Chuyên đề Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

1
Chương
VECTO
CHUYÊN ĐỀ 5
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
Hình 1.30
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và một vectơ đơn vị ( tức là )
Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; ) hay hoặc đơn giản là 
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
+ Cho vec tơ nằm trên trục (O ; ) thì có số thực a sao cho với . Số a như thế được gọi là tọa độ của vectơđối với trục (O ; )
+ Cho điểm M nằm trên (O ; ) thì có số m sao cho . Số m như thế được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O ; )
Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ 
3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :
Cho hai điểm A, B nằm trên trục thì tọa độ của vectơ kí hiệu là và gọi là độ dài đại số của vectơ trên trục 
Như vậy 
Tính chất :
+ 
+ 
Hình 1.31
+ 
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc và với hai vectơ đơn vị lần lượt là . Điểm O gọi là gốc tọa độ, gọi là trục hoành và gọi là trục tung.
Kí hiệu hay 
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
+ Trong hệ trục tọa độ nếu thì cặp số được gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu là hay . 
x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ 
+ Trong hệ trục tọa độ , tọa độ của vectơ gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là hay . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên và thì 
Như vậy hay 
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
 + Cho và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là 
 + Cho tam giác có . Tọa độ trọng tâm của tam giác là và 
4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
Cho ; và số thực k. Khi đó ta có : 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) cùng phương () khi và chỉ khi có số k sao cho 
 5) Cho thì 
 Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: là trung điểm của đoạn thẳng 
Vậy .
Cho các vectơ . Điều kiện để vectơ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của vectơ là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Theo công thức tọa độ vectơ .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ trọng tâm của tam giác là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: là trọng tâm của tam giác với là điểm bất kì.
Chọn chính là gốc tọa độ . Khi đó, ta có:
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ đối nhau.
B. Hai vectơ đối nhau.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ đối nhau.
Lời giải
Chọn C
Ta có: và đối nhau.
Trong hệ trục , tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Trong mặt phẳng tọa độ cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là: .
Cho tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ , hai đỉnh và có tọa độ là ;. Tọa độ của đỉnh là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Vectơ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Cho hai điểm và .Tọa độ điểm sao cho là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Cho . Haivec tơ và cùng phương nếu số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: và cùng phương khi .
Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Cho hình chữ nhật có . Độ dài của vec tơ là:
A. 9.	B. 5.	C. 6.	D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Cho hai điểm và . Vec tơ đối của vectơ có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có vectơ đối của là .
Cho . Tọa độ của vec tơ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
A. Hai vec tơ và cùng phương.
B. Hai vec tơ và cùng hướng.
C. Hai vec tơ và ngượchướng.
D. Vec tơ là vec tơ đối của .
Lời giải
Chọn B
Ta có: suy ra cùng hướng với .
Cho . Vec tơ nếu:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Cho,,.Tọa độ của:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Cho. Điểm thỏa , tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Tam giác có , trọng tâm , trung điểm cạnh là . Tọa độ và là:
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: là trung điểm nên 
là trọng tâm tam giác nên .
Cho và . Tìm phát biểu sai:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: , .
Cho . Điểm trên trục sao cho ba điểm thẳng hàng thì tọa độ điểm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: trên trục 
Ba điểm thẳng hàng khi cùng phương với 
Ta có . Do đó, cùng phương với . Vậy .
Cho 4 điểm . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng hàng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 3 điểm thẳng hàng.
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ của điểm đối xứng với qua là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: đối xứng với qua là trung điểm đoạn thẳng 
Do đó, ta có: .
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. đối nhau.	B. cùng phương nhưng ngược hướng.
C. cùng phương cùng hướng.	D. A, B, C, D thẳng hàng.
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Trong mặt phẳng , cho . Tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: tứ giác là hình bình hành khi .
Trong mặt phẳng , gọi và lần lượt là điểm đối xứng của qua trục ,và qua gốc tọa độ . Tọa độ của các điểm và là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: đối xứng với qua trục 
 đối xứng với qua trục 
 đối xứng với qua gốc tọa độ .
Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Cho và. Tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Cho . Hai vectơ cùng phương nếu
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: cùng phương .
Trong mặt phẳng , Cho . Khi đó 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho . Nếu thì
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Điểm là điểm đối xứng của qua trục hoành. Tọa độ điểm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: là điểm đối xứng của qua trục hoành .
Trong mặt phẳng tọa độ cho. Cho biết . Khi đó
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Cho các vectơ . Phân tích vectơ theo hai vectơ , ta được:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Giả sử . Vậy .
Cho . Vectơ nếu
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Trong mặt phẳng , cho . Tìm giá trị để là ba điểm thẳng hàng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: , 
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với 
.
Cho hai điểm . Nếu là điểm đối xứng với điểm qua điểm thì có tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: là điểm đối xứng với điểm qua điểm nên là trung điểm đoạn thẳng 
Do đó, ta có: .
Cho tam giác với . Tìm để là hình bình hành?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: là hình bình hành .
Cho . Điểm sao cho là trung điểm . Tọa độ điểm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: 
 là trung điểm .Vậy .
Cho tam giác với . Tìm để là hình bình hành?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: là hình bình hành .
Cho lần lượt là trung điểm các cạnh của . Tọa độ là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: BPNM là hình bình hành nên .
Các điểm , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , của tam giác . Tọa độ đỉnh của tam giác là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: là hình bình hành nên .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có và thuộc trục ,trọng tâm của tam giác nằm trên trục .Toạ độ của điểm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: thuộc trục , nằm trên trục 
 là trọng tâm tam giác nên ta có: 
Vậy .
Cho các điểm . Tìm điểm biết rằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: