Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Cánh Diều - Chương VI, Bài 1: Quy tắc cộng. quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây - Năm học 2022-2023

CHƯƠNG V . ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
§1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. 	S ơ đồ hình cây 
§2. Hoán vị. Chỉnh hợp 
§3. Tổ hợp 
§4. Nhị th ư ́c Newton 
TOÁN HỌC 
QUY TẮC CỘNG 
I 
QUY TẮC NHÂN 
II 
 VẬN DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM 
IV 
S Ơ ĐỒ HÌNH CÂY 
III 
➉ 
§1 
QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY 
Câu 1. Sơ đồ sau đây cho biết lich thi đấu của giải bóng đá UEFA Champions League 2020-2021 bắt đầu từ vòng tứ kết. Có bao nhiêu trận đấu của giải bóng đá UEFA Champions League 2020-2021 bắt đầu từ vòng tứ kết? 
. 
Câu 2. Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khóa cổng là một dãy gồm 4 chữ số. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã với yêu cầu các chữ số phải đôi một khác nhau. 
Khởi động 
Suy nghĩ 2 vấn đề sau: 
§1 
QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY 
. 
Khởi động 
Gia đình bạn Liên dự định đi du lịch ở Quy Nhơn (Bình Định). Hướng dẫn viên du lịch đưa ra hai chương trình tham quan như sau: 
§1 
QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY 
Chương trình 1 
Có 4 địa điểm tham quan: khu Safari FLC, khu du lịch Eo gió, khu du lịch Kỳ Co. Tịnh xá Ngọc Hòa (Hình 2) 
Chương trình 2 
Có 7 địa điểm tham quan: Biển Quy Nhơn, khu du lịch Ghềnh Ráng Tiên Sa, Tháp đôi, đầm Thị Nại, khu du lịch Cửa Biển, Suft Bar, nhà thờ Làng Sống (Hình 3) 
Có bao nhiêu cách chọn một địa điểm tham quan trong số các địa điểm được giới thiệu trong hai địa điểm ở trên? 
Ghi nhớ 
I 
QUY TẮC CỘNG 
 cách hàn thành. 
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có 
Ví dụ 1 
Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau. Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc? 
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau: 
+ Chọn một quyển sách Tiếng Anh: có 7 cách chọn. 
+ Chọn một quyển sách Văn học: có 8 cách chọn. 
Vậy có 7 + 8 = 15 cách chọn một quyển sách để đọc. 
I 
QUY TẮC CỘNG 
 cách hàn thành. 
Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì công việcj đó có n+m+p cách hoàn thành 
Ghi nhớ 
Ví dụ 
Ví dụ 2 : Một quán bán ba loại đồ uống: trà sữa, nước hoa quả và sinh tố. Có 5 loại trà sữa, 6 loại nước hoa quả và 4 loại sinh tố. Hỏi khách hàng có bao nhiêu cách chọn một loại đồ uống? 
Việc chọn một loại đồ uống là thực hiện một trong ba hành động sau: 
+ Chọn một loại trà sữa: có 5 cách chọn. 
+ Chọn một loại nước hoa quả: có 6 cách chọn 
+ Chọn một loại sinh tố: có 4 cách chọn. 
Vậy có 5+6+4=15 cách chọn một loại đồ uống 
. 
Khởi động 
§1 
QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY 
Chương trình 1 
Có 4 địa điểm tham quan: khu Safari FLC, khu du lịch Eo gió, khu du lịch Kỳ Co. Tịnh xá Ngọc Hòa (Hình 2) 
Chương trình 2 
Có 7 địa điểm tham quan: Biển Quy Nhơn, khu du lịch Ghềnh Ráng Tiên Sa, Tháp đôi, đầm Thị Nại, khu du lịch Cửa Biển, Suft Bar, nhà thờ Làng Sống (Hình 3) 
Có bao nhiêu cách chọn một địa điểm tham quan trong số các địa điểm được giới thiệu trong hai địa điểm ở trên? 
. 
Khởi động 
Gia đình bạn Thảo dự định đi du lịch từ Lào Cai đến Hà Nội bằng một trong hai phương tiện: xa khách hoặc tàu hỏa. Sau đó, từ Hà Nội đi đến Thành phố Hồ Chí Minh bằng một trong ba phương tiện: máy bay, tàu hỏa, xe khách (Hình 4c) 
§1 
QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY 
 Hỏi gia đình bạn Thảo có bao nhiêu cách lực chọn phương tiện để đi từ Lào Cai đến Thành phố Hồ Chí Minh, qua Hà Nội? 
