Giáo án ôn tập Đại số 10 - Chủ đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Năm học 2020-2021 - Vũ Tuấn Anh

Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
1 
Ngày soạn:18/9/2020 CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 
(10,11,12,16-18,22-24) 
Trong chương trình môn Toán THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm 
số bậc nhất, hàm số , hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Chủ để này ôn tập và bổ 
sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá 
trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số 
và áp dụng vào việc khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai. 
§1. Đại cương về hàm số 
A. Lý thuyết 
1. Định nghĩa hàm số 
Cho một tập hợp khác rỗng . Hàm số f xác định trên D là một 
quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí 
hiệu là ; số đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là 
tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm 
số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị của hàm số. Ta viết 
. 
2. Tập xác định của hàm số 
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức 
 được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được . 
Các bước tìm tập xác định của hàm số : 
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định; 
+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp. 
CHÚ Ý 
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và . 
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi 
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi xác định và . 
+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi và 
Cho a là một số dương. 
+ ) 
; 
+ ) 
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau: 
2y ax 
D 
 f x f x
 y f x 
 y f x 
 f x y f x 
 y f x 
 f x
A x
B x
 ,A x B x 0B x 
 A x 0A x 
A x
B x
 A x 0B x 
 A x B x 0A x 0B x 
2x a x a 
x a
x a
2x a x a 
a x a 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
2 
 a) ; b) ; 
 c) ; d) . 
Lời giải 
a) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy . 
b) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . Vậy . 
c) Biểu thức xác định khi và chỉ khi . 
Vậy . 
Chú ý: Lời giải sai: . 
d) Biểu thức xác định khi và chỉ khi 
. 
Vậy . 
3. Đồ thị của hàm số 
Cho hàm số xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các 
điểm có tọa độ với , gọi là đồ thị của hàm số . Nói cách khác, 
 và . 
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số đi qua điểm nào 
sau đây? 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
Với thì . 
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm . 
Đáp án D. 
3
1
y
x
5 2y x 
2
3 2
1
x
y
x
2 2y x x 
3
1x 
1 0 1x x \ 1D 
5 2x 
5
5 2 0
2
x x 
5
;
2
D
2
3 2
1
x
x
2 2
1
1 0 1 1
1
x
x x x
x
 ; 1 1;D  
2 21 0 1 1x x x 
2 2x x 
2 0 2
2
2 0 2
x x
x
x x
 2;D 
 y f x G
 ;x f x x D f
 0 0 0;M x y G x D 0 0y f x 
2 1 2
3 2
 khi 
 khi 
x x
y f x
x
 0; 3 3;7 2; 3 0;1
0 2x 0 2.0 1 1y f 
 0;1
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
3 
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên đoạn có đồ thị là 
đường gấp khúc được cho như trong hình dưới đây: 
Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra: 
a) ; 
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ; 
c) Dấu của trên khoảng . 
Lời giải 
a) ; 
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được tại hoặc ; 
c) với mọi . 
* Sự tương giao của các đồ thị: 
Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là và . 
Các bước tìm tọa độ giao điểm của và : 
+ Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : 
 (*). 
+ Bước 2: Giải phương trình (*). 
+ Bước 3: 
- Nếu (*) vô nghiệm: Kết luận hai đồ thị không có giao điểm. 
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào một trong 
hai biểu thức hoặc để tìm tung độ các giao điểm (thường ta thay vào các biểu 
thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4. 
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm. 
Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số 
 và . 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điểm: (*). 
Ta có 
. 
 y f x  3;8 
 3f 
 3;8 
 f x 1;4
 3 2f 
 3;8 2 3x 2x 
 0f x 1;4x 
 y f x y g x 1C 2C
 1C 2C
 1C 2C
 f x g x 
 f x g x
3 1y x 3y x 
3 1 3x x 
3 0 0 3
3 1 3
3 1 9 6 2 6 8 0
x x
x x
x x x x x
1 1x x 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
4 
Vậy (*) có nghiệm duy nhất . 
Thay vào hàm số ta được . 
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là . 
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D. 
Giá trị lớn nhất 
Giá trị nhỏ nhất 
* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ nhất): 
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho). 
+ Bước 2: Chứng minh . 
+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại sao cho . 
+ Bước 4: Kết luận . 
CHÚ Ý 
Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số, nhất định phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào rồi mới 
kết luận. 
Ví dụ 5: Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của hàm 
số trên tập xác định của nó. 
Lời giải 
Điều kiện xác định: . 
Do đó . 
Ta có . Mặt khác . 
Vậy . 
