Đề khảo sát chất lượng đội tuyển HSG năm học 2020-2021 môn Toán - Khối 10

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2020-2021 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI 10 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Đề thi gồm: 01 trang 
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số 
2 4
11 3
. 16
xf x
x x
. 
Câu 2 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 2 1 4y x m x 
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn 1 2 4x x . 
Câu 3 (2,0 điểm). Cho a là một số thực. Xét hai tập hợp: ( , ) | , ,A x y x y x y a và 
 3 3( , ) | , ,B x y x y x y a . Tìm tất cả các giá trị của a để A và B không có phần tử chung. 
Câu 4 (2,0 điểm). Giải bất phương trình 
2
23 2 4 0
3
x x x x
x
. 
Câu 5 (2,0 điểm). Cho phương trình 29 9x x x x m .Tìm tất cả các giá trị của 
tham số m để phương trình có nghiệm thực. 
Câu 6 (2,0 điểm). Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác đó thỏa 
mãn hệ thức sin 2
sin cos
C
A B
 . 
Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác đều .ABC Điểm M thay đổi nằm trong đoạn ,AB ( M khác 
A và B ). Gọi ,H K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đoạn BC và ;AC G 
là trọng tâm của tam giác .MHK Chứng minh rằng đường thẳng MG luôn đi qua một điểm cố 
định. 
Câu 8 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có 0, , 60AB c AC b BAC . Các điểm M, N được xác 
định bởi 2 , 2MC MB NB NA 
    
. Tìm hệ thức liên hệ giữa b, c để AM và CN vuông góc với 
nhau. 
Câu 9 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 4 5 5
2 2 1
x xy y
x y x y
 . 
Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức xy yz zxA
z x y
 . 
------Hết------ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: . .. . .; Số báo danh . 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 
NĂM HỌC 2020-2021 
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 
I. LƯU Ý CHUNG: 
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học 
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. 
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. 
II. ĐÁP ÁN: 
Câu Nội dung trình bày Điểm 
1 Tìm tập xác định của hàm số: 
2 4
11 3
. 16
xf x
x x
. 2,0 
Hàm số xác định 
2
4
0
16 0
x
x
. 0,5 
 2 2 2
0 0
4 4 0 4 0
x x
x x x
 0,5 
0 2 0
2 2 0 2
x x
x x
 0,5 
Tập xác định của hàm số là 2;0 0;2D  0,5 
2 
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 2 1 4y x m x cắt trục 
hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn 1 2 4x x 
2,0 
 Xét phương trình 2 2( 1) 4 0 *x m x 
Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn 
1 2 4x x thì (*)phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2, 0x x 
0,5 
' 0
0 1
0
S m
P
 0,5 
Ta có 
 1 2
1 2
2 1
4
x x m
x x
 0,5 
1 2 1 2 1 24 2 16 5x x x x x x m . Vậy 5m 0,5 
(Đáp án có 05 trang) 
3 
Cho a là một số thực. Xét hai tập hợp: ( , ) | , ,A x y x y x y a và 
 3 3( , ) | , ,B x y x y x y a . Tìm tất cả các giá trị của a để A và B 
không có phần tử chung. 
2,0 
A B  với mỗi ,x y thoả mãn x y a thì 3 3x y a 
Điều này tương đương với 3 3( ) x a x a x  
Hay: 2 2 33 3 0 (1) ax a x a a x  
0,5 
Nếu 0a thì (1) đúng với mọi x 0,5 
Nếu 0a : (1) đúng với mọi x khi và chỉ khi: 
4 3 2 4
3 0 0
2
9 12 ( ) 0 4 0
a a
a
a a a a a a
0,5 
Vậy các giá trị cần tìm của a là: a =0 hoặc 2a . 0,5 
4 Giải bất phương trình 
2
23 2 4 0
3
x x x x
x
 2,0 
Trường hợp 1: 
2 04 0
43 0
xx x
xx
 0,5 
Trường hợp 2: 
2
2
4 0 0 4
3 2 1 2 30
3
x x x x
x x x x
x
   
