Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 22, Tiết 3: Đường Parabol - Năm học 2022-2023

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol 
Điểm F được gọi là tiêu điểm , được gọi là đường chuẩn , khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu của parabol đó. 
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF  a) Nêu tọa độ của F và phương trình của ∆.  b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 
3 
+ Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH , chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p. 
Lại có O là trung điểm của HF nên 
Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và có tọa độ của F là 
Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và có tọa độ của H là 
Đường thẳng ∆ đi qua và vuông góc với Ox, có p hương trình : 
Hình 7.27 
b ) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 
3 
b) Ta có : 
Hình 7.27 
+ Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh 
Thật vậy, vì M thuộc (P) nên 
+ Giả sử ta cần chứng minh M thuộc (P) 
Thật vậy, vì nên Vậy M thuộc (P) 
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên . Khi đó trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol có p hương trình : (với ) (5)  P hương trình (5) được gọi là p hương trình chính tắc của parabol (P) 
Ngược lại mỗi p hương trình dạng (5) , với là p hương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm và đường chuẩn 
5 
Cho parabol 
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3 
a) Ta có : 
Parabol có tiêu điểm và đường chuẩn 
b) Điểm thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi và 
Mặt khác : 
5 
Cho parabol 
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P)b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3 
Vậy : 
Vậy có 2 điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ và 
Coi đường thẳng là bờ biển của vùng đất liền là đường chuẩn, đảo là hình tròn với tâm là vị trí tiêu điểm F 
2 
Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao? 
Thì đường ranh giới là tập hợp các điểm cách đều đất liền và đảo là đường hình parabol 
Vì thỏa mãn tính chất đường parabol, các điểm M nằm trên đường ranh giới cách đều đường chuẩn và tiêu điểm F . 
Hình 7.28 
TÍNH CHẤT QUANG HỌC 
Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các gương lõm elip, hypebol) sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia (tia phản xạ) nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.29) 
Hình 7.29 
TÍNH CHẤT QUANG HỌC 
Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol ( đối với các gương lồi elip, hypebol ) khi gặp elip, hypebolsẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại (H.7.30) 
Hình 7.30 
TÍNH CHẤT QUANG HỌC 
Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bị hắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của parabol ( H.7.31) . Ngược lại nếu tia tới vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm của parabol. 
Hình 7.31 
MỘT SỐ ỨNG DỤNG 
Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống, chẳng hạn : 
Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là những hình ảnh về đường parabol. 
Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời , bóng của một quả bóng, là một elip. 
Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn led trên trần nhà có thể tạo ra trên tường các nhánh hypebol . 
Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol, hypebol. 
Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip. 
3 
Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán. 
Hình 7.33 
Ta có : 
Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm. 
Tiêu cự : 
Cho parabol có phương trình :  Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. 
7.21 
Ta có : 
Vậy parabol có tiêu điểm F (2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2 . 
Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4). 
7.23 
P hương trình chính tắc của parabol có dạng : y 2 = 2px (với p > 0). 
Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên ta có : 
( thoả mãn) 
Vậy phương trình chính tắc của parabol là : y 2 = 8x