Bài tập Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác

 Hình học lớp 10 | 
 Trang 1 | 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
1/ Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông 
Cho tam giác ABC vuông tại A: , ,AB c BC a AC b ; đường cao AH h 
Ta có: 
2 2 2a b c 2 . 'b a b 
2 .c'c a 2 '.c'h b 
. .a h b c 
2 2 2
1 1 1
h b c
2/ Định lý côsin 
2 2 2 2 .cosa b c bc A 
2 2 2 2 .cosBb a c ac 
2 2 2 2 .cosCc a b ab 
Hệ quả: 
2 2
cos
2
b c a
A
bc
2 2
cosB
2
a c b
ac
2
cosC
2
a b c
ab
3/ Công thức tính độ dài đường trung 
tuyến 
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
2 2 2
2
2 4
b
a c b
m
2 2 2
2
2 4
c
a b c
m
4/ Định lý sin 
Trong tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ta có 
2
sinA sinB sin
a b c
R
C
| 2 
5/ Các công thức tính diện tích tam giác 
1 1 1
. . .
2 2 2
a b cS a h b h c h 
1 1 1
sin sin acs
2 2 2
S ab C bc A inB 
4
abc
S
R
 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) 
S pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) 
 S p p a p b p c (công thức Hê rông) 
IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC, 
 CHIỀU CAO, DIỆN TÍCH 
Lời giải 
+) Xét ABC , theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có: 
2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BM
2 2 22 3 5
13
2 4
AC 
 4AC 
+) Chu vi tam giác ABC là 3 4 5 12AB AC BC . 
Ta có: 
12
6
2 2
AB AC BC
p
 . 
+) Diện tích tam giác ABC là: 
 6 6 3 6 4 6 5 36 6S p p AB p AC p BC . 
13
5
3 M
CB
A
Cho tam giác có , và độ dài đường trung tuyến . Tính độ dài 
, chu vi và diện tích . 
Ví dụ 1 
Cho tam giác có , , biết: 
a) , , . Tính cạnh và . 
b) , . Tính . 
Ví dụ 2 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 3 | 
Lời giải 
Áp dụng định lí sin 
a) Ta có 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Suy ra 
sin 4sin 50
4,3
sin sin 45
b A
a
B

 
Mặt khác 
 180 180 50 45 85C A B      
sin 4sin85
5,6
sin sin 45
b C
c
B


b) Ta có 
5
5
2sin 2sin 30
c
R
C

. 
Lời giải 
* Ta có: 2 2 2 22 . .cos 7BC AB AC AB AC A a . Suy ra 7BC a . 
* Diện tích tam giác ABC là: 
21 3
. .sin
2 2
a
S AB AC A . 
Lời giải 
Diện tích: ( 13)( 14)( 15) 84S p p p p . 
Đường cao cần tìm: 
2. 56
15 5
c
S
h . 
Lời giải 
Áp dụng định lý Cô-Sin ta có 2 2 2 . .cos 3 13AC AB BC AB BC B . 
Lời giải 
Cho tam giác có , và góc . Tính độ dài cạnh và diện tích 
 của tam giác. 
Ví dụ 3 
Cho tam giác với ba cạnh . Tính đường cao . 
Ví dụ 4 
Cho tam giác có và góc . Tính độ dài đoạn . 
Ví dụ 5 
Cho tam giác có , và diện tích . Tính cạnh 
Ví dụ 6 
| 4 
Ta có: 
1
. . .sin
2
S AB BC B nên 