Lời giải sai: Ta có . Do đó giá trị lớn nhất 
của hàm số là 1. 
Lời giải này sai do đẳng thức không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x. 
Thật vậy, , vô lí. 
5. Tính chẵn, lẻ của hàm số 
* Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập D. 
1x 
1x 3y x 2y 
 1;2
 y f x 
 0 0
:
max
:D
x D f x M
M f x
x D f x M
 
 
 0 0
:
min
:D
x D f x m
m f x
x D f x m
 
 
 :x D f x M 
0x D 0f x M 
 max
D
M f x 
1
2 2
f x
x x
2
00
0
1 1 02 2 0
xx
x
xx x
 0;D 
1 1
0 : 2 2 2
22 2
x x x
x x
 
1
0
2
f 
 
0;
1
max
2
f x
2 1
2 2 1 1 1 1
2 2
x x x f x
x x
 1f x 
 1 1 0 1f x x x 
 f x
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
5 
 Định nghĩa Đồ thị 
Hàm số chẵn Đối xứng qua trục Oy 
Hàm số lẻ Đối xứng qua gốc O 
* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác định. Khi 
đó ta có: 
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. 
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ. 
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. 
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. 
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. 
* Lưu ý: Tập D có tính chất là một tập đối xứng qua điểm , và thường 
được gọi là tập đối xứng. 
CHÚ Ý 
Tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ) là một tập đối xứng. 
* Các bước chứng minh hàm số là hàm số chẵn (hoặc là hàm số lẻ): 
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối xứng. 
+ Bước 2: Chứng minh thì (hoặc ). 
CHÚ Ý 
Để chứng minh hàm số không phải là hàm số chẵn, ta cần chỉ ra: Hoặc D không 
phải là tập đối xứng (tức là mà ), hoặc sao cho (chỉ 
cần chỉ ra một trong hai điều kiện là đủ). Tương tự như vậy đối với hàm số lẻ. 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số là hàm số lẻ. 
Lời giải 
Tập xác định là tập đối xứng. 
Ta có . 
Vậy f là hàm số lẻ. 
Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau: 
 a) ; b) 
Lời giải 
a) Tập xác định là tập đối xứng. 
Ta có và . 
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. 
b) Tập xác định . Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng. 
Thật vậy với thì . Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. 
:
x D
x D
f x f x
 
:
x D
x D
f x f x
 
x D x D 0x 
 y f x 
x D f x f x f x f x 
 y f x 
0x D 0x D 0x D 0 0f x f x 
 1 1f x x x 
 1;1D 
  1;1 : 1 1 1 1x f x x x x x f x 
 2 1f x x x 
2
1
2
g x
x
D 
 1 1; 1 3 1 1f f f f 1 1f f 
 f x
 \ 2D 
2x 2x D g x
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
6 
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ, chẳng hạn hai 
hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên. 
6. Sự biến thiên của hàm số 
Cho hàm số fxác định trên K. 
 Định nghĩa Điều kiện tương đương Đồ thị 
 đồng biến 
trên K 
Đi lên từ trái sang 
phải (theo chiều 
tăng của đối số) 
 nghịch 
biến trên K 
Đi xuống từ trái 
sang phải (theo 
chiều tăng của đối 
số) 
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch 
biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được tổng kết trong một bảng gọi 
là bảng biến thiên. 
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số : 
+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho); 
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số ; 
+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên của hàm số; 
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên. 
Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số . 
Lời giải 
Tập xác định: . 
Ta có và . Do đó: 
+ Nếu thì Hàm số nghịch biến trên khoảng . 
+ Nếu thì Hàm số đồng biến trên khoảng . 
Từ đó ta có bảng biến thiên: 
Lưu ý: Hàm số với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số không đổi). 
Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua điểm và song song hoặc trùng với 
trục Ox. 
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm số 
xác định trên có đồ thị được cho như trong hình dưới đây: 
 y f x 1 2 1 2, ,x x K x x 
 1 2f x f x 
1 2 1 2, ,x x K x x 
 2 1
2 1
0
f x f x
x x
 y f x 1 2 1 2, ,x x K x x 
 1 2f x f x 
1 2 1 2, ,x x K x x 
 2 1
2 1
0
f x f x
x x
 y f x 
 2 1
2 1
f x f x
x x
 2f x x 
D 
1 2,x x 
 2 22 1 2 1
1 2 2 1
2 1 2 1
,
f x f x x x
x x x x
x x x x
1 20, 0x x 2 1 0x x ;0 
1 20, 0x x 2 1 0x x 0; 
 f x c 
 f x c 0;A c
 y f x 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
7 
Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau: 
Nhận xét: 
* Cho hai hàm số và cùng xác định trên . 
