Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Cánh Diều - Bài 3: Phương trình đường thẳng - Năm học 2022-2023 - Nguyễn Thị Lan

 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Người dạy: Nguyễn Thị Lan 
Chào mừng thầy cô và các bạn học sinh đến với bài giảng 
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
2 
1 
3 
4 
Phương trình tổng quát của đường thẳng 
Luyện tập 
Phương trình tham số của đường thẳng 
Lập phương trình đường thẳng 
Làm thế nào để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ? 
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 
Một máy bay cất cánh từ sân bay theo một đường thẳng nghiêng với phương nằm ngang một góc 20 o , vận tốc cất cánh là 200 km/h. Hình 24 minh hoạ hình ảnh đường bay của máy bay trên màn hình ra đa của bộ phận không lưu. Để xác định vị trí của máy bay tại những thời điểm quan trọng (chẳng hạn: 30 s, 60 s, 90 s, 120 s), người ta phải lập phương trình đường thẳng mô tả đường bay. 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
HĐ1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Vẽ vectơ ( có giá song song (hoặc trùng) với đường thẳng 
Kết luận: 
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song song hoặc trùng với . 
Nhận xét: 
+ Nếu là một vectơ chỉ phương của thì k cũng là một vectơ chỉ phương của . 
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 
HĐ2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua điểm ( ) và có vectơ chỉ phương = (a,;b). Xét điểm M(x;y) nằm trên 
a) Nhận xét về phương của hai vectơ và 
b) Chứng minh có số thực t sao cho = 
c) Biểu diễn tọa độ của điểm M qua tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ chỉ phương . 
a. Hai vectơ và cùng phương với nhau . 
b. Xét điểm M(x; y) . Vì cùng phương với nên có số thực t sao cho . 
c. Do , nên 
 (I) 
2. Phương trình tham số của đường thẳng 
Kết luận: 
Hệ (a 2 + b 2 > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và nhận làm vectơ chỉ phương. 
2. Phương trình tham số của đường thẳng 
NHẬN XÉT  Cho đường thẳng có phương trình tham số là: 
 (a 2 + b 2 > 0 và t là tham s ố) 
+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng . Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng , ta xác định được một giá trị cụ thể của t. 
+ Vectơ là một vectơ chỉ phương của 
2. Phương trình tham số của đường thẳng 
LUYỆN TẬP 1 
Cho đường thẳng có phương trình tham số . Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng 
Điểm nào trong các điểm C(-1;-1), D(1;3) thuộc đường thẳng ? 
GIẢI 
a. Gọi điểm M M(1 – 2t; -2 + t) 
+ Chọn t = 1 
+ Chọn t = 0 
b. Thay điểm C(-1; -1) vào đường thẳng ta được: 
 t = 1 Vậy C(-1; -1) 
Thay toạ độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng ta được: 
Vậy D(1; 3) 
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
HĐ3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Vẽ vectơ có giá 
vuông góc với đường thẳng 
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Kết luận: 
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và giá của vectơ vuông góc với . 
Nhận xét: 
+ Nếu là một vectơ pháp tuyến của thì k (k 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó. 
+ Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương là thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của 
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng 
HĐ4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua điểm ( ) và có vectơ pháp tuyến . Xét điểm M(x;y) nằm trên 
Nhận xét về phương của hai vectơ và 
Tìm mỗi liên hệ giữa tọa độ của điểm M với tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ pháp tuyến 
a. Phương của hai vectơ và vuông góc với nhau. 
b. Ta có: = (x - ; y - , 
Xét điểm M(x; y) . Vì nên 
Đặt c = a ta được phương trình ax + by + c = 0 (II ). 
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng 
Nhận xét: 
+ Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 
 + = 0 . 
+ Mỗi phương trình ( a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là . 
Phương trình ax + by + c = 0 ( a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng 
Kết luận: 
+ Với đường thẳng đã xác định, điểm M thuộc đường thẳng thì toạ độ điểm M thoả mãn phương trình (II). 
Ngược lại, nếu điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn phương trình (II) thì M(x; y) . 
Luyện tập 2 
Cho đường thẳng có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0. 
a) Chỉ ra tọa độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của . 
b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc 
a ) Toạ độ của một vectơ pháp tuyến của là: . 
 Toạ độ vectơ chỉ phương của là: . 
b) + Chọn x = 0, thay vào phương trình đường thẳng ta được: 1 – y + 1 = 0 . 
Vậy điểm A(0; 1) thuộc đường thẳng . 
+ Chọn x = 1, thay vào phương trình đường thẳng ta được: 0 – y + 1 = 0 . 
Vậy điểm B(0; 1) thuộc đường thẳng 
GIẢI 
Nội dung 
Yêu cầu cần đạt 
Nhận biết được phương trình tổng quát của mặt phẳng. 
Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz theo một trong ba cách cơ bản: qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến; qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương (suy ra vectơ pháp tuyến nhờ vào việc tìm vectơ vuông góc với cặp vectơ chỉ phương); qua ba điểm không thẳng hàng. 
Phương trình mặt phẳng 
Nội dung 
Yêu cầu cần đạt 
Phương trình mặt phẳng 
(3) Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc với nhau. 
(4) Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ. 
(5) Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. 
Nội dung 
Yêu cầu cần đạt 
Phương trình đường thẳng trong không gian 
Nhận biết được phương trình chính tắc, phương trình tham số, vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian. 
Thiết lập được phương trình của đường thẳng trong hệ trục toạ độ theo một trong hai cách cơ bản: qua một điểm và biết một vectơ chỉ phương, qua hai điểm. 
Xác định được điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. 
Nội dung 
Yêu cầu cần đạt 
Phương trình đường thẳng trong không gian 
(4) Thiết lập được công thức tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. 
(5) Vận dụng được kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. 
Nội dung 
Yêu cầu cần đạt 
Phương trình mặt cầu 
Nhận biết được phương trình mặt cầu. 
Xác định được tâm, bán kính của mặt cầu khi biết phương trình của nó. 
Thiết lập được phương trình của mặt cầu khi biết tâm và bán kính. 
Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt cầu để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn. 
IV. HƯỚNG DẪN DẠY HỌC 
Dạy học khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian 
01 
1. MỤC TIÊU 
01 
02 
Phân biệt được khái niệm về hệ trục toạ độ trong không gian với hệ trục tọa độ trong mặt phẳng 
Nhận biết được hệ trục toạ độ trong không gian 
2 . Hoạt động hình thành kiến thức mới 
Bước 1: Gợi động cơ học tập: 
Hoạt động của GV 
Hoạt động của HS 
- GV yêu cầu HS nhắc lại khái niệm về mặt phẳng tọa độ. 
- GV đặt câu hỏi: Ta có thể xác định được một điểm trên mặt phẳng toạ độ (trên mặt phẳng tờ giấy), nhưng trong trường hợp có điểm không nằm trên tờ giấy nữa, mà nằm ngoài tờ giấy (trong không gian) thì liệu chúng ta có xác định được điểm đó không? 
- HS suy nghĩ trả lời câu hỏi của GV. 
Bước 2: Phát biểu định nghĩa: 
- GV yêu cầu HS đọc khái niệm hệ toạ độ trong SGK trang 62. 
Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. 
Ox: trục hoành 
Oy: trục tung 
Oz: trục cao 
(Oxy); (Oxz); (Oyz): các mặt phẳng toạ độ. 
Điểm O được gọi là gốc toạ độ. 
 được gọi là vecto đơn vị nằm trên các trục Ox, Oy, Oz và đôi một vuông góc 
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. 
Bước 3: Đưa ra ví dụ minh hoạ: 
GV đưa ra ví dụ, yêu cầu HS trả lời: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz. 
? 
HS suy nghĩ và đưa ra câu trả lời: 
 = 
E 
K 
x 
H 
y 
M 
O 
y 
x 
z 
i 
j 
k 
z 
3 . HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ 
3.1. Hoạt động ngôn ngữ: 
- GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm hệ toạ độ trong không gian theo cách hiểu của mình. 
- GV yêu cầu HS chỉ ra được đặc trưng so với trong mặt phẳng toạ độ. 
3.2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện: GV đ ư a ra cho HS bài tập 
Bài tập: Trong các hệ trục toạ độ sau đây, đâu là hệ trục toạ độ trong không gian? 
Dạy học định lí: 
02 
	 Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto 
 và được xác định bởi công thức: 
Sau khi học xong định lí, HS đạt được yêu cầu sau: 
Trình bày được định lí tích vô hướng của hai vecto trong không gian. 
 Vận dụng được định lí tích vô hướng của hai vecto trong không gian vào giải bài tập. 
I. MỤC TIÊU 
II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI 
Bước 1: Gợi động cơ học tập: 
GV: Ở lớp 10, chúng ta đã được học về biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong mặt phẳng là 
Vậy thì biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian có tương tự như trong mặt phẳng không ? 
Bước 2: Dự đoán và phát biểu định lí: 
HS đưa ra dự đoán: Biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian có tương tự như trong mặt phẳng, đó là: 
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto và được xác định bởi công thức: 
Bước 3: Chứng minh định lí: 
GV yêu cầu và hướng dẫn HS tìm cách chứng minh , sau khi phân tích được 2 veco và theo 3 vecto đơn vị : 
HS tiếp tục nhân với 
Bước 3: Chứng minh định lí: 
Người học sẽ hiểu được mình cần phải khai triển ra và tìm cách triệt tiêu bằng cách vận dụng kiến thức đã được học từ phần trước là: 
 và 
Khi đó người học đã có thể giải được một cách dễ dàng . 
GV: Như vậy thông qua các bước chứng minh trên, HS hãy trả lời câu hỏi được đưa ra lúc đầu: Vậy thì biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian có tương tự như trong mặt phẳng không ? 
III. HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ 
1. Hoạt động ngôn ngữ: 
- GV yêu cầu HS phát biểu lại định lí bằng kí hiệu Toán học. 
2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện: 
- GV giao các bài tập liên quan đến biểu thức toạ độ của 2 vecto trong không gian: 
Bài 1 : Với 2 vecto và , khi đó ta có công thức tính tích vô hướng như sau: đúng hay sai? 
Bài 2 : Với hệ toạ độ Oxyz trong không gian, cho ; ; . Hãy tính 
Dạy học giải bài tập: 
03 
“Cho hình lập phương ABCD . A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Một đường thẳng đi qua A cắt BD’ tại M và CB’ tại N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.” 
 I. MỤC TIÊU 
Giải được bài tập và vận dụng giải được các bài tập tương tự. 
Bước 1: Tìm hiểu đề bài: 
- GV yêu cầu HS đọc đề, vẽ hình và tìm hiểu đề bài được giao. 
GT 
H ình lập phương ABCD . A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 . 
d đi qua A, d BD’= M , d CB’=N 
KL 
 MN = ? 
II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI 
Bước 2: Xây dựng lời giải: 
- GV yêu cầu HS suy nghĩ tìm lời giải cho bài tập và hướng dẫn, gợi ý cho HS (nếu cần): 
Muốn tính độ dài đoạn thẳng MN bằng phương pháp tọa độ, hãy chọn một hệ tọa độ nào đó rồi từ giả thiết hãy tính tọa độ của các điểm M và N. Nên chọn A làm gốc tọa độ để phép tính được đơn giản và hệ tọa độ được chọn như trên hình vẽ. Để xác định tọa độ của M, N, trước hết hãy tìm tọa độ của các điểm B, D’, C, B’, A rồi sử dụng giả thiết B, M, D’ thẳng hàng, C, N, B’ thẳng hàng và A, M, N thẳng hàng. 
Bước 3: Trình bày lời giải: 
- HS đưa ra lời giải chi tiết cho bài toán như sau: 
Ta lần lượt có: 
B( 0 , 1 , 0), D’(1 , 0 , 1), M(x 1 , y 1 , z 1 ) 
 = (1 , -1 , 1), = ( x 1 , y 1 -1 , z 1 ) 
Hai vecto , cộng tuyến nên 
 = = hay x 1 = y 1 - 1 = z 1 (1) 
Tương tự: 
C( 1 , 1 , 0), B’(0 , 1 , 1), N(x 2 , y 2 , z 2 ) 
CB = (-1 , 0 , 1), = ( x 2 -1 , y 2 -1 , z 2 ) 
 = = hay y 2 = 1 (2) 
 z 2 = 1 - x 2 (3) 
Đường thẳng MN đi qua gốc tọa độ A nên ta có: 
 = = (4) 
Từ các hệ thức (2), (3), (4) suy ra: 
x 1 = z 1 = , y 1 = , x 2 = z 2 = , y 2 = 1 
M , N 
MN = = 
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải: 
GV yêu cầu HS làm bài tập sau: 
Cho hình lập phương ABCD . A’B’C’D’ có cạnh bằng 5 . Một đường thẳng đi qua A cắt BD’ tại K và CB’ tại H . Tính độ dài đoạn thẳng KH. 
Một số l ư u ý 
04 
Cần làm cho học sinh thấy rằng những vấn đề nghiên cứu về mặt phẳng trong không gian bằng phương pháp tọa độ: phương trình tổng quát, vectơ pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng là những vấn đề tương tự như đã xét đối với đường thẳng trong mặt phẳng. Việc dạy học hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ở lớp 12 cần liên hệ chặt chẽ với những kiến thức hình học phẳng lớp 11. 
Cần tập cho học sinh quen làm việc với những dạng xác định khác nhau của những yếu tố hình học, cần luyện tập để nhận biết được trong trường hợp nào cần dùng loại phương trình nào, công thức nào. 
Thông qua những bài toán cụ thể, cần luyện dần cho học sinh nắm được quy trình giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ mà các khâu quan trọng là: 
Chọn hệ tọa độ thích hợp. 
Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ. 
Dùng các kiến thức về tọa độ để giải bài toán 
Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học. 
Cần tận dụng tốt tất cả các cơ hội có thể có được trong từng bài tập để rèn luyện cho HS khả năng phiên dịch từ ngôn ngữ hình học thông thường sang tọa độ và ngược lại. 
Cần hướng HS lưu ý đến ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc nghiên cứu các sự kiện hình học, ứng dụng của tích vô hướng, tích có hướng của hai vecto, biểu thức tọa độ của chúng và các điều kiện cộng tuyến của hai vecto, điều kiện đồng phẳng của ba vecto, biểu thị bằng những công thức tọa độ từ đó có thể vận dụng tốt khi sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian. 
T hank for listening!!!