Bài tập Toán 10 - Phần: Bất đẳng thức

TOÁN 10
BẤT ĐẲNG THỨC
0D4-1
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1.	 Cho các bất đẳng thức và . Bất đẳng thức nào sau đây đúng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2.	 Tìm mệnh đề đúng.
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 3.	 Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 4.	 Nếu thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	 Khẳng định nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 Suy luận nào sau đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 7.	 Cho là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 8.	 Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9.	 (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho số khác thỏa mãn và . Kết quả nào sau đây đúng nhất?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 Cho là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 12.	 Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. 	C. 	D. .
Câu 13.	 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. .	B. .
C. .	D. , .
Câu 14.	 Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15.	Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. .	B. thì hoặc .
C. .	D. thì .
Câu 16.	 Cho Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG
Câu 17.	 Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm có dạng nào trong các dạng được cho dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18.	 Cho ba số không âm . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19.	 Cho hai số thực và thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tích có giá trị nhỏ nhất là .	B. Tích không có giá trị lớn nhất.
C. Tích có giá trị lớn nhất là .	D. Tích có giá trị lớn nhất là .
Câu 20.	Mệnh đề nào sau đây sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 21.	 Cho các mệnh đề sau
; ; 
Với mọi giá trị của , , dương ta có
A. đúng và , sai.	B. đúng và , sai.
C. đúng và , sai.	D. , , đúng.
Câu 22.	Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23.	 Giá trị nhỏ nhất của hàm số với là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 24.	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 25.	Giá trị nhỏ nhất của hàm số ; là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 26.	Hàm số với , đạt giá trị nhỏ nhất tại (, nguyên dương, phân số tối giản). Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 27.	 Cho là số thực bất kì, . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28.	 Tìm giá trị nhỏ nhất của với .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 29.	 (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 30.	 Giá trị nhỏ nhất của hàm số với là
A. .	B. .	C. .	D. 3.
Câu 31.	 Cho . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 32.	 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 33.	 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
A. không tồn tại; .	B. ; .
C. ; .	D. ; .
Câu 34.	 Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho biểu thức , với . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35.	 Cho các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 36.	 (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37.	 Cho hai số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
A. đạt được khi .
B. đạt được khi .
C. đạt được khi .
D. đạt được khi .
Câu 38.	 Cho hai số thực thỏa mãn: Giá trị lớn nhất của biểu thức: bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 39.	 (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hai số thực , thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của biểu thức là
A. 9.	B. 16.	C. 18.	D. 1.
Câu 40.	 Cho là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 41.	 Cho các số thực , , . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 42.	 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
A. 63.	B. 36.	C. 35.	D. 34.
Câu 43.	 Cho các số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 44.	 Cho là các số thực thay đổi thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 45.	 Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 46.	 Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện Biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 47.	 Cho 4 số nguyên không âm thỏa và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 48.	 (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho ba số thực dương . Biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 49.	 (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 50.	 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: . Giá trị lớn nhất của biểu thức là:
A. 2.	B. 1.	C. 4.	D. 3.
Câu 51.	 Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện và . Đặt thì khẳng định đúng là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 52.	 Với . Biểu thức . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 53.	 Cho các số dương , , thỏa mãn . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 54.	 (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho phương trình có nghiệm. Giá trị nhỏ nhất bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 55.	Người ta dùng rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 56.	 Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 57.	 (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 58.	 (ĐỀ THI HỌC KÌ I LỚP 12 - QUANG TRUNG - ĐỐNG ĐA - HÀ NỘI) Một miếng bìa hình tam giác đều , cạnh bằng 16. Học sinh Minh cắt một hình chữ nhật từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa ( với thuộc cạnh ; lần lượt thuộc cạnh và . Diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 59.	 Một miếng giấy hình tam giác vuông (vuông tại ) có diện tích , có là trung điểm . Cắt miếng giấy theo hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng qua cắt cạnh tại , đường thẳng qua cắt cạnh tại . Khi đó miếng giấy tam giác có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1.	 Chọn	B. 