+ Nếu và cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì đồng biến 
(nghịch biến) trên K. 
+ Nếu đồng biến (nghịch biến) trên K thì đồng biến (nghịch biến) trên K với mọi 
 nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi . 
B. Các dạng toán điển hình 
Dạng 1:Tìm tập xác định của hàm số 
CHÚ Ý:Không rút gọn biểu thức của hàm số khi tìm tập xác định của nó. 
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số . 
Lời giải 
Điều kiện xác định: . Vậy . 
Lưu ý: Nếu rút gọn rồi khẳng định là sai. Vì với thì biểu thức 
ban đầu không xác định. 
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số 
Lời giải 
 y f x y g x K
 f x g x f x g x 
 f x kf x
 0,k kf x 0k 
 2
1
1 4
x
y
x x
2
1 0 1
24 0
x x
xx
 \ 1; 2D 
2
1
4
y
x
 \ 2D 1x 
 2
1
1 4
x
x x
2 3 2
x
y
x x
Chú ý 
+ 
+ 
+ 
+ 
 0; 
 * 0; 
 ;0R 
 * ;0R 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
8 
Điều kiện xác định . 
Vậy . 
Đồ thị của hàm số 
Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số ? 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
Với thì . Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho. Đáp án C. 
Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây không phải là đồ thị 
của một hàm số dạng ? 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
CHÚ Ý:Một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy cắt đồ thị hàm số nhiều 
nhất tại một điểm. 
Đường cong trong hình D không phải là đồ thị của một hàm số dạng vì mỗi giá trị 
 ứng với hai giá trị phân biệt của y. 
Đáp án D. 
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là . 
2
0
0
1
3 2 0
2
x
x
x
x x
x
 \ 1;2D 
2
1
x
y
x x
 0; 1M 2;1M 2;0M 1;1M
2x 0y 2;0M
 y f x 
 y f x 
 y f x 
0x 
 y f x 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
9 
a) Tìm số nghiệm của phương trình . 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 3 nghiêm 
phân biệt. 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
a) Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số 
và . 
Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung 
độ bằng 1. 
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất. 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. 
Đáp án B. 
CHÚ Ý: Số giao điểm của đồ thị hai hàm số và là số nghiệm của phương 
trình 
b) Ta có: (*). 
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số và . Đồ thị hàm 
số là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m. 
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị 
hàm số tại ba điểm phân biệt. 
Quan sát trên đồ thị hàm số ta thấy nếu thì đường thẳng cắt đồ thị 
hàm số tại ba điểm phân biệt. 
Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là . 
Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số có tập xác định là . 
 1f x 
 0f x m 
3; 2; 1 4; 3; 2; 1 3; 2; 1;0 2 
 1f x y f x 
1y 
1y 
1y y f x 
 1f x 
 y f x y g x 
 f x g x 
 0f x m f x m 
 y f x y m 
y m 
 0f x m y m 
 y f x 
 y f x 4 0m y m 
 y f x 
3; 2; 1 
 y f x 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
10 
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình . 
Lời giải 
Quan sát trên đồ thị ta thấy (đồ thị của hàm số nằm hoàn 
toàn phía dưới trục hoành). 
Vậy . 
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số và cắt 
nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho biểu thức 
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: 
 (*). 
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
 (*) có hai nghiệm phân biệt (**). 
Khi đó và là hai nghiệm của (*). 
Theo Viet ta có . Do đó . 
Ta có . 
Vậy với mọi m thỏa mãn (**); . 
Vậy với thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9. 
Tính chẵn, lẻ của hàm số 
Ví dụ 11: Các hình dưới đây là đồ thị của các hàm số cùng có tập xác định là . Trong các 
đồ thị đó, đâu là đồ thị của một hàm số chẵn? 
 A. B. 
 C. D. 
Lời giải 
Quan sát các đồ thị, ta thấy chỉ có đồ thị ở hình D là đối xứng qua trục Oy, do đó nó là đồ thị 
của một hàm số chẵn. 
 0f x 
 0 ; 2 0;2 5;6f x x  
 ; 2 0;2 5;6S  
2y x 22 3y x m 
 ;A AA x y ;B BB x y 2 2A B A BT x x x x 
2 2 2 22 3 2 3 0x x m x x m 
 2 2' 0 4 0 4m m 
Ax Bx
2
2
. 3
A B
A B
x x
x x m
2 23 2.2 2 9T m m 
2 2 20 4 9 9 5 5 9 9m m m 
5 9T 9 0T m 
0m 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
11 
Đáp án D. 