601 3
3 3 .3.4.sin sin
2 2 120
B
B B
B
 
  
+)  60B  áp dụng định lí côsin ta có: 
2 2 2 12 . .cos 9 16 2.3.4. 13 13
2
AC AB BC AB BC B AC . 
+)  120B  áp dụng định lí côsin ta có: 
2 2 2 12 . .cos 9 16 2.3.4. 37 37
2
AC AB BC AB BC B AC
 . 
Lời giải 
a) Tính a 
Áp dụng định lý cosin vào ABC ta có: 
2 2 2 2 2 02 cos 8 5 2.8.5.cos120 129 129. a b c bc A a 
Tính B 
Ta có: 
2 2 2
03 129cos 37 35 '.
2 43
a c b
B B
ac
Tính C 
     0 0 0180 180 ( ) 22 25'A B C C A B . 
b) Tính diện tích tam giác ABC. 
01 1sin 8.5.sin120 10 3
2 2
ABCS bc A . 
Lời giải 
Áp dụng định lí sin ta có: 
sinC sin
AB AC
B
sin 5sin 60 5 6
sin sin 45 2
AB B
AC
C
 . 
Cho có . 
a) Tính . 
b) Tính diện tích của tam giác ABC. 
Ví dụ 7 
Tam giác có , và . Tính độ dài cạnh . 
Ví dụ 8 
Cho tam giác có , và . Hãy tính cạnh còn lại của tam giác
và tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB 
Ví dụ 9 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 5 | 
Lời giải 
Theo định lí côsin trong tam giác ta có: 
2
2 2 2 22 . .cos 3 2 2.3.2 25
3
3
9
53 . 
 BC AB AC AB AC A BC 
Theo công thức đường trung tuyến ta lại có: 
2
2 2 2 2 2
2
23 5
14
2 4 4
4
2
3
1
AB BC AC
BM BM
Lời giải 
  30 ; 120B C A   . Áp dụng định lý sin ta có : 
5 5
2
sin 2.sin120 3
BC
R R
A

* Tính diện tích: 
Cách 1: Áp dụng định lý côsin ta có: 2 2 2 2. . .cosAB AC BC AC BC C . 
Do ABC cân tại A ta có: 2 2 2 2
3 5
5 2. .5.cos30 5 2. .5. 0
2 3
AC AC AC AC AC  
1 1 5 5 25 3
. . .sin . . .sin120
2 2 123 3
ABCS AB AC A  
Cách 2: 
Kẻ AH BC 
ACH có 
5 1 5 3
90 . tan 30
2 63
H AH CH    
1 1 5 3 25 3
. . . .5
2 2 6 12
ABCS AH BC . 
Cho cân tại có . Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại 
tiếp . 
Ví dụ 10 
| 6 
Lời giải 
*Tính BC 
Gọi BM CN G G là trọng tâm của tam giác ABC . 
2
8
3
GB BM , 
2
10
3
GC CN 4GM , 5GN . 
Áp dụng định lý cos trong tam giác GBC có: 
2 2 2 2 . .cos120 244BC GB GC GBGC  2 61BC . 
* Tính ,AB AC 
Cách 1: Ta có hệ phương trình: 
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 4
AB BC AC
BM
AC BC AB
CN
2
2
2
2
2
2
2
2
2 61
12
2 4
2 61
15
2 4
AB AC
AC AB
2 2
2 2
2 88
2 412
AB AC
AB AC
2
2
196
304
AB
AC
14
4 19
AB
AC
. 
Cách 2: Ta có: 180 60BGN BGC   , 180 60MGC BGC   . 
Áp dụng định lý cos, ta được: 
2 2 2 2 . .cos 60 49BN GB GN GBGN  7BN 2 14AB BN . 
2 2 2 2 . .cos60 76MC GM GC GM GC  2 19MC 2 4 19AC MC . 
Cho tam giác có hai trung tuyến và hợp với nhau một góc , biết , 
. Tính độ dài các cạnh của tam giác 
Ví dụ 11 
A 
M N 
G 
B C 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 7 | 
Lời giải 
Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có: 
sin sin sin
BC AC AB
A B C
 . 
Mà 
sin sin sin
1 2 2
A B C
nên 
1 2 2
BC AC AB
2 20
2 10 3
AC BC
AB BC
Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có: 
2 2 2
0400 300 100 3cosA 30
2. . 22.20.10 3
AB AC BC
A
AB AC
2 2 2
0100 400 300 3cosC 60
2. . 2.20.10 2
BC AC AB
C
BC AC
090B 
Lời giải 
Ta có: 2 2 2 2 cos 36 64 2.6.8.cos60 52 2 13a b c bc A a . 
Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có: 
2 2 2 52 64 36 5 13
cos 46 7 '
2 262.8.2 13
a c b
B B
ac
2 2 2 52 36 64 13
cos 73 54 '
2 132.6.2 13
a b c
C C
ab
Lời giải 
Ta có: 2 2 2 2 2ˆ2 . .cos 196 2 . .cos120 AB BC AC BC AC C BC AC BC AC 
2 2196 .BC AC BC AC 1 
Ta lại có : 16 16BC AC AC BC thay vào 1 ta được 
Cho tam giác biết và thỏa . Tính độ dài các cạnh và số đo 
các góc của tam giác? 
Ví dụ 12 
Cho có . Tính độ dài cạnh và số đo các góc của tam giác . 
Ví dụ 13 
Cho tam giác có cạnh , góc tổng hai cạnh còn lại là 16. Tính độ dài hai 
cạnh còn lại 
Ví dụ 14 
| 8 
22
2
196 16 16
16 60 0
10
6
BC BC BC BC
BC BC
BC
BC
+) Với 10 6BC AC 
+) Với 6 10BC AC 
Vậy: 10BC và 6AC hoặc 6BC và 10.AC 
Lời giải 
Ta có: 2
63
sin 1 cos
8
B B , 2
7
sin 1 cos
4
C C . 
9
cos cos( ) sin .sin cos .cos
16
A B C B C B C . 
Do đó 2 2 2 . .cos 5BC AB AC AB AC A . 
Vậy 5BC . 
Lời giải 
Ta có 
21 3
.
2 2
ABC
a
S AB AC  
0 01 1. .sin 45 , . .sin 45 ,
2 2
ABM ACMS AB AM S AC AM   
 6 2
4
ABC ABM ACM
AM
S S S a a    
Vậy 
 3 2 62 3
22 6
aa
AM
. 
Lời giải 
Cho tam giác có , , , . Tính cạnh . 
Ví dụ 15 
Cho tam giác vuông tại , , . Phân giác trong góc cắt tại . 
Tính 
Ví dụ 16 
Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Tìm để tam giác có diện tích 
lớn nhất, với ? 
Ví dụ 17 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 9 | 
Tam giác ABC cân tại A nên AB AC a . Đặt ABC ACB thì 90  . 
Ta có sin
2
a
R
 nên 
2 2 2
2
4
cos 1
4 2
a R a
R R
Diện tích của tam giác là 
3 2 2
2
2
1 4
. . .sin .cos
2 4
a R a
S AH BC AH HC AC
R
 . 
Đặt 
2 2 2
3 2 2 2 24 3 3. . . . 4
3 3 3
a a a
y a R a R a . 
Khi đó coi biểu thức trong căn là tích của bốn thừa số mà tổng của chúng không đổi nên y đạt giá trị 
lớn nhất khi và chỉ khi 
2
2 24
3
a
R a hay 2 23R a hay 3a R 
Khi đó 
3 3
sin 60
2 2
R
R
  , ta được tam giác ABC đều. 
Lời giải 
Ta có AC AB BC 
   