Một công việc đ ư ợc hòa thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành. 
Ghi nhớ 
II 
QUY TẮC NHÂN 
 cách hàn thành. 
Trả lời 
Vậy có 6 cách chọn lựa chọn phương tiện để đi từ Lào Cai đến Thành phố Hồ Chí Minh, qua Hà nội. 
Câu hỏi 
Phân biệt quy tắc cộng, quy tắc nhân 
Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. 
Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. 
Ví dụ 
Ví dụ 3 : Trong hoạt động 1, nếu gia đình bạn Liên muốn chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm trong chương trình hai thì có bao nhiêu cách chọn hai địa điểm trong ở hai chương trình khác nhau để tham quan? 
Việc chọn hai địa điểm ở hai chương trình khác nhau để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn một địa điểm trong chương trình 1, sau đó chọn một địa điểm trong chương trình 2 
+ Có 4 cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình 1. 
+ Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan trong chương trình 1 sẽ có 7cách chọn địa điểm tham quan trong chương trình trình 2 
Vậy có tất cả 4.7=28 cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau 
Vậy có tất cả 
cách chọn hai địa điểm tham quan ở hai chương trình khác nhau. 
II 
QUY TẮC NHÂN 
 cách hàn thành. 
Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có n cách thực hiện hành động thứ hai , ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có n.m.p cách hoàn thành 
Ghi nhớ 
Ví dụ 
Ví dụ 4 : Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều món ăn và đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt. 
Để tạo một combo ta thực hiện ba hành động liên tiếp: Chọn một món rau, chọn 1 món cá, chọn một món thịt. 
+ Chọn một món rau: có 5 cách chọn. 
+ Chọn một món cá: có 4 cách chọn 
+ Chọn một món thịt: có 3 cách chọn. 
Vậy có 5.4.3=60 cách tạo ra một combo. 
S ơ đồ hình cây 
III 
Hoạt động 
 Quan sát sơ đồ̀ hình cây: 
Có bao nhiêu cách chọn phương tiện đi từ Lao Cai đến Thành Phố Hồ Chí Minh, qua Hà Nội. 
Trả lời 
Có 6 cách chọn phương tiện đi từ Lao Cai đến Thành Phố Hồ Chí Minh, qua Hà Nội. 
S ơ đồ hình cây 
III 
Sơ đồ hình cây là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh tỏa ra các nút bổ sung. 
Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp. 
Ghi nhớ 
Ví dụ 5 
Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu: xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi khác màu: hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn: 
a) 1 chiếc quần.	 b) 1 chiếc áo sơ mi.	c) 1 bộ quần áo. 
Trả lời 
 Biểu thị số cách chọn bằng sơ đồ̀ hình cây: 
Ví dụ 6 
Một khách sạn nhỏ chuẩn bị bữa ăn sáng gồm 2 món đồ uống là: trà và cà phê; 3 món ăn là: phở, bún và cháo; 2 món tráng miệng là: bánh ngọt và sữa chua. 
a. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các cách chọn khẩu phần ăn gồm đủ ba loại: đồ uống, món ăn và món tráng miệng. 
b. Tính số cách khẩu phần ăn gồm: 1 đồ uống, 1 món ăn và 1 món tráng miêng. 
Trả lời 
Ví dụ 7 
Bạn Nam dự định đặt mật khẩu cho khóa vali là một số có ba chữ số được chọn ra từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách đặt mật khẩu? 
 Để đặt được một mật khẩu bạn Nam cần thực hiện ba hành động liên tiếp: 
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 chọn một số cho vị trí đầu tiên, một số cho vị trí thứ hai , một số cho vị trí thứ ba. 
	+ Chọn một số cho vị trí đầu tiên: Có 4 cách chọn. 
	+ Chọn một số cho vị trí thứ hai: Có 4 cách chọn. 
	+ Chọn một số cho vị trí thứ ba: Có 4 cách chọn 
 Vậy có 4.4.4=64 cách tạo ra một mật khẩu. 
Trả lời 
Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập đ ư ợc bao nhiêu vect ơ khác ? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vect ơ là 2 trong 10 điểm đã cho 
Ví dụ 8 
Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 
Trả lời 
Việc lập vectơ là thực hiện 2 hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối. 
