: Cho hàm số . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng:
	A. 	B. 	C. 9	D. 0
Lời giải
Điều kiện: .
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
- Kiểm tra phương án B:
Xét phương trình 
 (điều này không thể xảy ra vì ).
- Kiểm tra phương án A:
Xét phương trình 
STUDY TIP
Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ thuộc .
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì . Thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Với mọi , ta có .
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Đáp án A.
Nhận xét:
1. Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Cụ thể như sau:
Ta có 
.
Vậy .
2. Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, bạn đọc cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
.
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:
	A. 2	B. 0	C. 1	D. 18
Lời giải
Ta có .
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 0.
Đáp án B.
Ví dụ 4: Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi . Giá trị của bằng:
	A. 11	B. 29	C. 40	D. 49
Lời giải
Với thì và nên biểu thức M xác định khi .
Ta có .
.
Vậy, biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi .
Do đó .
Đáp án D.
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khẳng định nào dưới đây đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải
Ta có:
.
.
Vì x, y, z không âm nên và .
 và .
Vậy và .
Đáp án A.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số nguyên của biểu thức là:
	A. 0	B. 3	C. 2	D. 1
Câu 3: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số giá trị nguyên của biểu thức là:
	A. 4	B. 5	C. 6	D. 7
Câu 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của biểu thức . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S.
	A. 415	B. 451	C. 366	D. 2025
Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng biểu thức nhận giá trị là số nguyên tố p khi hoặc . Giá trị của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng
	A. 	B. 286	C. 1606	D. 
Lời giải
Ta có . Đẳng thức xảy ra (tức là ) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm .
Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên .
Khi thì .
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy, với thì . Suy ra và .
Do đó .
Đáp án A.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
Câu 1: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một số dương.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện . Tỷ số nhận giá trị thuộc khoảng nào d