Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 20, Tiết 2: Góc giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng - Năm học 2022-2023

Đường thẳng có v ectơ pháp tuyến 
3 
 Tính góc giữa hai đường thẳng 	và 
Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là 
Đường thẳng có v ectơ chỉ phương nên có v ectơ pháp tuyến 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có : 
Tính góc giữa hai đường thẳng 	và 
3 
LUYỆN TẬP 
Vectơ chỉ phương của là 
V ectơ chỉ phương của là 
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có : 
Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là 
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. 	 
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.  b) Lập phương trình đường thẳng ∆ 0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆. 
4 
LUYỆN TẬP 
a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0. 
Xét hệ 
Khi đó ta có: ax + b = 0 
Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất nên và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có toạ độ 
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. 	 
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.  b) Lập phương trình đường thẳng ∆ 0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆. 
4 
LUYỆN TẬP 
b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là 
Do đường thẳng ∆ 0 song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ là v ectơ pháp tuyến của ∆ 0 
Đường thẳng ∆ 0 đi qua điểm O(0; 0) và nhận làm v ectơ pháp tuyến 
Khi đó phương trình đường thẳng ∆ 0 là : 
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. 	 
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α ∆ và α ∆0 .  d ) Gọi M là giao điểm của ∆ 0 với nửa đường tròn đơn vị và x 0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x 0 và a.  Từ đó, chứng minh rằng tan α ∆ = a. 
4 
LUYỆN TẬP 
c ) Khi ∆ và ∆ 0 trùng nhau thì α ∆ và α ∆0  trùng nhau nên α ∆ = α ∆0 . 
Khi ∆ và ∆ 0 song song thì α ∆ = α ∆0  ( do hai góc ở vị trí đồng vị). 
Vậy α ∆ = α ∆0 . 
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. 	 
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α ∆ và α ∆0 .  d ) Gọi M là giao điểm của ∆ 0 với nửa đường tròn đơn vị và x 0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x 0 và a.  Từ đó, chứng minh rằng tan α ∆ = a. 
4 
LUYỆN TẬP 
d) Vì M thuộc đường thẳng ∆ 0 nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆ 0 nên khi có hoành độ x 0 thì tung độ của M là y 0 = ax 0 . 
Ta có : 
Do : 
Cho điểm và đường thẳng có v ectơ pháp tuyến . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9) 
a) Chứng minh rằng 
4 
a. Ta có : và là vtpt của nên và cùng phương 
+ Nếu và cùng hướng : 
+ Nếu và ngược hướng : 
Vậy 
Hình 7. 9 
Cho điểm và đường thẳng có v ectơ pháp tuyến . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9) 
b) Giả sử H có toạ độ . Chứng minh rằng : 
4 
Hình 7. 9 
Ta có : 
Từ (1) và (2) : 
b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được : 
Cho điểm và đường thẳng có v ectơ pháp tuyến . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( Hình 7.9) 
c) Chứng minh rằng : 
4 
Hình 7. 9 
c) Theo kết quả câu a : 
Theo kết quả câu b : 
Cho điểm và đường thẳng Khoảng cách từ M đến đường thẳng , kí hiệu được tính bởi công thức : 
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến , ta có: 
4 
 Tính khoảng cách từ điểm M(2;4) đến đường thẳng  
Vậy khoảng cách từ điểm M đến là 2 
Đường thẳng đi qua A(5;-5) và có v ectơ chỉ phương 
suy ra có v ectơ pháp tuyến là 
Tính khoảng cách từ điểm M(2;4) đến đường thẳng  
5 
LUYỆN TẬP 
Do đó, phương trình tổng quát của ∆ là: 
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến , ta có: 
a) Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0). 
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,  chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt ,  AE = 5 m, CF = 6 m ( H ình 7.11 ).  a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,  Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. 
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m , BC = AD = 15 m. 
Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12). 
Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0). 
Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12). 
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,  chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt ,  AE = 5 m, CF = 6 m ( H ình 7.11 ).  a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,  Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. 
Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12). 
Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 , lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6). 
Ta có : 
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,  chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt ,  AE = 5 m, CF = 6 m ( H ình 7.11 ).  a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox,  Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. 
Chọn làm vtcp của đường thẳng EF thì v ectơ pháp tuyến là 
Đường thẳng EF đi qua E(5 ; 12) và có do đó phương trình đường thẳng EF là : 
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là: 
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m,  chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt ,  AE = 5 m, CF = 6 m ( H ình 7.11 ).  b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ? 
Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt. 
Vị trí tương đối 
c ủa 2 đường thẳng 
Góc và khoảng cách 
 giửa 2 đường thẳng 
+ cắt tại tương đương hệ (*)  có nghiệm duy nhất 
+ song song với tương đương hệ (*)  vô nghiệm 
+ trùng với tương đương hệ (*)  có vô số nghiệm 
Khoảng cách từ đến đường thẳng 
Toạ độ giao điểm của đường thẳng và là nghiệm của hệ : 
Góc giữa hai đường thẳng có các v ectơ pháp tuyến và là