Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 22, Tiết 1: Đường Elip - Năm học 2022-2023

Trong thực tế chúng ta có thể bắt gặp nhiều hình ảnh ứng với các đường elip, hypebol , parabol , gọi chung là 3 đường Conic . 
Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu các các p hương trình đại số mô tả các đường conic . 
Hình 7.17 
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với Hình 7.17b, hai hình này có dạng gần giống nhau. 
Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F 1 , F 2 trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F 1 , F 2 ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18 ).  a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17 ?  b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F 1 , F 2 có thay đổi không? Vì sao? 
1 
Hình 7.18 
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F 1 , F 2 không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài của sợi dây . 
Cho hai điểm cố định và phân biệt F 1 , F 2 . Đặt Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho  được gọi là đường elip . Hai điểm F 1 , F 2 gọi là hai tiêu điểm được gọi là tiêu cự của elip đó. 
Lục giác ABCDEF có các cạnh bằng nhau và các góc đều có số đo 120 0 
Cho lục giác ABCDEF . Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D. 
Hình 7.19 
Do đó các tam giác ABC, BCD, DEF, EFA bằng nhau. Suy ra : 
Từ đó , ta có :  
Vậy B , C, E, F cùng thuộc một elip có 2 tiêu điểm là A và D 
Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip 
Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao? 
Hình 7.20 
G ọi hai tiêu điểm này lần lượt là F 1 và F 2 . Bi lăn từ F 1 đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F 2 . 
Do đó, quãng đường bi đi được là: MF 1 + MF 2 . 
Theo tính chất hình elip thì MF 1 + MF 2 = 2a không đổi. 
Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi . 
a) Vì F 1 F 2 = 2c, mà O là trung điểm của F 1 F 2 . 
Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F 1 F 2 , tia Ox trùng tia OF 2  a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F 1 , F 2 .  b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi 
2 
Hình 7.21 
Do đó ta có: F 1 O = F­ 2 O = c . 
Quan sát hình ta thấy, điểm F­ 1 thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F 1 O nên tọa độ F 1 ­(– c; 0). 
Điểm F­ 2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F 2 O nên tọa độ F 2 ­(c; 0). 
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F 1 (– c; 0) và F 2 (c; 0). 
b ) M thuộc elip (E) nên: MF 1 + MF 2 = 2a. 
Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F 1 F 2 , tia Ox trùng tia OF 2  a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F 1 , F 2 .  b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi 
2 
Hình 7.21 
Ta có : 
Vậy điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi : 
Chú ý : p hương trình (1) có thể viết dưới dạng với 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có p hương trình : 
Ngược lại, mỗi p hương trình có dạng (2) đều là p hương trình của elip có 2 tiêu điểm tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới 2 tiêu điểm bằng 2a. 
P hương trình (2) được gọi là p hương trình chính tắc của elip. 
Ta có : 
Cho elip có p hương trình chính tắc  Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip 
2 
LUYỆN TẬP 
Vậy elip có hai tiêu điểm là F 1 (– 6; 0); F 2 (6; 0 ) 
T iêu cự là F 1 F 2 = 2c = 2 . 6 = 12 . 
Ta có 30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ. 
Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình  Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm. 
Nên 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ. 
Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5, suy ra tọa độ M(2,5; y) 
Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó: 
Khi đó chiều cao của ô thoáng là: h ≈ 1,56 . 30 = 46,8 cm. 
Hình 7.22 
Cho elip có phương trình :  Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip. 
7.19 
Ta có : 
Do đó elip có các tiêu điểm là 
Tiêu cự : 
Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm  A(5; 0) và có một tiêu điểm là F 2 (3; 0). 
7.22 
Elip có dạng : 
Vì elip đi qua A(5;0) nên ta có : 
elip có tiêu điểm F 2 (3;0) nên 
Vậy phương trình chính tắc của elip là :