Theo tính chất bất đẳng thức, .
Câu 2.	 Chọn	C. 
Ta có: 
Câu 3.	 Chọn	B. 
Không có tính chất hiệu hai vế bất đẳng thức.
Ví dụ , Sai.
Câu 4.	 Chọn	C. 
.
Câu 5.	 Chọn	A. 
Câu 6.	 Chọn	A. 
 đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.
Câu 7.	 Chọn	D. 
Câu 8.	 Chọn	D. 
Ta có với mọi số thực nên Chọn	D. 
Câu 9.	 Chọn C
Từ.
Câu 10.	 Chọn D
Các mệnh đề A, B, C đúng.
Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: nhưng 
Câu 11.	 Chọn	D. 
Khi cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều nên ta có .
Câu 12.	 Chọn C
Câu A sai ví dụ 
Câu B sai với .
Câu C đúng vì 
Câu D sai khi 
Câu 13.	 Chọn C
Các mệnh đề A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Mệnh đề D đúng theo bất đẳng thức Cô- Si cho 2 số không âm và .
Mệnh đề C sai khi (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).
Câu 14.	 Chọn	A. 
Với A đúng.
Chọn B, C sai.
Chọn D sai.
Câu 15.	 Chọn	B. 
Nếu thì ít nhất một trong hai số , phải dương.
Thật vậy nếu mâu thuẫn.
Câu 16.	 Chọn	A. 
.
DẠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC COSI và ỨNG DỤNG
Câu 17.	 Chọn C
Câu 18.	 Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: .
Câu 19.	 Chọn C
Với mọi số thực và ta luôn có: Dấu “=” xảy ra 
Vậy tích lớn nhất bằng .
Câu 20.	 Chọn	D. 
Theo tính chất của bất đẳng thức và bất đẳng thức Côsi thì A, B, C luôn đúng.
Ta có nếu là sai.
Câu 21.	 Chọn	D. 
Với mọi , , dương ta luôn có:
, dấu bằng xảy ra khi . Vậy đúng.
, dấu bằng xảy ra khi . Vậy đúng.
, dấu bằng xảy ra khi . Vậy đúng.
Câu 22.	 Chọn	D. 
Ta có: . Vậy .
Câu 23.	 Chọn	C. 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có suy ra giá trị nhỏ nhất của bằng .
Câu 24.	 Chọn	B. 
có tập xác định .
Ta có: , dấu bằng xảy ra khi hoặc .
Câu 25.	 Chọn	A. 
Xét hàm số .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi .
Câu 26.	 Chọn	D. 
Theo BĐT CAUCHY – SCHAWARS: , trong đó các số 
Vì nên và 
Từ đó 
Suy ra khi .
Câu 27.	 Chọn	D. 
Với là số thực bất kì, ta có: 
.
Hay .
Câu 28.	 Chọn D
Với 
Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương có
Dấu đẳng thức xảy ra khi (vì )
Do đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng (khi ).
Câu 29.	 Chọn B
Hàm số xác định khi: .
.
 .
Dấu “=” xảy ra khi: 
Do nên 
Với ta có: tại .
Câu 30.	
Hướng dẫn giải
Chọn	B. 
Ta có: .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng .
Câu 31.	
Hướng dẫn giải
Chọn	A. 
Ta có và .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng đạt được khi 
Câu 32.	 Chọn A
Tập xác định của hàm số .
Ta có .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi và chỉ khi .
Câu 33.	 Chọn C
Tập xác định của hàm số .
Ta thấy .
Có . Suy ra ;.
Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .
Theo BĐT Cô Si ta có với.
Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi . Vậy .
Câu 34.	 Chọn	A. 
Với , ta có .
Vậy khi .
Câu 35.	 Chọn D
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy khi .
Câu 36.	 Chọn A
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: .
Dễ thấy là một nghiệm của nên .
Câu 37.	 Chọn C
Điều kiện: 
Ta có: 
 ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy đạt được khi .
Câu 38.	 Chọn D
Điều kiện: 
Ta có: 
 ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki)
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy đạt được khi .
Câu 39.	 Chọn B
Ta có 
Đặt 
Biến đổi 
Ta có 
Dấu xảy ra 
Câu 40.	 Chọn A
Ta có: 
Dấu xảy ra khi 
Câu 41.	 Chọn B
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
.
Dấu xảy ra.
Câu 42.	
Lờigiải
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực dương ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và a+b+c=1 hay .
Câu 43.	 Chọn A
Đặt . Khi đó bài toán trở thành “ Cho , với dương. Tìm giá trị lớn nhất của ”.
Ta có
.
Tương tự
Nhân cả hai vế của ,, ta được:
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là .
Câu 44.	 Chọn B
Theo đề ra ta có: .
Do vậy .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopski ta có:
Hay
. Vậy . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Câu 45.	 Ta có
Câu 46.	 Chọn A
Chứng minh được: với ta có: (1).
Dấu “=” xảy ra khi .
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số không âm ta có: .
.
Tương tự ta được:
 (theo (1)).
.
Dấu “=” xảy ra .
Vậy 
Câu 47.	 Chọn D
Từ (*) suy ra là số chẵn. Mặt khác do (**), ta được . Do đó .
Xét . Từ (*) ta có và từ (**) ta có . Do đó ( loại vì không thỏa (*)).
Xét . Từ (*) ta có . Thay vào (*) ta giải được . Vậy .
Xét . Từ (*) và , ta có: .
Thay vào (*) ta giải được (mâu thuẫn vì ).
Kết luận . Chọn	D. 
Câu 48.	 Chọn D
Vì là các số thực dương suy ra là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Cộng các về của (1), (2) và (3) ta được 
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
 (4)
 (5)
 (6)
Cộng các vế của (4), (5) và (6) ta được 
Suy ra . Dấu “=” xảy ra 
Câu 49.	 Chọn B
.
Dấu xảy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng .
Câu 50.	 Chọn B
Áp dụng hệ quả của BĐT Côsi ta có:
 (1).
Tương tự ta có : 
Cộng các BĐT (1),(2),(3) vế theo vế ta có:
Vậy đạt được khi 
Câu 51.	 Chọn B
+ Theo bài ra 6 số , áp dụng BĐT Cauchy cho 2018 số dương, gồm 2017 số và 1 số là ta được:
 (1)
+ Chứng minh tương tự ta có:
 (2)
 (3)
Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) theo vế ta có:
Theo bài ra: và nên ta có:
 ⇒ Chọn	B. 
Câu 52.	
Hướng dẫn giải
Chọn	D. 
Ta có: .
Áp dụng bất đẳng thức : đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ta được , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Do đó ; đẳng thức xảy ra khi .
Câu 53.	 Chọn	B. 
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: .
Tương tự, ta có: , .
Suy ra: .
Dấu đẳng thức xảy ra .
Vậy .
Câu 54.	 Chọn A
Kiểm tra không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho ta được 
. Dấu “” xảy ra khi .
Câu 55.	 Chọn	B. 
Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là , (, ; là cạnh của bức tường).
Ta có: ..
Diện tích hình chữ nhật là .
Vậy . Đạt được khi ; .
Câu 56.	 Chọn C
Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là , đơn vị: m.
Từ giả thiết, ta có 
Diện tích hình chữ nhật là .
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có
.
Dấu bằng xảy ra 
Hay .
Câu 57.	 Chọn A
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là với .
Khi đó chu vi hình chữ nhật .
Câu 58.	 Chọn C
Đặt với .
 vuông tại .
. Vậy tích hình chữ nhật lớn nhất bằng khi .
Câu 59.	 Chọn D
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó ta luôn có , .
Vì tam giác vuông tại nên .
Do là trung điểm nên , 
Vì vậy .