Chú ý: - Hàm đa thức chỉ gồm các số hạng chứa x bậc chẵn là hàm chẵn. 
- Hàm đa thức chỉ gồm các số hạng chứa x bậc lẻ là hàm lẻ. 
- Hàm đa thức gồm cả các số hạng chứa x bậc chẵn và các số hạng chứa x bậc lẻ thì không 
chẵn không lẻ. 
Ví dụ 12: Cho các hàm số 
 (I) (II) 
 (III) (IV) 
Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn? 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Lời giải 
(I), (II) và (III) là các hàm không chẵn, không lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó B là đáp án 
đúng. 
Đáp án B. 
3 2y x 2 5 2018y x x 
3 25 3 1y x x x 4 2 1y x x 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
12 
§2. Hàm số bậc nhất 
A. Lý thuyết 
1. Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng , trong đó a, b là các hệ số, . 
* Tập xác định: . 
* Chiều biến thiên: Hàm số 
- Đồng biến trên khoảng nếu ; 
- Nghịch biến trên khoảng nếu . 
* Đồ thị: Đồ thị của hàm số ( ) là một đường thẳng gọi là đường thẳng 
. Đường thẳng này có hệ số góc bằng a và: 
- Không song song và không trùng với các trục tọa độ: 
- Cắt trục tung tại điểm và cắt trục hoành tại điểm . 
2. Cho hai đường thẳng và , ta có: 
- song song với khi và chỉ khi và . 
- trùng với khi và chỉ khi và . 
- cắt khi và chỉ khi . 
B. Các dạng toán điển hình 
Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất 
-Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất phụ thuộc vào dấu của hệ số a. 
-Nếu biểu thức của hàm số có nhiều số hạng chứa x thì ta cần phải rút gọn về dạng 
rồi mới xét sự biến thiên. 
Ví dụ 1: Cho các hàm số sau: 
. 
Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên ? 
Lời giải 
Hàm số có hệ số góc nên đồng biến trên . 
Hàm số có hệ số góc nên nghịch biến trên . 
Hàm số có hệ số góc nên nghịch biến trên . 
Hàm số có hệ số góc nên đồng biến trên . 
Hàm số có hệ số góc nên nghịch biến trên . 
Vậy có tất cả 2 hàm số đồng biến trên . 
Ví dụ 2: Hàm số (m là tham số) nghịch biến trên khi và chỉ khi m = ? 
Cách 1: Hàm số có hệ số góc . Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ 
khi . D là đáp án đúng. 
y ax b 0a 
D 
y ax b 
 ; 0a 
 ; 0a 
y ax b 0a 
y ax b 
 0;B b ;0
b
A
a
 :d y ax b ' : ' 'd y a x b 
 d 'd 'a a 'b b 
 d 'd 'a a 'b b 
 d 'd 'a a 
y ax b 
 2 5 1 32 3; 1 0,3 ; 1 2 1 1; ;
3 2 2 5
x x x
y x y x y x y y
2 3y x 2 0a 
1 0,3y x 0,3 0a 
 1 2 1 1y x 1 2 0a 
2 5 5
3 2 6 6
x x x
y y
1
0
6
a 
1 3
2 5
x
y
1
0
5
a
5 3
5 3
x
y
m
5 3
5 3
x
y
m
3
5 3
a
m
3 5
0 5 3 0
5 3 3
m m
m
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
13 
Cách 2: Rõ ràng m phải khác . Với , hàm số có dạng có hệ số góc 
 nên nghịch biến trên . Từ đó suy ra đáp án đúng là D. 
Dạng 2: Vị trí tương đối, sự tương giao giữa các đường thẳng 
Ví dụ 3: Cho các đường thẳng sau: 
; 
 và . 
Trong các đường thẳng trên, có bao nhiêu cặp đường thẳng song song? 
Lời giải 
Ta có: . 
Từ đó ta thấy có 2 cặp đường thẳng song song, đó là: 
 và và . 
Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng và . Có bao nhiêu giá 
trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau? 
Lời giải 
 khi và chỉ khi . 
Vậy có 1 giá trị của tham số m để hai đường thẳng song song với nhau. 
Chú ý: Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng d và tọa độ của A thỏa mãn phương 
trình của cả d và 
Ví dụ 5: Cho đường thẳng . Tìm , biết cắt đường thẳng tại 
điểm có hoành độ bằng và cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng . 
Lời giải 
 đi qua điểm ; 
 đi qua điểm . 
Từ đó ta có hệ . 
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại C và cắt Ox theo 
thứ tự các điểm A và B. Tính diện tích S của tam giác ABC. 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của và . 
Với thì . Ta có . 
Dễ thấy và . 
5
3
5
1
3
m 
5 3
2
x
y
3
0
2
a
1 1 2
1; 3; 2
2 2 2
y x y x y x
1
2 2; 1
2
y x y x 
2
3
2
y x
2 2 1
2 2 2; 3 3
22 2
y x y x y x y x
1
1
2
y x 
1 2
1; 2
2 2
y x y x 2 2y x 
 2: 3 3d y m m x ' : 2 1d y x m 
 / / 'd d
2 23 2 3 2 0
1
3 1 2
m m m m
m
m m
'd 
'd
 :d y ax b 4a b d 2 5y x 
2 3 4y x 2 
 2 1x y d 2;1A 
 2 3 4 2 2y x x d 2; 2B 
3
2 1 74
4
2 2 1 2
2
a
a b
a b
a b
b
 : 1d y x ' : 3d y x 
 d ' : 1 3 1d x x x 
1x 1 1 2y 1;2C 
 1;0A 3;0B 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
14 
Diện tích tam giác là . 
Ví dụ 7: Cho số nguyên dương m. Biết ba đường thẳng và 
đồng quy. Tìm số ước nguyên dương của m. 
Lời giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng và 
. Giải phương trình tìm được . 
Suy ra ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm . 
Đường thẳng đi qua điểm . 
Vậy m có 3 ước nguyên dương. 
Chú ý: Ba đường thẳng đồng quy cùng đi qua một điểm đi qua 
giao điểm của và 
Dạng 4 Hàm số 
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số . 
Lời giải 
Ta có . 
Từ đó ta có đồ thị hàm số là đường nét liền gấp khúc như trong hình dưới đây 
* Tổng quát: Xét hàm số ( ). 
Ta có . 
Cách vẽ đồ thị hàm số : 
ABC
1 1
. .4.2 4
2 2
S AB CH 
2 5
,
3 2
x m
y y x
 4 2y x 
5
2
y x 
5
4 2 : 4 2
2
y x x x 
3
2
x 
3
;4
2
I
2
3
x m
y
3
2.
3 2;4 4 9
2 3
m
I m
1 2 3, ,d d d 1 2 3, ,d d d 1d 
2d 3d
y ax b 
y x 
0
0
 khi 
 khi 
x x
y x
x x
y ax b 0a 
0
0
 khi 
 khi 
ax b ax b
y ax b
ax b ax b
 0 y ax b a 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
15 
- Vẽ đường thẳng ; 
- Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của đường thẳng qua trục hoành rồi xóa 
phần nằm dưới trục hoành đó đi. 
Ví dụ ta có đồ thị của hàm số là đường nét liền gấp khúc như trong hình trên. 
Nhận xét:Hàm số : 
- Có đồ thị là một đường gấp khúc, đối xứng qua đường thẳng và cắt trục hoành tại 
điểm ; 
- Nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng . 
Đặc biệt, hàm số là một hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung, nghịch biến 
trên khoảng , đồng biến trên khoảng . 
- Đồ thị hàm số ( ) luôn có hình dạng là một chữ V với đáy nhọn (điểm thấp 
nhất) thuộc trục hoành (giá trị nhỏ nhất luôn bằng 0). 
 §3. Hàm số bậc hai 
A. Lý thuyết 
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng , với a, b, c là các hệ số, . 
1. Tập xác định: . 
2. Chiều biến thiên: 
3. Đồ thị 
Đồ thị là một parabol có tính chất sau: - Có đỉnh . 
- Quay bề lõm lên trên khi , quay bề lõm xuống dưới khi 
- Có trục đối xứng là đường thẳng (đường thẳng đi qua đỉnh I và song song với trục 
tung). 
y ax b 
y ax b 
2 3y x 
 0 y ax b a 
b
x
a
;0
b
I
a
;
b
a
;
b
a
y x 
 ;0 0; 
y ax b 0a 
2y ax bx c 0a 
D 
0a 0a 
x 
2
b
a
 x 
2
b
a
y
 y
4a
4a
;
2 4
b
I
a a
0a 0a 
2
b
x
a
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
16 
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
- Khi , giá trị nhỏ nhất trên của hàm số là đạt được khi . 
Đỉnh là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số. 
- Khi , giá trị lớn nhất trên của hàm số là đạt được khi . Đỉnh 
là điểm cao nhất của đồ thị hàm số. 