 và BD BC CD 
   
. Suy ra 2 2 3 3AC BD AB CD BC BC 
      
. 
Bình phương vô hướng hai vế ta được: 
2 2 2 149 4 4 . .cos120
3
BC AC BD AC BD BC  . 
Ta có AC AD DC 
   
 và BD BA AD 
   
. Suy ra 2 2 3 3AC BD BA DC AD AD 
      
. 
Bình phương vô hướng hai vế ta được: 
α
H
α
a
O
CB
A
Cho hình thang có , góc tạo bởi hai vectơ và bằng 
. Tính . 
Ví dụ 18 
| 10 
2 2 2 4 79 4 4 . .cos120
3
AD AC BD AC BD AD  . 
Suy ra 
14 4 7
3
AD BC
 . 
Lời giải 
Đặt 2 0AB x x AE EB x . 
Vì góc BDE nhọn nên cos 0BDE suy ra 
 2 2 2cos 1 sin
3
BDE BDE 
Theo định lí Pitago ta có: 
2 2 2 2 21 1DE AD AE x DE x 
2 2 2 2 24 1 4 1BD DC BC x BD x 
Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 4 2 4 2
2 2 4 2 2 1
cos
2 . 3 2 1 4 1 1 4 1
2 2. 1 4 1 3. 2 1 8 4 5 1 9 4 4 1
DE DB EB x x
BDE
DE DB x x x x
x x x x x x x
4 2 2 24 4 1 0 2 1
2
x x x x (Do 0x ) 
Vậy độ dài cạnh AB là 2 . 
Lời giải 
Ta có: 2 2 2 2a a c b b c 3 3 2 0a b c a b . 
EA
D C
B
Cho hình chữ nhật biết . Giả sử là trung điểm và thỏa mãn 
Tính độ dài cạnh . 
Ví dụ 19 
Cho tam giác có các cạnh .Tính góc của tam giác 
biết và . 
Ví dụ 20 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 11 | 
 2 2 2 0a b a ab b c a b . 
 2 2 2 0a b a ab b c . 
Do a b nên 2 2 2 0a ab b c 
2 2 2
cos
2
a b c
BCA
ab
1
2
 . Do đó: 120BCA  . 
Lời giải 
Giải sử 1AB ; MB x 2MA x ; 3MC x với 0 2x BC . 
Ta có 
2 2 21 4 3 1
cos
2.1.2 4
x x x
BAM
x x
2 2 21 4 9 1 5
cos
4 4
x x x
MAC
x x
 . 
Có 90BAM MAC  cos sinBAM MAC 
2 2
2 2
1
1 5 0
5
cos cos 1
x x
BAM MAC
2 22 23 1 1 5
1
4 4
x x
x x
4 2 2 49 6 1 1 10 25 16x x x x . 
4 234 20 2 0x x 
2
2
5 2 2 1
( )
17 5
5 2 2
17
x l
x
. 
2 2 2
cos
2 .
AM BM AB
AMB
AM BM
2 24 1
2.2 .
x x
x x
2
2
5 1
4
x
x
25 10 2 20 8 2
1 :
17 17
2
2
 . 
Vậy 135AMB  . 
Lời giải 
Cho tam giác vuông cân tại , là điểm nằm trong tam giác sao cho 
 khi đó góc bằng bao nhiêu? 
Ví dụ 21 
Cho tam giác đều cạnh . Một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác . Tính tổng 
khoảng cách từ điểm đến ba cạnh của tam giác? 
Ví dụ 22 
| 12 
Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC , AC , AB . Gọi H là trung điểm BC
. Khi đó: 
ABC ABM ACM BCMS S S S 
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2
AH BC ME AB MF AC MD BC 
 . .AH BC MD ME MF BC (Do ABC là tam giác đều) 
3
2
a
MD ME MF AH . 
 Vậy tổng khoảng cách từ điểm M đến các cạnh bằng 
3
2
a
. 
DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC 
Lời giải 
Theo định lí côsin ta có: 
 2 2 2 2 2 212 .cos .cos
2
a b c bc A bc A b c a . 
 2 2 2 2 2 212 .cos .cos
2
b a c ac B ac B a c b . 
 2 2 2 2 2 212 .cos .cos
2
c a b ab C ab C a b c . 
Khi đó: 2
cos cos cos
cos cos cos
A B C a
bc A ac B ab C a
a b c bc
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
2 2 2
b c a a c b a b c a 
2 2 2a b c . 
Vậy tam giác ABC vuông tại A . 
H
F
E
D C
A
B
M
Nhận dạng tam giác thỏa mãn: . 
Ví dụ 1 
Cho tam giác thỏa . Chứng minh tam giác đều 
Ví dụ 2 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 13 | 
Lời giải 
Theo định lí sin ta có: 
sin
sin
2
sinsin sin sin
sin
A a
a b c B b
R
A aA B C
C c
. 
Khi đó: 
sin sin sin
a b c
A B C
m m m
sin
sin
sin
sin
a
b
a
c
mA
B m
mA
C m
a
b
a
c
ma
b m
ma
c m
2 2 2 2
2 2 2 2
. .
. .
b a
c a
a m b m
a m c m
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
4 4
2 2 2 2
4 4
a c b b c a
a b
a b c b c a
a c
  
