Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 21, Tiết 2: Tiếp tuyến của đường tròn - Năm học 2022-2023

Cho đường tròn (C): (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25 và điểm M(4; – 2 ) 
a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).  b) Xác định tâm và bán kính của (C ).  c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16).  Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆. 
2 
a) Thay tọa độ điểm M(4; – 2) vào phương trình đường tròn (C) ta được: 
Hình 7.16 
( luôn đúng) 
Vậy điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C). 
b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính 
Đường thẳng ∆ đi qua M(4 ; – 2) và có một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là : 
Cho đường tròn (C): (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 25 và điểm M(4; – 2 ) 
a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).  b) Xác định tâm và bán kính của (C ).  c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16).  Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆. 
2 
c) Ta có: ∆ ⊥ IM tại M (bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó). 
Hình 7.16 
Do đó một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ 
Cho điểm thuộc đường tròn (C) : tâm I(a;b), bán kính R . Khi đó tiếp tuyến của (C) tại có v ectơ pháp tuyến và p hương trình : 
Do , nên điểm M thuộc (C). 
4 
Cho p hương trình đường tròn (C) :Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có hãy viết p hương trình tiếp tuyến tại M của (C). 
Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có v ectơ pháp tuyến có p hương trình : 
Cho p hương trình đường tròn (C) : Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0). 
4 
LUYỆN TẬP 
Ta có : 
Đường tròn (C) có tâm là I(1;-2). Tiếp tuyến của (C) tại N(1;0) có v ectơ pháp tuyến có p hương trình : 
Khi đó : 
Khi đó đường tròn (C) có tâm 
Do , nên điểm N thuộc (C). 
P hương trình 
 đường tròn 
Tiếp tuyến của  đường tròn 
P hương trình là p hương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi 
P hương trình của đường tròn đi qua M(x;y) có tâm I(a;b) , bán kính R 
Cho điểm thuộc đường tròn (C ) có tâm I(a;b), bán kính R .Khi đó tiếp tuyến của (C) tại có v ectơ pháp tuyến  là : 
Tìm tâm và bán kính của đường tròn 
7.13 
Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng: 
Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6 . 
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn đó . 
7.14 
a) Phương trình x 2 + y 2 + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng  	 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 
N ên b) cũng không phải phương trình đường tròn. 
b ) Ta có : 
Khi đó : 
N ên a) không phải phương trình đường tròn. 
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn đó . 
7.14 
N ên c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 4) và bán kính 
c ) Ta có : 
Khi đó : 
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:  a ) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7;  b ) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2); 
7.15 
a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là 
b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA. 
Ta có : 
Do đó phương trình đường tròn là : 
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:  c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);  d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0. 
7.15 
c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung  điểm của AB. 
Tọa độ trung điểm I của AB là : 
Ta có : 
Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là: 
Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:  c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);  d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0. 
7.15 
d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C). 
Ta có : 
Khi đó phương trình đường tròn (C) là : 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5).  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 
7.16 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. 
Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là 
Đường thẳng trung trực d 1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến 
Vì cùng phương với nên d 1 cũng nhận làm v ectơ pháp tuyến . Do đó d 1 có p hương trình là : 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5).  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 
7.16 
Đường thẳng trung trực d 2 của đoạn thẳng BC đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Do đó d 2 có p hương trình 
Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d 1 và d 2 . 
 T ọa độ của I là nghiệm của hệ : 
 Đường tròn (C) có bán kính : 
 P hương trình của đ ường tròn (C) : 
Cho đường tròn (C) : Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2). 
7.17 
Ta có : 
Khi đó : 
Vậy đường tròn (C) có tâm I(-1;2) 
Do 0 2 + 2 2 + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C). 
Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vtpt nên có p hương trình : 
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm  t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost °).  a ) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.  b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể. 
7.18 
a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 
Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm  t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost °).  a ) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.  b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể. 
7.18 
b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể. 
Ta có : 
Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 1 .