Bài tập Đại số Lớp 10 - Chủ đề 6: Thống kê

Vấn đề cần nắm:
1. Bảng phân bố tần số, tần suất
2. Số trung bình cộng, trung vị, mốt
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
Chủ đề 6
THỐNG KÊ
Thống kê là khoa học nghiên cứu tập hợp nhiều lĩnh vực khác nhau gồm: phân tích, giải thích trình bày và biểu diễn các dữ liệu. Ngày nay thống kê được áp dụng để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học công nghệ hoặc các vấn đề xã hội. Trong chương trình học phổ thông hầu hết các môn đều liên quan đến thống kê.
Chủ đề này giúp chúng ta nắm vững một số phương pháp trình bày số liệu và thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng.
ççç
A. Lý thuyết
1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau . Gọi là một giá trị bất kì trong k giá trị đó.
Ta có:
+ Số lần xuất hiện trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là .
+ Số được gọi là tần suất của giá trị .
Ví dụ 1: Thống kê một điểm kiểm tra 45 phút của 40 học sinh của một lớp 10 năm học 2017 - 2018 cho ta kết quả như sau:
3
5
7
9
10
6
8
3
4
6
5
7
8
10
9
3
6
4
7
9
10
6
9
7
4
5
3
3
7
9
6
10
8
7
5
4
8
9
7
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
	A. Trong 40 số liệu thống kê trên, số giá trị khác nhau là 8
	B. Giá trị 9 có tần số là 6
	C. Giá trị 10 có tần suất là 10%
	D. Giá trị 10 có tần suất là 4
Lời giải
+ Các giá trị khác nhau: đúng.
+ Giá trị xuất hiện 6 lần Tân số là 6 B đúng.
+ Giá trị xuất hiện 4 lần Tần suất là hay C đúng D sai.
Đáp án D.
Chú ý: 
+ Bạn đọc tham khảo bằng phân bố tần số, tần suất ở bảng bên.
+ Trong bảng phân bố tần suất thì tỉ số tần suất tính dưới dạng phần trăm.
2. Giả sử n là số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp (). Xét lớp thứ i (), trong k lớp đó ta có:
+ Số các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần suất của lớp đó.
+ Số gọi là tần số của lớp thứ i.
Ví dụ 2: Để giải thử một đề trắc nghiệm 35 câu, thời gian (giây) học sinh A làm từng câu được cho bởi bảng số liệu thống kê sau:
Các số liệu thống kê được phân vào các lớp , , , , , . Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
	A. Tần số của lớp là 4
	B. Tần suất của lớp là 
	C. Tần suất của lớp là 10%.
	D. Số các lớp trong số liệu thống kê trên là 6.
Lời giải
+ Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp A đúng.
+ Có 10 số liệu thống kê thuộc lớp 
 Tần suất là B đúng.
+ Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp 
 Tần suất là C sai.
Đáp án C.
Lưu ý: Bạn đọc có thể tham khảo bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp ở bảng bên.
3. Các số đặc trưng của mẫu số liệu
a. Nếu mẫu số liệu có kích thước n là thì:
+) Số trung bình được xác định theo công thức:
.
+) Phương sai được xác định theo công thức:
.
+) Độ lệch chuẩn s được xác định theo công thức: .
b. Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng một bảng phân bố tần số thì:
+) Số trung bình được xác định theo công thức:
.
+) Phương sai
.
Trong đó: lần lượt là tần số, tần suất của giá trị là số các số liệu thống kê .
c. Nếu mẫu số liệu cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
+) Số trung bình được xác định theo công thức:
.
+) Phương sai
Trong đó lần lượt là các giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i. n là số các số liệu thống kê ().
Lưu ý: 
+ Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng độ lệch chuẩn s (giá trị càng nhỏ thì mức độ phân tán số liệu càng nhỏ)
+ Phương sai còn được tính theo công thức: 
Đối với bảng phân bố tần số, tần suất thì
.
Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp thì
.
4. Số trung vị: Kí hiệu: 
+ Nếu số phần tử của số liệu thống kê lẻ thì
 Số giá trị thứ (n là số các số liệu thống kê).
+ Nếu số phần tử của số liệu thống kê chẵn thì
 = Trung bình cộng của giá trị thứ và .
5. Mốt: Kí hiệu: 
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất
Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia kết quả được ghi lại trong bảng phân bổ tần số sau:
Lớp
Tần số
6
7
8
9
10
4
3
8
9
6
Cộng
30
Khi đó điểm số trung bình cộng là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
	A. 8,33	B. 8,34	C. 8,31	D. 8,32
Lời giải
Cách 1: 
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS
+ Nhập (vào chế độ thống kê).
+ Nhập (hiển thị cột tần số).
+ Nhập (nhập giá trị).
+ Nhập , sau đó ấn .
+ Tính giá trị trung bình: Ấn 
Đáp án A.
Ví dụ 2: Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau:
Lớp
Tần số
[16; 20)
[20; 24)
[24; 28)
[28; 32)
[32; 36)
10
12
14
9
5
Khi đó độ lệch chuẩn của bảng số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần chục):
	A. 24,8	B. 5,3	C. 5,0	D. 25,0
Lời giải
Cách 1:
+ Giá trị đại diện mỗi lớp: 
+ Số trung bình cộng:
+ Độ lệch chuẩn:
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS
+ Nhập (vào chế thống kê).
+ Nhập (hiển thị cột tần số).
+ Nhập (nhập giá trị).
+ Nhập (nhập tần số), sau đó ấn .
+ Nhập 
(Lưu ý: Đối với Ví dụ 2, phương sai ).
Đáp án C.
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 242
Câu 1: Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là:
	A. Độ lệch chuẩn	B. Số trung bình
	C. Mốt	D. Số trung vị
Câu 2: Tỉ số giữa tần số và kích thước của mẫu được gọi là:
	A. Mốt	B. Phương sai
	C. Số trung vị	D. Tần suất
Câu 3: Để điều tra số thành viên trong mỗi gia đình của một hcung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 3 và thu được mẫu số liệu sau:
Dấu hiệu điều tra ở đây là gì?
	A. Số gia đình ở tầng 3
	B. Số con trong mỗi gia đình
	C. Số người trong một gia đình
	D. Số tầng của chung cư
Câu 4: Trong các biểu đồ sau, biểu đồ nào thích hợp nhất cho việc thể hiện bảng phân bố tần suất ghép lớp?
	A. Biểu đồ hình quạt
	B. Biểu đồ hình cột
	C. Biểu đồ đường gấp khúc
	D. Biểu đồ đa giác tần số
Câu 5: Thống kê điểm thi môn Ngữ văn trong một kì thi của 380 em học sinh. Người ta thấy có 10 bài được điểm 8. Hỏi tần suất có giá trị là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
	A. 2,63%	B. 2,11%
	C. 2,10%	D. 4,74%
Câu 6: Thống kê điểm thi môn Tiếng Anh khối 10 của một trường THPT gồm 420 học sinh. Người ta thấy số bài đạt điểm 10 chiếm tỉ lệ 5%. Hỏi tần số của giá trị là bao nhiêu?
	A. 50	B. 21	C. 42	D. 10
Câu 7: Cho mẫu số liệu thống kê: . Mốt của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?
	A. 3	B. 5	C. 9	D. 7
Câu 8: Cho dãy số liệu thống kê: . Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê trên là:
	A. 33,5	B. 32	C. 32,5	D. 24
Câu 9: Ba nhóm học sinh gồm 5 người, 10 người, 15 người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là: 48 kg, 45kg và 40kg. Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm học sinh là:
	A. 42kg	B. 64,5kg
	C. 44,3kg	D. 43kg
Câu 10: Cho mẫu số liệu thống kê . Số liệu trung vị của mẫu số liệu thống kê trên là:
	A. 1	B. 6	C. 4	D. 10
Câu 11: Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là:
	A. 10	B. 7	C. 6	D. 2
Câu 12: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng dưới đây:
Tiền thưởng
1
2
3
4
5
Cộng
Tần số
10
12
11
15
2
50
Tìm Mốt ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 13: Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau:
Điểm
9
10
11
12
13
14
Tần số
2
1
2
10
8
8
Điểm
15
16
17
18
19
Cộng
Tần số
24
18
14
10
3
100
Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
	A. 4,67	B. 2,16	C. 4,70	D. 2,17
Câu 14: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng dưới đây:
Tiền thưởng
2
3
4
5
6
Cộng
Tần số
5
15
10
6
4
40
Tính tiền thưởng trung bình:
	A. 3725000 đồng	B. 3745000 đồng
	C. 3715000 đồng	D. 3625000 đồng
Câu 15: Điểm kiểm tra một tiết môn Toán lớp 10A được cho ở bảng sau:
Tìm Mốt ?
	A. 6	B. 8	C. 9	D. 10
Câu 16: Điều tra về số học sinh của một trường THPT như sau:
Khối lớp
10
11
12
Số học sinh
400
385
380
Kích thước của mẫu là:
	A. 400	B. 385	C. 380	D. 1165
Câu 16: Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 30 ngày:
Lớp thời gian (phút)
Tần số
[15; 17)
5
[17; 19)
4
[19; 21)
12
Trong 30 ngày được khảo sát, những ngày bạn A có thời gian đi đến trường từ 19 phút đến dưới 23 phút chiếm bao nhiêu %?
	A. 60%	B. 40%
	C. 20%	D. 63,33%
Câu 18: Số quần jeans bán được trong một quý ở một cửa hàng thời trang được thống kê ở bảng sau:
Size
26
27
28
29
Tần số (số quần bán)
128
105
119
16
Size
30
31
32
Cộng
Tần số (số quần bán)
8
2
1
379
Tìm số trung vị ?
	A. 26	B. 27	C. 26,5	D. 27,5
Câu 19: Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình trong một hợp tác xã được ghi ở bảng sau
Tìm phương sai ?
	A. 3,4	B. 1,84	C. 1,8	D. 3,24 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C.
Câu 2: Đáp án D.
Câu 3: Đáp án C.
Câu 4: Đáp án A.
Câu 5: Đáp án A.
Tần suất 
Chú ý: 
Với f là tần suất (%)
n là tần số
N là kích thước mẫu
Câu 6: Đáp án B.
Tần số 
Câu 7: Đáp án B.
Giá trị 5 xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu (3 lần)
Câu 8: Đáp án C.
Số trung bình cộng:
Câu 9: Đáp án D.
Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm là:
 (kg)
Câu 10: Đáp án B.
Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm là:
1	4	4	6	7	9	10
Vậy số trung vị là 
Chú ý: Cách tìm số trung vị 
+ Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành 1 dãy không giảm (không tăng).
+ Nếu số phần tử lẻ thì là số đứng giữa dãy.
+ Nếu số phần tử chẵn thì là trung bình cộng của 2 số đứng giữa dãy.
Câu 11: Đáp án D.
+ Trung bình cộng của dãy là 
+ Phương sai của dãy số liệu thống kê là:
Câu 12: Đáp án A.
Tiền thưởng 4 triệu đồng được thưởng cho 15 người 
Câu 13: Đáp án D.
+ Điểm trung bình của 100 học sinh là:
+ Độ lệch chuẩn:
Chú ý: Cách sử dụng máy tính bỏ túi
Bước 1: Vào chế độ thống kê:
Bước 2: Hiển thị cột tần số:
Bước 3: Nhập các giá trị: nhập lần lượt từng giá trị, nhập xong mỗi giá trị ấn phím để lưu vào máy.
Bước 4: Nhập tần số: Sau khi nhập đủ các giá trị, dùng phím để di chuyển con trỏ trở về đầu cột tần số.
Nhập lần lượt tần số tương ứng với mỗi giá trị.
Kết thúc ấn phím để thoát khỏi màn hình thống kê hai cột.
Bước 5: * Tính giá trị trung bình:
* Tính độ lệch chuẩn s:
(Tính phương sai ta ấn tiếp phím )
Câu 14: Đáp án A.
Tiền thưởng trung bình:
 (triệu đồng)
Câu 15: Đáp án C.
Từ bảng trên có bảng phân bố tần số
Điểm
Tần số
5
1
6
5
7
6
8
8
9
9
10
6
Câu 16: Đáp án D.
Kích thước của mẫu là:
Câu 17: Đáp án A.
Số ngày bạn A đi học thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ngày
Vậy chiếm 
Lưu ý: Có thể tìm tần suất của từng lớp rồi cộng tần suất của lớp 3 và lớp 4 ta được kết quả.
Câu 18: Đáp án B.
Số quần bán được là 379 chiếc
 Số trung vị là số chính giữa của dãy khi xếp số quần bán được thành một dãy không giảm
 là quần có size đứng ở vị trí 190 
Câu 19: Đáp án D.
Từ bảng số liệu trên ta có bảng phân bổ tần suất:
Sản lượng (tạ)
Tần số
12
4
13
2
14
5
15
5
16
1
17
1
18
2
Sản lượng vải trung bình:
 (tạ)
Phương sai là:
Lưu ý: Có thể tìm phương sai bằng cách sử dụng máy tính như các ví dụ trên.