  
2 2 2
2 2 2
0
0
a b a b a b c
a c a c a b c
a b
a c
a b c . 
Vậy tam giác ABC đều. 
Lời giải 
a) Ta có: 
 cos 3cos 1 cos 180 3cos 1A C B B B 
1cos 3cos 1 cos 60
2
B B B B  
b) Ta có: 
2
22 2
1 cos 2 (1 cos ) 2
sin sin 24
B a c B a c
B B a ca c
2 2
2
(1 2cos cos ) sin 2 2
sin 2
B B B a c a c
B a c
2
1 cos 2
2 2 2 .cos
1 cos 2
B a
a c a a B
B a c
2 2 2
2 22 0
2
c a b
a c a b a b
ac
ABC là tam giác cân tại C. 
Lời giải 
Cho có ; ; . 
a) Chứng minh rằng: Nếu thì . 
b) Chứng minh rằng: Nếu thì cân 
Ví dụ 3 
Cho tam giác có , , . Tam giác là tam giác gì? 
Ví dụ 4 
| 14 
Xét tam giác ABC ta có: 
2 2 2 2 2 22 cos 10 6 7 2.6.7.cos
100 36 49 5
cos .
84 28
c a b ab C C
C
Vì cos 0 90C ACB   . 
Vậy tam giác ABC làm tam giác tù. 
Tổng quát: Giả sử c là cạnh lớn nhất: 
 Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác tù tại C. 
 Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác nhọn tại C. 
 Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác vuông tại C. 
Lời giải 
2 2 2b
sin 2sin . osA 2 .
2 2 2
c b c a
B C c
R R bc
2 2a c a c . 
Vậy tam giác ABC cân ( đpcm). 
DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC 
Lời giải 
Theo định lý cosin ta có: 
2 2 2 2 .cosa b c bc A 
Mà: 2 2 2a b c bc 
Do đó: 
1
cos 120
2
A BAC  . 
Lời giải 
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: 
1 1 1
2 2 2
ABC a b cS ah bh ch . 
2 ABC
a
S
a
h
 ; 
2 ABC
b
S
b
h
 ; 
2 ABC
c
S
c
h
 . 
Theo giả thiết: 2 2a b c 
2 2 2
2. 2.ABC ABC ABC
a b c
S S S
h h h
1 1 1
2a b ch h h
 (đpcm). 
Cho tam giác thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng tam giác 
cân. 
Ví dụ 5 
Cho tam giác ABC có các cạnh và thỏa mãn hệ thức . 
Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 1 
Cho tam giác . Chứng minh rằng: Nếu thì . 
Ví dụ 2 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 15 | 
Lời giải 
Cách 1: Theo giả thiết AM BM nên . .sin . .sinCAM CBMS S CACM CBCM  . 
Suy ra 
sin
sin
CB
CA

 . 
Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC ta có 
sin
sin
CB A
CA B
 . 
Nên 
sin sin
sin sin
CB A
CA B

 . 
Cách 2: 
Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD MC . 
Ta có 
sin sin
sin sin
A CB AD
B CA AC

 . 
Lời giải 
Theo định lý hàm sin, ta có: 
2
sin sin
2 2
a a
A a A
R R
 . 
Tương tự ta có: 
2
sin
2
b
b B
R
 và 
2
sin
2
c
c C
R
 . 
Từ đó suy ra: 
2 2 2
sin sin sin
2
a b c
a A b B c C
R
 2 2 2 2 sin sin sina b c R a A b B c C (đpcm). 
Cho tam giác có trung tuyến , , . 
Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 3 
Cho tam giác có và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
. Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 4 
| 16 
Lời giải 
Ta có: 
0sin 45 sin
2
r r
x
B C
; 
sin
2
r
y
B
 ; 
sin
2
r
z
C
 . 
Suy ra: 
sin sin cos sin cos
2 2 2 2 2
sin sin sin cos tan tan
2 2 2 2 2 2
B C B C C B
yz r r
r r a
B C B C B Cx
2 2
2
2
y z
a
x
 (1) 
Áp dụng định lí cosin cho tam giác BIC ta có 
 2 2 2 2 cosa y z yz BIC 2 2 2 02 cos 180
2
B C
a y z yz
2 2 2 02 cos135a y z yz 2 2 2 2a y z yz (2) 
Từ (1) và (2) ta có : 
2 2
2 2
2
2
y z
y z yz
x
2 2 2
1 1 1 2
x y z yz
 . 
Lời giải 
Theo định lý hàm sin, ta có: sin ,sin ,sin
2 2 2
a b c
A B C
R R R
 . 
Ta có: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin sin sin 2 2
4 4 4
b c a
B C A b c a
R R R
 . 
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: 2 2 2 2 2 22 2 2b c a b c bc a bc . 
Theo định lý hàm cos, ta có: 
2 2 2 2
2 2 2 2 cos cos
2 2
b c a a
a b c bc A A
bc bc
 . 
Cho tam giác vuông ở , gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đặt , , 
. Chứng minh rằng : 
Ví dụ 5 
Cho tam giác có các góc thỏa mãn . 
Chứng minh: . 
Ví dụ 6 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 17 | 
Vì 2bc a nên 
2 2
0
2
1
cos 60
2 2 2
a a
A A
bc a
 . 
Lời giải 
Ta có: 

2sin sin10 2 sin10
2 2
a
BAC a
a b
b b
 . 
Do đó, 
33 3 3 3 3 3 312 sin10 2 4sin 10 2 sin 3.10 4sin 10
2
a b b b b b
 3 3 3 3 2 22 3sin10 4sin 10 4sin 10 6 sin10 3. .2 sin10 3b b b b ab (vì 2 sin10a b ). 
Lời giải 
Áp dụng định lý sin ta có sin ;sin ;sin
2 2 2
a b c
A B C
R R R
 . 
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có 4
4
abc abc
S pr Rr
R p
 . 
2 3 2 3( ) ( ) ( )pr p p a b c p ab bc ca abc p p ab bc ca abc 
Khi đó 
2 2
2
4
sin .sin sin .sin sin .sin
4
r p Rr
A B B C C A
R
2 2
2 2
2 2
4
4
4 4
ab bc ca r p Rr
ab bc ca r p Rr
R R
 (*) 
 2 2 2 31(*) abcVP r p pr p bac
p p
 3 31 ( ) (*)p p ab bc ca abc p abc ab bc ca VT
p
Lời giải 
Cho tam giác cân tại với . 
Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 7 
Cho tam giác có là nửa chu vi tam giác; lần 
lượt là bán kính đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác . 
Chứng minh rằng . 
Ví dụ 8 
Cho tam giác có . Gọi và tương ứng là các phân giác trong và trung 
tuyến kẻ từ , đặt . Chứng minh rằng: . 
Ví dụ 9 
| 18 
Đường phân giác trong AP kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại I . IO cắt đường tròn tại J
. Ta thấy tứ giác PAJM là tứ giác nội tiếp. 
Từ đó ta có PJM PAM . Do  B C nên vị trí các điểm như hình vẽ, khi đó 
 2AIC BIA MIC PIM BIM PIM PIM (do MIC BIM ) mà   ,B AIC C BIA nên 
 
2
B C
PIM
 . Từ đó suy ra 
.
tan .cot .
2 .
B C PM MI MI MI IJ
JM PM MJ MJ IJ
 . 
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2. , .MI IJ IC MJ IJ JC nên 
2
2 2tan .cot tan tan
2 2
B C IC A
IJC
JC
. 
DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN. 
Lời giải 
P
J
I
M
O
A
B
C
Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi. Biết rằng độ cao 
, phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với 
phương nằm ngang một góc (như hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi so với mặt đất. 
Ví dụ 1 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 19 | 
Cách 1: 
+ Ta có: tan
tan 30
CH CH
CAH AH
AH

. 
+ Lại có: 
70
tan
tan15 30 tan15 30
CI CI CH
CBI BI
BI
  
. 
+ Do AH BI nên 
70 70
tan 30 tan15 30 tan 30 tan15 30
CH CH 
    
. 
+ Vậy 
70.tan 30
134,7
tan 30 tan15 30
CH m

  
. 
Cách 2: 
+ Ta có: 90 15 30 105 30ABC    . 
 180 180 60 105 30 14 30ACB ABC BAC      . 
+ Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có: 
70.sin105 30
sin14 30sin sin
AC AB
AC
ABC ACB
 
 
. 
+ Lại có: 
70.sin105 30
sin .sin 30 .sin 30 134,7
sin14 30
CH
CAH CH AC m
AC
 
   
 
. 
70 m
15°30'
30°
I
A H
C
B
| 20 
Lời giải 
Ta có 12,2ATB TBN TAN  . 
Áp dụng định lí sin cho tam giác TAB : 
.sin
sin sin sin
TB AB AB TAB
TB
TAB ATB ATB
 . 
Xét tam giác vuông TBN ta có: 
.sin .sin 1536.sin 27,4 .sin 39,6
.sin 2132,14
sin12,2sin
AB TAB TBN
TN TB TBN
ATB
 