 0,5 
4x 0,5 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   0 4;S  0,5 
5 
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 
29 9x x x x m có nghiệm thực. 
2,0 
Phương trình
 2 2
0 9
9 2 9 9
x
x x x x m
 0,5 
 Đặt 29t x x ,  
9 90 , 0;9
2 2
x x
t x
  0,5 
Phương trình trở thành: 2 2 9t t m 
Xét hàm số 2 92 9, 0;
2
f t t t t 
0,5 
Từ bảng biến thiên ta có: 9 10
4
m 0,5 
6 
Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác đó 
thỏa mãn hệ thức sin 2
sin cos
C
A B
 . 2,0 
Áp dụng định lý hàm số sin: 
sin
2
sin sin sin sin
2
aAa b c R
cA B C C
R
 0,5 
Áp dụng định lý hàm số côsin: 
2 2 2
2 2 2 2 cos cos
2
a c bb a c ac B B
ac
 0,5 
Theo giả thiết ta có: 
2 2 2sin 2 sin 2sin cos 2. .
sin cos 2 2 2
C c a a c bC A B
A B R R ac
 0,5 
2 2 2
2 2 2 2 2 2a c bc c a c b a b a b
c
Vậy tam giác ABC cân tại C 
0,5 
7 
Cho tam giác đều .ABC Điểm M thay đổi nằm trong đoạn ,AB ( M khác A 
và B ). Gọi ,H K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đoạn 
BC và ;AC G là trọng tâm của tam giác .MHK Chứng minh rằng đường 
thẳng MG luôn đi qua một điểm cố định. 
2,0 
Gọi I là trung điểm ,HK ta có 2 .
3 3
MH MKMG MI MG 
     
 0,5 
Kẻ // , MQ//BCMP AC ( với , P BC Q AC ) suy ra H là trung điểm BP 
và K là trung điểm .AQ Do đó .
6
MB MP MA MQMG 
     
0,5 
Tứ giác MPCQ là hình bình hành .MP MQ MC 
   
 Do đó 
.
6
MA MB MCMG 
    
0,5 
Gọi O là tâm trọng tâm tam giác ,ABC suy ra .
2
MOMG 
  
 0,5 
Q
P
K
H
M
G
I
O
CB
A
Vậy MG luôn đi qua trọng tâm O của tam giác .ABC 
8 
Cho tam giác ABC có 0, , 60AB c AC b BAC . Các điểm M, N được xác 
định bởi 2 , 2MC MB NB NA 
    
. Tìm hệ thức liên hệ giữa b, c để AM và 
CN vuông góc với nhau. 
2,0 
 Ta có: 2 2 3 2MC MB AC AM AB AM AM AB AC 
         
 0,5 
Tương tự ta cũng có: 3 2CN CA CB 
   
. 0,5 
Vậy: . 0 2 2 0AM CN AM CN AB AC CA CB 
      
 0,5 
 2 22 3 0 2 3 5 . 0AB AC AB AC AB AC AB AC 
      
 2 2 2 2
2
2 3 5 0 4 5 6 0 32
4
c b
bcc b c bc b
c b
0,5 
9 Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 4 5 5
2 2 1
x xy y
x y x y
 . 2,0 
Hệ phương trình 
2 2 2
2 2
2 2 2 5
2 2 1
x y x y
x y x y
 0,5 
Đặt 
2 2
2
2
u x y
v x y
. Hệ trở thành: 
2
1
22 5
1 3
2
u
vu v
u v u
v
 0,5 
Với 2 2
0; 12 11
8 92 ;2 2
7 7
x yx yu
v x yx y
 0,5 
Với 2 2
2; 12 33
10 12 ;2 2
7 7
x yx yu
v x yx y
Vậy hệ có 4 nghiệm ;x y là: 8 9 10 12;1 ; 0;1 ; ; ; ; .
7 7 7 7
0,5 
10 
Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức xy yz zxA
z x y
2,0 
Ta có 
22 2
2 2 2 22xy yz zxA x y z
z x y
 0,5 
-------Hết------- 
Ta thấy 
 2 2 2 2 2 20 , , , *x y y z z x x y z xy yz zx x y z  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 
0,5 
Áp dụng BĐT (*) ta được 
22 2
2 2 2xy yz zx x y z
z x y
Khi đó 
22 2
2 2 2 2 2 2 22 3 3xy yz zxA x y z x y z
z x y
0,5 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
xy yz zx x y z
z x y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 3 đạt được khi 1
3
x y z 
0,5