Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Cánh Diều - Chương VI, Bài 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm - Năm học 2022-2023

CHÀO MỪNG CÁC EM 
ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC 
HÔM NAY! 
K HỞI ĐỘNG 
Kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của hai bạn Dũng và Huy được thống kê trong bảng sau: 
Kết quả làm bài kiểm tra môn Toán của bạn nào đồng đều hơn ? 
BÀI 3: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM 
CHƯƠNG VI: MỘT S Ố YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC XUẤT 
I 
NỘI DUNG BÀI HỌC 
Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị 
II 
Phương sai 
III 
Độ lệch chuẩn 
IV 
Tính hợp lí của số liệu thống kê 
I 
Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị 
HĐ 1: 
Giải 
1. Định nghĩa 
 Kết quả của 11 lần đo được thống kê trong mẫu số liệu sau: 
 (1) 
a) Tìm hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất. 
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần. Tìm các giá trị Q­ 1 , Q­ 2 , Q 3 là tứ phân vị của mẫu đó. Sau đó, tìm hiệu Q 3 – Q 1 . 
a) Trong mẫu số liệu (1), hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất là: 
R = x max – x min = 16 – 2 = 14 
HĐ 1: 
Giải 
1. Định nghĩa 
 Kết quả của 11 lần đo được thống kê trong mẫu số liệu sau: 
 (1) 
a) Tìm hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất. 
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần. Tìm các giá trị Q­ 1 , Q­ 2 , Q 3 là tứ phân vị của mẫu đó. Sau đó, tìm hiệu Q 3 – Q 1 . 
b ) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần, ta được: 
2 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 
Vậy Q 1 = 6; Q 2 = 9; Q 3 = 12. 
Suy ra = Q 3 – Q 1 = 12 – 6 = 6. 
KẾT LUẬN 
Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó. 
 Ta có thể tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu theo công thức sau: 
R = x max – x min 
 trong đó x max là giá trị lớn nhất, x min là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó. 
Giả sử Q 1 , Q 2 , Q 3 là tứ phân vị của mẫu số liệu. 
 Ta gọi hiệu là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. 
Ví dụ 1 (SGK – tr36) 
Giải 
Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là: 
 (2) 
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2). 
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2). 
a) Trong mẫu số liệu (2), số lốn nhất là 9,0 và số bé nhất là 6,3. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2) là: 
Ví dụ 1 (SGK – tr36) 
Giải 
Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là: 
 (2) 
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2). 
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2). 
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (2) theo thứ tự tăng dần, ta được: 
Do đó . 
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2) là: . 
2. Ý nghĩa 
a. Ý nghĩa của khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu phản ánh sự “dao động”, “sự dàn trải” của các số liệu trong mẫu đó . 
b. Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp và có thể giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. 
II 
Phương sai 
HĐ 2: 
1. Định nghĩa 
 Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là: (xem Bảng 4). 
Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) là: 
a) Tính các độ lệch sau: . 
b) Tính bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng. 
Giải 
a) Ta có: 
8 – 7 = 1 ; 6 – 7 = – 1; 7 – 7 = 0; 5 – 7 = – 2 ; 9 – 7 = 2. 
b) Bình phương các độ lệch là: 
(8 – 7) 2 = 1; (6 – 7) 2 = 1; (7 – 7) 2 = 0; (5 – 7) 2 = 4; (9 – 7) 2 = 4. 
Trung bình cộng của bình phương các độ lệch là: 
s 2 = 
Lưu ý: Mỗi hiệu giữa số liệu và số trung bình cộng gọi là độ lệch của số liệu đó đối với số trung bình cộng. 
KẾT LUẬN 
Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x 1 , x 2 , , x n và số trung bình cộng là 
Ta gọi số: 
s 2 = 
là phương sai của mẫu số liệu trên. 
NHẬN XÉT 
* Khi có các số liệu bằng nhau, ta có thể tính phương sai theo công thức sau : 
Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số là: 
s 2 = 
trong đó n = n 1 + n 2 + + n k ; là số trung bình cộng của các số liệu đã cho 
NHẬN XÉT 
Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số tương đối là: 
s 2 = 
 Trong đó, là số trung bình cộng của các số liệu đã cho. 
NHẬN XÉT 
- Trong thực tế, người ta còn dùng công thức sau để tính phương sai của một mẫu số liệu : 
 2 = 
Trong đó, x i là giá trị của quan sát thứ i; 
 là giá trị trung bình và n là số quan sát trong mẫu số liệu đó . 
Ví dụ 2 (SGK – tr36) 
 Mẫu số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng, bạn Huy lần lượt là : 
Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) và (4) đều là: 
a) Tính phương sai lần lượt của hai mẫu số liệu (3) và (4). 
b) Xét mẫu số liệu (3), ta gọi độ dài đoạn thẳng là độ lệch của số liệu thống kê đối vối số trung bình cộng (Hình 2). So sánh phương sai của mẫu số liệu (3) và giá trị của biểu thức 
c) So sánh và . Từ đó cho biết bạn nào có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn. 
Giải 
a) Ta có : 
b) Với mẫu số liệu (3), ta có: 
 , 
 . 
Vì thế 
Giải 
Như vậy, phương sai đánh giá mức độ phân tán kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng (so vơ̂i số trung bình cộng ). 
c) Do nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng. 
LUYỆN TẬP 1: 
Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li của 5 người là: 
Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li của 5 người đó là: 
 (6) 
Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có kết quả đồng đều hơn. 
Giải 
Vậy cự li chạy 500 m có kết quả đồng đều hơn. 
Ta có: = 57,96; = 272,04 
Vậy phương sai của mẫu (5) và (6) là: 
2. Ý nghĩa 
Phương sai là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Mẫu số liệu nào có phương sai nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. 
III 
Độ lệch chuẩn 
HĐ 3 
Giải 
1. Định nghĩa 
Trong Ví dụ 2, phương sai của mẫu số liệu (4) là . 
Tính . 
KẾT LUẬN 
Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê. 
* Nhận xét: Vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với số liệu thống kê nên khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta sử dụng độ lệch chuẩn mà không sử dụng phương sai. 
Ví dụ 3 
Bảng 5 thống kê nhiệt độ (đơn vị: ) ở Thành phố Hồ Chí Minh ngày sau một số lần đo. 
a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ Bảng 5. 
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. 
Giải 
Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ Bảng 5 là: 
b) Nhiệt độ trung bình là: 
Phương sai của mẫu số liệu đó là : 
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là: . 
LUYỆN TẬP 2 : 
Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là: 
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. 
Giải 
Số áo bán ra 
410 
430 
450 
525 
550 
Tần số 
1 
2 
2 
1 
1 
Số áo bán ra 
560 
635 
700 
800 
900 
Tần số 
1 
1 
1 
1 
1 
Ta c ó bảng tần số: (chiếc á o) 
Từ bảng tần số ta có số lượng áo trung bình bán ra trong 1 tháng là: 
Giải 
Phương sai của mẫu số liệu l à : 
s 2 = [(410 - x ) 2 + (430 - x ) 2 + (450 - x ) 2 + (525 - x ) 2 + (550 - x ) 2 + 
 ( 560 - x ) 2 + (635 - x ) 2 + (760 - x ) 2 + (800 - x ) 2 + (900 - x ) 2 ] : 12 
 = 25 401 . 
s = = 159,4. 
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu l à : 
2. Ý nghĩa 
Cũng như phương sai, khi hai mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. 
Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo. 
IV 
Tính hợp lí của số liệu thống kê 
Ta thường sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu. Cụ thể: 
Giả sử Q 1 , Q 2 , Q 3 là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. 
Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn Q 1 - . hoặc lớn hơn Q 3 + . 
Ví dụ 4 
Giải 
Nêu các giá trị bất thường của mẫu số liệu thống kê sau: 
Mẫu số liệu (7) có tứ phân vị là . 
 Suy ra 
Các giá trị 5,6 (nhỏ hơn ) và các giá trị 48,49 ( l ớn hơn ) là các giá trị bất thường của mẫu số liệu (7). 
Chú ý 
Ta cũng có thể xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu bằng số trung bình cộng và độ lệch chuẩn. Cụ thể như sau: 
 Giả sử , s lần lượt là số trung bình cộng và độ lêch chuẩn của mẫu số liệu. Một giá trị trong mẫu số liệu cũng được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn hoặc lớn hơn . Như vậy, số trung bình cộng và độ lệch chuẩn cho ta cách nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu. 
BÀI TẬP 
Giải 
Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường. 
Ta có: Q 1 = 56; Q 3 = 84 ; 	 
Q 1 - = 56 - .28 = 14 ; 	 Q 3 + = 84 + .28 = 126 
Ta thấy 10 < 14 nên 10 là giá trị bất thường. 
 14 < 100 < 126 nên 100 không là giá trị bất thường. 
LUYỆN TẬP 
Bài 1: ( SGK – tr.41) 
Trong 5 lần nhảy xa, hai bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là 
a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không? 
b) Tính phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn. 
Giải 
a) Kết quả trung bình của 2 bạn bằng nhau (m) 
b) Phương sai mẫu số liệu thống kê của bạn Hùng và Trung là: 
Vậy bạn Trung có kết quả nhảy xa ổn định hơn. 
Bài 2: ( SGK – tr.41) 
Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 3 biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2012 – 2019. 
a) Viết mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng trưởng GDP nhận được từ biểu đồ ở Hình 3. 
b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó. 
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. 
d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. 
Giải 
a) Dựa vào biểu đồ, ta có mẫu số liệu là: 
5,25	5,42	5,98	6,68	6,21	6,81	7,08	 7,02 
b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có: 
5,25	5,42	5,98	6,21	6,68	6,81	7,02	7,08 
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 
Giải 
c) Các tứ phân vị của mẫu số liệu là: 
Q 1 = 5,7	Q 2 = 6,455	Q 3 = 6,915 
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: Q 3 – Q 1 = 1,215 
d) Ta có: 
s 2 = 
= 0,44 
Bài 3: ( SGK – tr.41) 
 Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 4 biểu diễn giá vàng bán ra trong bảy ngày đầu tiên của tháng 6 năm 2021. 
a) Viết mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở Hình 4. 
b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó. 
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. 
d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. 
Giải 
a) Dựa vào biểu đồ ta có mẫu số liệu là: 
5 767	 	 5 757	 5 737	 5 727 	 5 747	 5 747	 5 722 
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó là: 
R = x max – x min = 5 767 – 5 722 = 45 
c) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có: 
5 722 	5 727	5 737	5 747	5 747	5 757	5 767 
Các tứ phân vị của mẫu số liệu là: 
Q 1 = 5 727	Q 2 = 5 747	Q 3 = 5 757 
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: 
Giải 
d) Ta có: 
s 2 = 
 . 
Bài 4: ( SGK – tr.41) 
Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau: 
112 102 106 94 101 
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên. 
b) Theo em, các cây có phát triển đồng đều hay không? 
Giải 
a) Ta có: = 103 
b) Cây phát triển không đồng đều (do cây có độ lệch chuẩn khá lớn). 
50:50 
50:50 
Key 
A. 1 
B. 
C. 
D. 
Câu 1: Cho mẫu số liệu: 21 22 23 24 25 
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 
50:50 
Key 
Câu 2. Cho mẫu số liệu: 21 22 23 24 25 
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
50:50 
Key 
Câu 3. Cho mẫu số liệu: 21 22 23 24 25 
Phương sai của mẫu số liệu trên là: 
B. 2 
A. 1 
C. 