. 
Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ 2132,14 m. 
Lời giải 
15 m
A
B
D
C
Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được 
thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần 
đúng sau dấu phẩy hai chữ số)? 
Ví dụ 2 
Một người quan sát đứng cách một cái tháp , nhìn thấy đỉnh tháp một góc và nhìn dưới 
chân tháp một góc so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao của tháp. 
Ví dụ 3 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 21 | 
Ta có 0. tan 15.tan 45 15 ( )BC AC BAC m 
 0. tan 15.tan15 15 2 3 ( )CD AC DAC m 
 45 15 3h BD BC CD m . 
Vậy chiều cao của tháp là 45 15 3 m . 
Lời giải 
Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có 
40, 30AB AC và  060 .A 
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ,ABC ta có 
2 2 2 2 2 02. . .cos 30 40 2.30.40.cos 60 900 1600 1200 1300.BC AB AC AB AC A 
Vậy 1300 36BC (hải lí). 
Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. 
Lời giải 
Áp dụng định lí Cô sin cho tam giác ABC ta có: 
2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC A = 0, 28 km. 
 Vậy thời gian du khách chèo thuyền từ C đến B là: 
BC
t
v
0,28
4
 0,07 giờ 4, 2 phút. 
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc . 
Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Sau hai giờ, 
hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? 
Ví dụ 4 
Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ 
đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí trên Hòn Quạ đến vị trí 
trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí rồi mới đến vị trí . Nếu người đó chèo 
thuyền với vận tốc không đổi là km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết km, 
 km và góc giữa và là ? 
Ví dụ 5 
| 22 
Lời giải 
Lấy ba điểm ,A ,B C khác nhau trên đường tròn (ở các điểm ngoài cùng của đảo). Đo độ dài các 
đoạn thẳng ,BC a ,AC b AC c . Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC . 
 S p p a p b p c với 
2
a b c
p
 . 
Lại có: 
4 4
abc abc
S R
R S
Vậy bán kính của đảo được tính theo công thức: 
4
abc
R
S
 . 
Lời giải 
Trong tam giác ACD : có góc 67 43 24CAD    
Áp dụng định lý sin trong tam giác ACD ta có: 
C
A
B
D CB
A
Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học 
phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà 
khoa học không thể tới được. Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà 
khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài. Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính 
đảo? 
Ví dụ 6 
Giả sử chúng ta cần đo chiều cao của một tòa tháp với là chân tháp và là đỉnh tháp. Vì 
không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm và có khoảng cách sao cho ba 
điểm thẳng hàng người ta đo các góc và góc . Hãy tính chiều cao 
 của tòa tháp 
Ví dụ 7 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 23 | 
30.sin 43
50,30( )
sin 43 sin 24 sin 24
AD CD
AD m

  
 
Trong tam giác vuông BAD ta có sin 67 50,30.sin 67 46,30( )
AB
AB m
AD
  
Vậy chiều cao của tòa tháp là 46,30( )m 
Lời giải 
Gọi ,B C lần lượt là chân ngọn hải đăng thứ nhất và thứ hai. 
Gọi A là điểm người đứng trên tàu và H là hình chiếu của A lên BC . 
Theo giả thiết ta có 75 , 55 , 50HBA ABC HCA ACB BAC    
Trong tam giác ABC áp dụng định lí sin ta có 
.sin 5.sin 55
5,35
sin 50sin sin sin
AB BC BC ACB
AB
ACB BAC BAC


(km) 
Một người đứng trên tàu thả neo giữa biển phát hiện trên bờ biển có hai ngọn hải đăng cách nhau 
. Người đó xác định được các góc tạo thành giữa các đường ngắm của hai ngọn hải đăng và 
đường thẳng từ tàu vuông góc với bờ là và ( hình minh họa). Hãy tính 
a) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ nhất 
b) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ hai 
c) Khoảng cách giữa con tàu và bờ biển nối hai ngọn hải đăng 
Ví dụ 8 
| 24 
.sin 5.sin 75
6,30
sin 50sin sin sin
AC BC BC ABC
AC
ABC BAC BAC


