Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 19, Tiết 2: Phương trình tham số của đường thẳng - Năm học 2022-2023

Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào? 
3 
Hình 7.2a 
Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆ 2 
N ên vật thể chuyển động với vận tốc bằng và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆ 2 . 
V ectơ khác được gọi là v ectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với 
Hình 7.2b 
Nhận xét : 
Nếu là v ectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là v ectơ chỉ phương của đường thẳng 
Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một v ectơ chỉ phương của nó 
Hai v ectơ và vuông góc với nhau nếu là v ectơ pháp tuyến của đường thẳng thì là v ectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại. 
4 
Trong mặt phẳng toạ độ cho A(3;2) , B(1;-4) Hãy chỉ ra hai v ectơ chỉ phương của đường thẳng AB 
Ta có : 
Đường thẳng AB nhận là một v ectơ chỉ phương 
Lấy , khi đó cũng là một v ectơ chỉ phương của đường thẳng AB 
Đường thẳng có v ectơ pháp tuyến 
Hãy chỉ ra một v ectơ chỉ phương của đường thẳng  ∆ : 
3 
LUYỆN TẬP 
Do đó có v ectơ chỉ phương là 
Ngoài ra có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là 
Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc  a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó )?  b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t). 
4 
a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc làm v ectơ chỉ phương . 
b ) Gọi 
Do đó v ectơ và v ectơ là 2 v ectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của . 
Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc  a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó )?  b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là 
4 
Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc làm v ectơ chỉ phương 
Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ  là 
Cho đường thẳng đi qua điểm và có v ectơ chỉ phương Khi đó điểm M(x;y) thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho , hay 
Hệ (2) được gọi là p hương trình tham số của đường thẳng 
5 
Lập p hương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(2;-3) và có v ectơ chỉ phương 
P hương trình tham số của đường thẳng là : 
Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là 
Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và song song với đường thẳng  . 
4 
LUYỆN TẬP 
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là 
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là nên phương trình tham số của ∆ là 
6 
Lập p hương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2;3) và B(1;5) 
Ta có : 
Đường thẳng AB đi qua A(2;3) và có v ectơ chỉ phương do đó có p hương trình tham số là : 
Ta có : 
Đường thẳng AB đi qua và có v ectơ chỉ phương do đó có p hương trình tham số là : 
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt và cho trước. 
5 
LUYỆN TẬP 
Khi đó v ectơ pháp tuyến là : 
P hương trình tổng quát là : 
Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212). 
Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau: 
 Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F; 
 Nước sôi ở 100 °C, 212 °F. 
Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C? 
Ta có : 
Chọn là một v ectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có v ectơ pháp tuyến là 
Do đó p hương trình tổng quát của đường thẳng AB là : 
Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau: 
 Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F; 
 Nước sôi ở 100 °C, 212 °F. 
Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C? 
Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100. 
Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 
Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 
V ectơ khác được gọi là v ectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc với 
V ectơ khác được gọi là v ectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với 
P hương trình 
Tổng quát 
Phương trình 
Tham số 
 P hương trình tổng quát của   Trong đó v ectơ pháp tuyến có toạ độ 
Đ ường thẳng đi qua điểm và có v ectơ chỉ phương Có p hương trình tham số là 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho  a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 1 đi qua A và có vectơ pháp tuyến  b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ 2 đi qua B và có vectơ chỉ phương  c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB. 
7.1 
a) Đường thẳng ∆ 1 đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến do đó p hương trình tổng quát của ∆ 1 là 
b) Đường thẳng ∆ 2 đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương do đó p hương trình tham số của ∆ 2 là 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho  a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 1 đi qua A và có vectơ pháp tuyến  b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ 2 đi qua B và có vectơ chỉ phương  c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB. 
7.1 
Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là : 
c. Ta có : 
Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ. 
7.2 
Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là và 
Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia. 
Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là : 
Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của O y là : 
Cho hai đường thẳng 
7.3 
a. Ta có : 
a) Lập phương trình tổng quát của ∆ 1 .  b ) lập phương trình tham số của ∆ 2 . 
D o đó đường thẳng ∆­ 1 đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là 
Suy ra một v ectơ pháp tuyến của là 
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 1 là 
Cho hai đường thẳng 
7.3 
b) Đường thẳng ∆ 2 có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆ 2 có một vectơ pháp tuyến là 
a) Lập phương trình tổng quát của ∆ 1 .  b ) lập phương trình tham số của ∆ 2 . 
Suy ra một v ectơ chỉ phương của là 
Chọn điểm B(1;1) thuộc ∆ 2 . Khi đó đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm B(1; 1) và nhận làm v ectơ chỉ phương nên p hương trình tham số là : 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).  a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.  b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B. 
7.4 
a. Ta có : 
Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC. 
Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ làm v ectơ pháp tuyến 
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là : 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).  a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.  b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B. 
7.4 
b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là 
Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM. 
Ta có : 
Chọn 
Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là 
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0),  B(0 ; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là : 
7.5 
Hình 7.3 
a. Ta có : 
Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là nên có v ectơ pháp tuyến là 
P hương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua A(a; 0 ) và nhận làm v ectơ pháp tuyến là : 
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0),  B(0 ; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là : 
7.5 
Hình 7.3 
Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được: