Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 20, Tiết 1: Vị trí tương đối giữa 2 đường thằng Góc giữa hai đường thẳng - Năm học 2022-2023

Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là p hương trình của nó. 
Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua p hương trình tương ứng? 
a) Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆ 1 ta được: 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆ 1 : x – 2y + 3 = 0 và ∆ 2 : 3x – y – 1 = 0 
1 
a ) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không? 
( luôn đúng ) 
Do đó điểm M thuộc ∆ 1 . 
Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆ 2 ta được: 
( luôn đúng ) 
Do đó điểm M cũng thuộc ∆ 2 . 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng và 
1 
b ) Ta có : 
b) Giải hệ 
Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được : 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1 
Thay x = 1 vào (1) ta được: 1 – 2y + 3 = 0 ⇔ y = 2 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (1; 2 ) 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng và 
1 
c) Theo câu a, điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 nên M là giao điểm của hai đường thẳng này. 
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 với nghiệm của hệ phương trình trên. 
Do đó ta thấy tọa độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 giống với nghiệm của hệ phương trình ở câu b. 
 cắt tại tương đương hệ (*) có nghiệm duy nhất 
Nhận xét : Bài toán tìm giao điểm của 2 đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm 2 p hương trình tương ứng. 
Trên mặt phẳng toạ độ, xét 2 đường thẳng 	và 
Khi đó toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ : 
 song song với tương đương hệ (*) vô nghiệm 
 trùng với tương đương hệ (*) có vô số nghiệm 
Chú ý : 
Dựa vào các v ectơ chỉ phương hoặc các v ectơ pháp tuyến , của , ta có : 
 và song song hoặc trùng nhau  ⇔ và cùng phương  ⇔ và cùng phương . 
 và cắt nhau  ⇔ và không cùng phương  ⇔ và không cùng phương 
Ta có : 
Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mỗi đường thẳng sau : 
Vậy và là một, tức là chúng trùng nhau . 
Hai đường thẳng và có 2 v ectơ pháp tuyến và cùng phương 
Do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm O(0;0) thuộc nhưng không thuộc nên 2 đường thẳng không trùng nhau. Vậy và song song nhau . 
Nhận xét : Giả sử hai đường thẳng có 2 v ectơ chỉ phương ( hay 2 v ectơ pháp tuyến ) cùng phươngKhi đó : 
Nếu và có điểm chung thì trùng với 
Nếu tồn tại điểm thuộc nhưng không thuộc thì song song với 
a. Xét hệ : 
Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3 
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: 
Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ y = 0 
Do đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0). 
Vậy hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau tại điểm M(3; 0 ) 
b) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là 
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: 
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là 
Ta thấy : nên 2 v ectơ cùng phương. 
Do đó hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 song song hoặc trùng nhau. 
Mặt khác, ta lại có điểm thuộc đường thẳng ∆ 1 nhưng không thuộc đường thẳng ∆ 2 nên hai đường thẳng này không trùng nhau. 
Vậy hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 song song với nhau. 
Hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau? 
2 
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó có hai cặp góc đối đỉnh với nhau. Hai góc đối đỉnh thì có số đo bằng nhau. 
Hình 7.6 
Hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau tại A .  Khi đó ta có: 
+ ( 2 góc đối đỉnh) 
+ ( 2 góc đối đỉnh) 
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc ( hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng 
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0 0 
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆ 1 , ∆ 2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến , . Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa: a) Góc và góc ,  a) cos và , 
3 
a) Quan sát Hình 7.7, ta thấy góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là góc φ, góc này bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ và 
Hình 7.7 
b ) Với trường hợp góc φ và góc , bằng nhau, ta có : 
- Với trường hợp góc φ và góc , bù nhau, ta có : 
Cho hai đường thẳng : 
Với các v ectơ pháp tuyến và tương ứng Khi đó góc giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức : 
Chú ý : 
Nếu có các v ectơ chỉ phương thì góc giữa được xác định qua công thức 
Vectơ pháp tuyến của là 
2 
 Tính góc giữa hai đường thẳng 	và 
Vectơ pháp tuyến của là 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có : 
Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là 
Tính góc giữa hai đường thẳng 	và 
2 
LUYỆN TẬP 
Vectơ pháp tuyến của là 
Vectơ pháp tuyến của là 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có : 
Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là