(km) 
Trong tam giác vuông AHC ta có .cos 6,30.cos35 5,16AH AC HAC  (km). 
Lời giải 
Gọi ,A B lần lượt là vị trí của người quan sát tại tầng trệt và sân thượng của tòa nhà. 
C,D lần lượt là đỉnh núi và chân núi. 
Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ: 60 , 35 , 15AB m CAD CBE   . Tính độ dài ?CD 
Cách 1. Ta có 
105
55
180 ( ) 20
CBA CBE EBA
BAC BAD CAD
BCA CBA BAC
 
 
  
Áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác ABC ta có: 
.sin 60.sin105
169,451( )
sin 20sin sin sin


AB AC AB CBA
AC AC m
BCA CBA BCA
Xét tam giác ACD vuông tại D ta có 
 .sin .sin 35 97,193( )  CD AC CAD AC CD m 
Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên, người 
đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và lần thứ hai, 
người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó, với phương nhìn tạo với phương nằm 
ngang . Tính chiều cao ngọn núi, biết rằng tòa nhà cao . 
Ví dụ 9 
60 m 
350 
C 
E 
D A 
B 150 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 25 | 
Cách 2. Đặt AD x BE x 
Xét tam giác BCE vuông tại E ta có 
 . tan15 .tan15 .tan15 60    CE BE x CD CE ED x 
Xét tam giác ACD vuông tại D ta có 
. tan 35
.tan15 60 .tan 35
.(tan 35 tan15 ) 60
60
tan 35 tan15
138,806( )
CD AD
x x
x
x
x m
 
  
   
 
Do đó 97,193( )CD m . 
Lời giải 
Ta có 63  117BAD  180 117 48 15ADB     
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: 
 sin sin
AB BD
ADB BAD
.sin
sin
AB BAD
BD
ADB
Tam giác BHD vuông tại H nên có: sin
HD
HBD
BD
 .sinHD BD HBD 
Vậy
.sin .sin
sin
AB BAD HBD
HD
ADB
10.sin117 .sin 48
25,58
sin15
m
 

. 
Suy ra chiều cao của cây là: CD CH HD 1,7 25,58 27, 28m . 
Từ hai vị trí , người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy là điểm gốc cây, là điểm 
ngọn cây. , cùng thẳng hàng với điểm thuộc chiều cao của cây. Người ta đo được
, , , . Tính chiều cao của cây đó. 
Ví dụ 10 
| 26 
Lời giải 
 A B 
 C 
A B 
Gọi H là chân đường vuông góc từ AB đến cột cờ. 
Xét tam giác ABC ta có :    52 45' 45 50 ' 6 55'ACB CAH ABC 
Theo định lí Sin trong tam giác ABC ta có : 


.sin( )
35,74( )
sin( )sin( ) sin( )
AB AC AB B
AC m
BACB ACB
 . 
Xét tam giác ACH vuông tại H ta có .sin 28,45( )CH AC CAH m . 
Vậy chiều cao của cột cờ là 28,45 mét. 
Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một Kỳ đài trước Ngọ Môn ( Đại Nội – Huế). 
Người ta cắm hai cọc bằng nhau MA và NB cao 1,5 mét so với mặt đất . Hai cọc này song song . 
cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với cột cờ ( xem hình vẽ minh họa ) . Đặt giác kế đứng tại A 
và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo được các góc lần lượt là và so với 
đường thẳng song song với mặt đất . Hãy tính chiều cao của cột cờ ( làm tròn đến 0,01 m). 
Ví dụ 11 
M N 
M N 
H 
 Hình học lớp 10 | 
 Trang 27 | 
Lời giải 
Ta có: 0 0 090 15 105CBA CBE EBA 
 0 0 090 35 55BAC BAD CAD 0 0180 20BCA CBA BAC 
Áp dụng định lý hàm sin cho CBA ta có 
0
0
.sin 60.sin105
169,4506909
sin 20sin sin sin
AB CBAAB AC
AC m
BCA CBA BCA
Xét CAD vuông tại D , ta có .sin 97,193CD AC CAD m . 
Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu 
tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và 
lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang 
(như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao . 
Ví dụ 12