B. Các dạng toán điển hình 
Chiều biến thiên của hàm số bậc hai 
Ví dụ 1: Cho hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
 A. B. C. D. 
Chiều biến thiên của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số a. 
Lời giải 
Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
Đáp án A. 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 
đồng biến trên khoảng ? 
Lời giải 
Hàm số có nên đồng biến trên khoảng . 
Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng thì ta phải có 
. 
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. 
 2 0 y ax bx c a 2 0 y ax bx c a 
0a 
4a
2
b
x
a
;
2 4
b
I
a a
0a 
4a
2
b
x
a
 ;
2 4
b
I
a a
2 6 1y x x 
 ;3 3; ;6 6; 
6
1 0, 3
2 2. 1
b
a
a
 ;3 
 2 2 1 3y x m x 
 4;2018
1 0, 1
2
b
a m
a
 1;m 
 4;2018
 4;2018 1; 1 4 3m m m 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
17 
Dạng 2:Đồ thị của hàm số bậc hai 
Ví dụ 3: Parabol có đỉnh là: 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
Hoành độ của đỉnh của parabol là . 
Khi đó tung độ của đỉnh của parabol là . 
Vậy parabol đã cho có đỉnh là . 
Đáp án A. 
Lưu ý: + Ta có thể dùng công thức để tính tung độ của đỉnh là . Ở bài này, việc tìm 
tung độ của đỉnh là đơn giản nên ta thay trực tiếp mà không dùng công thức. 
+ Ta có thể dùng máy tính cầm tay Casio để tìm tọa độ của đỉnh như sau: 
- Đầu tiên, ta giải phương trình bằng chức năng giải phương trình bậc hai. 
- Sau khi bấm hiển thị hết nghiệm của phương trình ta bấm dấu “=” hai lần liên tiếp. Máy sẽ 
hiển thị (với ) hoặc (với ). Từ đó ta có tọa độ của đỉnh của 
parabol. Chẳng hạn với bài toán trên ta có như sau: 
Ví dụ 4: Parabol có trục đối xứng là: 
Lời giải 
Trục đối xứng của parabol có phương trình là . 
Ví dụ 5: Cho parabol đi qua hai điểm và . Tìm phương trình trục đối 
xứng của . 
Lời giải 
Ta có kết quả: Nếu đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt 
thì hai điểm đó đối xứng với nhau qua trục đối xứng của parabol. Trong bài này ta thấy hai 
điểm A, B cùng thuộc đường thẳng . Vậy A, B đối xứng với nhau qua trục đối xứng của 
parabol. Suy ra phương trình của trục đối xứng là . 
Chú ý: Cho đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt 
 và . Khi đó trục đối xứng của có phương trình là . 
Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Ví dụ 6: Khẳng định nào dưới đây đúng? 
 A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 
 B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 
 C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 
22 4 1y x x 
 1; 1I 2;1I 1;7I 2;17I 
4
1
2 2.2
b
x
a
22.1 4.1 1 1y 
 1; 1I 
4
Iy
a
2 0ax bx c 
min min,x y 0a max max,x y 0a 
2 3 2y x x 
3 3
2 2. 1 2
b
x x x
a
 P 1;4A 3;4B
 P
y m 2:P y ax bx c 
4y 
1 3
1
2 2
A Bx xx x x
y m 2:P y ax bx c 
 ;AA x m ;BB x m P
2
A Bx xx
23 2y x x 
25
12
23 2y x x 
25
12
23 2y x x 
25
3
Các yếu tố đặc 
trưng của parabol 
: 
- Đỉnh; 
- Trục đối xứng; 
- Hướng bề lõm. 
2y ax bx c 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
18 
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng . 
Lời giải 
Ta có 
Vì nên hàm số có giá trị lớn nhất là: . 
Đáp án A. 
Ví dụ 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là: 
Lời giải 
Ta có . Do đó . 
Để dễ hiểu hơn, ta quan sát bảng biến thiên của hàm số 
 2 
Lưu ý: . 
Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là: 
Lời giải 
Ta có và . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng . Mà 
. Do đó trên đoạn hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm , tức là 
. 
Dạng 4: Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác 
Ví dụ 9: Cho hai parabol có phương trình và . Biết hai parabol cắt 
nhau tại hai điểm A và B ( ). Tính độ dài đoạn thẳng AB. 
Khoảng cách giữa hai điểm là: 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol: 
. 
, do đó hai giao điểm là và . 
Từ đó . 
23 2y x x 
25
3
 21 4. 3 .2 25 
3 0a 
25
4 12a
25 2 1y x x  2;2 
 
1
2;2 , 5 0
2 5
b
a
a
 
2;2
4
min min
4 5
f x f x
a 
x 2 
1
5
y
4
5
 
  
2;2
max max 2 , 2 max 17,25 25f x f f
23 2 1y x x  1;3
1
2 3
b
a
 3 0a 
1
;
3
 
1
1;3 ;
3
 
 1;3 1x 
 
1;3
max 1 0f x f 
2 1y x x 22 2y x x 
A Bx x 
 ; , ;A B B BA x y B x y
2 2
B A B AAB x x y y 
2 2 2
1
2 2 1 2 3 0
3
x
x x x x x x
x
1 1; 3 13x y x y 1;1A 3;13B
2 2
3 1 13 1 4 10AB 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
19 
Bài toán tương giao giữa parabol với parabol hoặc parabol với đường thẳng thường quy về 
bài toán biện luận nghiệm của phương trình bậc hai. Do đó để làm tốt phần này độc giả nên 
xem kĩ lại các kiến thức về phương trình bậc hai trong chương trình 
Ví dụ 10: Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng để đường thẳng 
 cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một 
phía đối với trục tung? 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của d và : 
. 
d cắt tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi có 
hai nghiệm phân biệt cùng đấu 
. 
Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng thỏa mãn ycbt. 
Ví dụ 12: Cho các hàm số 
 (I) (II) 
 (III) (IV) 
Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn? 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Lời giải 
(I), (II) và (III) là các hàm không chẵn, không lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó B là đáp án 
đúng. 
Đáp án B. 
Tìm phương trình của parabol 
Ví dụ 13: Cho parabol có phương trình . Tìm , biết đi qua 
điểm và có đỉnh . 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
 đi qua điểm . 
 có đỉnh . 
Đáp án A. 
Ví dụ 14: Cho parabol đi qua ba điểm và . 
Tọa độ đỉnh của là: 
 A. B. C. D. 
Lời giải 
 đi qua ba điểm và suy ra 
 10; 4 
 : 1 2d y m x m 2: 2P y x x 
 P
 2 22 1 2 2 4 0 * x x m x m x m x m 
 P *
20 8 20 0
4
0 4 0
m m
m
P m
 10; 4 
3 2y x 2 5 2018y x x 
3 25 3 1y x x x 4 2 1y x x 
 P 2y ax bx c a b c P
 0;3A 1;2I 
6a b c 5a b c 4a b c 3a b c 
 P 0;3 3A c 
 P 
2 11
1;2 62
2 1 2
3 2
b
b a a
I a b ca
a a b
a b
 2:P y ax bx c 1;4 , 1; 4A B 2; 11C 
 P
 2; 11 2;5 1;4 3;6
 2:P y ax bx c 1;4 , 1; 4A B 2; 11C 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
20 
. 
Hoành độ của đỉnh của là . Suy ra tung độ của đỉnh của là 
. 
Đáp án B. 
Ví dụ 15: Cho parabol có phương trình thỏa mãn . Số 
giao điểm của và trục hoành là: 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Lời giải 
Ta có . Suy ra . 
Phương trình có nên có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. 
Đáp án C. 
 2
4 1
4 4 : 4 1
4 2 11 1
a b c a
a b c b P y x x
a b c c
 P 2
2
b
x
a
 P
22 4.2 1 5y 
 P y f x 21 5 5 f x x x x  
 P
221 5 5 1 3 1 1f x x x x x 2 3 1f x x x 
2 3 1 0x x 23 4.1.1 5 0 
 P
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
21 
Dạng toán 1. Tìm tập xác định của hàm số 
 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) 
có nghĩa: D { x f x } có nghĩa. 
 Ba trường hơp̣ thường găp̣ khi tìm tâp̣ xác điṇh 
+ Hàm số 
P x
y
Q x
  Điều kiện xác định Q x 0 . 
+ Hàm số y P x  Điều kiêṇ xác điṇh P x 0 . 
+ Hàm số 
P x
y
Q x
  Điều kiêṇ xác điṇh Q x 0 . 
 Lưu ý 
 Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. 
 Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A D . 
A 0
A.B 0
B 0
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra 
a/ f x 5x . Tính f 0 , f 2 , f 2 , f 3 . 
b/ 2
x 1
f x
2x 3x 1
. Tính f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , f 2 . 
c/ f x 2 x 1 3 x 2 . Tính f 1f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , , f 3 , f 1 2
2
. 
d/ 
 2
2
khi x 0
x 1
f x x 1 khi 0 x 2
x 1 khi x 2
. Tính f 2 , f 0 , f 2 , f 3 , f 2 . 