+) Chọn điểm đầu có: 10 cách. Chọn điểm cuối: có 9 cách. 
+) Nếu bỏ đi 1 hành động thì công việc không hoàn thành. Do đó sử dụng quy tắc nhân ta tìm được: 10.9=90 vectơ thỏa mãn đề bài 
IV 
VẬN DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐẾM 
Ví dụ 9 
 Phân tích số 10125 ra thừa số nguyên tố rồi tìm số ước nguyên dương của nó 
Trả lời 
Để tạo ra một ư ớc nguyên d ư ơng của 10125 ta phải thực hiện liên tiếp 2 hành động là chọn m và chọn n 
Một ư ớc nguyên d ư ơng của 10125 có dạng trong đó 
Chọn số tự nhiên m thỏa mãn: => có 5 cách chọn 
Chọn số tự nhiên n thỏa mãn: 3 => có 4 cách chọn 
Vậy số ư ớc nguyên d ư ơng của 10125 là 5.4=20 (số) 
Ví dụ 10 
Trả lời 
Vậy số thông tin đ ư ợc tạo ra là: m.n.p 
Từ ba mảng dữ liệu A, B, C, máy tính tạo nên một thông tin đưa ra màn hình cho người dùng bằng cách lần lượt lấy một dữ liệu từ A, một dữ liệu từ B và một dữ liệu từ C. Giả sử A, B, C lần lượt chứa m, n, p dữ liệu. Hỏi máy tính có thể tạo ra được bao nhiêu thông tin? 
+) Việc máy tính tạo nên 1 thông tin cần thực hiện liên tiếp 3 hành động: chọn dữ liệu từ A, chọn dữ liệu từ B và chọn dữ liệu từ C. 
Chọn dữ liệu từ A: có m cách 
Chọn dữ liệu từ B : có n cách 
Chọn dữ liệu từ C : có p cách 
Ví dụ 11 
Trả lời 
Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khóa coongt là một dãy số gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu: 
a) Các chữ số có thể giống nhau? 
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau? 
+) Việc đặt mật mã thực hiện 4 hành động liên tiếp: chọn số a,b,c,d. 
a) Các chữ số có thể giống nhau 
Chọn số a: có 10 cách (lấy từ bộ số từ 0 đến 9) 
Chọn số b: có 10 cách 
Chọn số c: có 10 cách 
Chọn số d: có 10 cách 
Vậy có 10.10.10.10=10000 cách đặt mật mã mà các chữ số có thể giống nhau 
Ví dụ 11 
Trả lời 
Gia đình bạn Quân đặt mật mã của chiếc khóa cổng là một dãy số gồm bốn chữ số. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật mã nếu: 
a) Các chữ số có thể giống nhau? 
b) Các chữ số phải đôi một khác nhau? 
+) Việc đặt mật mã thực hiện 4 hành động liên tiếp: chọn số a,b,c,d. 
b) Các chữ số đôi một khác nhau 
Chọn số a: có 10 cách (lấy từ bộ số từ 0 đến 9) 
Chọn số b: có 9 cách (khác chữ số a đã chọn lúc đầu) 
Chọn số c: có 8 cách (khác chữ số a và b đã chọn) 
Chọn số d: có 7 cách (khác chữ số a,b,c đã chọn lúc đầu) 
+) Nếu bỏ đi 1 hành động thì công việc không hoàn thành. Do đó sử dụng quy tắc nhân ta tính được: 10.9.8.7=5040 cách đặt mật mã mà các chữ số đôi một khác nhau. 
Ví dụ 12 
Trả lời 
Cho kiểu gen AaBbDdEE. 
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử 
b) Từ đó tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE. Biết quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến. 
Việ c hình thành giao tử cần thực hiện 4 hành động liên tiếp là những hành động chọn cặp giao tử Aa; Bb, Dd, EE. 
Chọn cặp giao tử Aa có 2 cách (giao tử chứa alen A hoặc alen a). 
Chọn cặp giao tử Bb có 2 cách (giao tử chứa alen B hoặc alen b). 
Chọn cặp giao tử Dd có 2 cách (giao tử chứa alen D hoặc alen d). 
Chọn cặp giao tử EE có 1 cách (giao tử chứa alen E) 
Vậy số loại giao tử là: 2.2.2.1=8 (loại giao tử)