D. 
50:50 
Key 
Câu 4 . Cho mẫu số liệu: 21 22 23 24 25 
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: 
B. 
A. 1 
C. 
D. 
50:50 
Key 
A. 71 
B. 
C. 
D. 
 Câu 5. Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 2 biểu diễn thu nhập bình quân đầu người/năm của Việt Nam ở một số năm trong giai đoạn từ 1986 đến 2020 . 
Mẫu số liệu nhận được từ biểu đồ ở Hình 2 có khoảng biến thiên là bao nhiêu ? 
VẬN DỤNG 
Bài tập 1: 
Biểu đồ đoạn thẳng ở hình dưới đây cho biết kết quả thi Ngoại ngữ ở câu lạc bộ của Dũng (đường nét liền) và Hoàng (đường nét đứt đậm) qua 9 lần kiểm tra. 
a) Viết mẫu số liệu thống kê kết quả thi ngoại ngữ của Dũng và Hoàng nhận được từ biểu đồ ở hình trên. 
b) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu đó. 
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu đó. Cho biết kết quả thi của bạn nào ổn định hơn? 
Giải 
a) Mẫu số liệu kết quả thi của bạn Dũng là: 8 ; 9 ; 7 ; 9 ; 7 ; 8 ; 8 ; 7 ; 9 (1) 
Mẫu số liệu kết quả thi của bạn Hoàng là: 6 ; 10 ; 8 ; 8 ; 7 ; 9 ; 6 ; 9 ; 8 (2) 
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu (1) và (2) lần lượt là 2 và 4. 
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (1) và (2) lần lượt là 2 và 2,5. 
c) Phương sai của mẫu số liệu (1) và (2) lần lượt là và 
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (1) và (2) lần lượt là và 
Ta có: < nên kết quả thi của bạn Dũng ổn định hơn. 
Bài tập 2 
Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng). 
a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B. 
b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao? 
Giải 
a) Nhà máy A: 
+ Số trung bình: 
+ Mốt: M o = 4, M o = 5 
+ Tứ phân vị: Q 1 , Q 2 , Q 3 
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 47. 
Q 2 = M e = 5 
Q 1 là trung vị của nửa số liệu: 4; 4 ; 4 ; 5. Do đó Q 1 = 4. 
Q 3 là trung vị của nửa số liệu: 5 ; 5 ; 6 ; 47. Do đó Q 3 = 5,5 . 
Giải 
+ Phương sai s 2 = 
 Độ lệch chuẩn s = 14 . 
Nhà máy B: 
+ Số trung bình: 
+ Mốt: M o = 9 
+ Tứ phân vị: Q 1 , Q 2 , Q 3 
Giải 
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 11 
Q 2 = M e = 9 
Q 1 là trung vị của nửa số liệu: 2; 8 ; 9 ; 9. Do đó Q 1 = 8,5. 
Q 3 là trung vị của nửa số liệu: 9 ; 9 ; 10 ; 11. Do đó Q 3 = 9,5. 
+ Phương sai s 2 = 
 Độ lệch chuẩn s = 2,56 . 
Giải 
b ) 
Nhà máy A có: 
Vậy giá trị ngoại lệ x > 5,5 + 1,5.1,5 = 7,75 hoặc x < 4 – 1,5.1,5 = 1,75 là 47. 
Nhà máy B có: 
Vậy giá trị ngoại lệ x > 9,5 + 1,5.1 = 11 hoặc x < 8,5 – 1,5.1 = 7 là 2. 
Ta so sánh trung vị: 9 > 5, do đó công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn. 
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 
Ghi nhớ kiến thức trong bài. 
Chuẩn bị bài mới “ Bài 4 ” 
Hoàn thành các bài tập trong SBT. 
CẢM ƠN CÁC EM 
ĐÃ THEO DÕI BÀI HỌC !