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau 
a/ y 2 4x . b/ 2y x 4x 15 . c/ 
32x 3x 1
y
2013
 . 
d/ 
2x 1
y
3x 2
. e/ 
x 3
y
5 2x
. f/ 
4
y
x 4
. 
g/ 
2
x
y
x 3x 2
. h/ 
2
x 1
y
2x 5x 2
. i/ 
2
3x
y
x x 1
. 
j/ 
3
x 1
y
x 1
. k/ 
 2
2x 1
y
x 2 x 4x 3
. l/ 
4 2
1
y
x 2x 3
. 
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
22 
a/ y 2x 3 . b/ y 2x 3 . c/ y 4 x x 1 . 
d/ 
1
y x 1
x 3
. e/ 
1
y
x 2 x 1
. f/ y x 3 2 x 2 . 
g/ 
5 2x
y
x 2 x 1
. h/ 
1
y 2x 1
3 x
. i/ 
2
1
y x 3
x 4
. 
Bài 4. Tìm tham số m để hàm số xác định trên tập D đã được chỉ ra 
a/ trên 
2
2x 1
y , D
x 6x m 2
 . ĐS: m 11 . 
b/ trên 
2
3x 1
y , D
x 2mx 4
 . ĐS: 2 m 2 . 
c/ trên y x m 2x m 1, D 0; . ĐS: m 1 . 
d/ trên x my 2x 3m 4 , D 0;
x m 1
. ĐS: 
4
1 m
3
 . 
e/ trên x 2my , D 1;0
x m 1
. ĐS: m 0 hoăc̣ m 1 . 
f/ trên 1y x 2m 6, D 1;0
x m
. ĐS: 3 m 1 . 
g/ trên 1y 2x m 1 , D 1;
x m
. ĐS: 1 m 1 . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau 
a/ y x 3 . b/ 2y x 4 . 
c/ 
3 2y x 3x 4x 5 . d/ 
22x 3x 1
y
5
 . 
e/ 
2x 3x 6
y
2
. f/ y x 11 . 
g/ y 9x 40 23x 13 . h/ y x 1 x 3 100 41x . 
Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau 
a/ 
2x x 1
y
x
 . b/ 
x 2
y
x 1
. c/ 
x 3
y
x 1
. 
d/ 
3x 5
y
3x 2
. e/ 
x 1
y
2x 1
. f/ 
1
y
2x 2
. 
g/ 
x 3
y
x 7
. h/ 
2
y x 2
x 9
. i/ 
3
y x 1
x 1
. 
j/ 
2x 3x 1
y
2x 1
. k/ 
1 x
y
2x 11 1 x
. l/ 
1 1
y
2x 1 6x 2
. 
Vũ Tuấn Anh THPT Nguyễn Trường Thúy 
23 
m/ 
10 11
y
13 9x 6x 7
. n/ 
2x
y
2 x 3 x
. o/ 
22x 4x 7
y
2 3x 2 4x
. 
p/ 
1 1
y .
32x 0,25 25 0,5x
. q/ 
2
5
y
x 6x 25
. r/ 
2
3
y
14x 49 x
. 
s/ 
2
x 2
y
x 2x 3
. t/ 
2
x 2012
y
2x 6x 4
. u/ 
2
x
y
x 4x 5
. 
v/ 
 2
2x 1
y
x 1 2x 3x 1
. x/ 
2
4 2
3x x 1
y
x x 6
. y/ 
2
4 2
3x 1
y
x 9x 8
. 
Bài 7. Tìm tập xác định của các hàm số sau 
a/ y x . b/ 2y x . c/ y x 1 . 
d/ y 4 3x . e/ y x 10 . f/ y 2x 9 . 
g/ 3y 0,1x 5 . h/ 3y 2,6x 3,14 . i/ 3y x 2 . 
j/ y 1 x 1 x . k/ y 2x 1 1 2x . l/ y 15x 3 . 
m/ y 3x 25 x 1 . n/ y 13 4x 7x 22 . o/ 33 2y x x . 
p/ 
3 32 3y 1 x x x . q/ 
1
y
x
 . r/ 
3x
y
x 1
. 
s/ 
1 2x
y
4x 8
. t/ 
x 1
y
3x 10 10 3x
. u/ 
4x x
y
7x 1 3 4 28x
. 
v/ 
1 2
y
2 x 3x 18
. w/ 
0,2x 25
y
0,7x 0,7 8 0,8x