Bài giảng các định lí cơ bản trong chứng minh Đồng quy - Thẳng hàng và vuông góc

BÀI GIẢNG CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN TRONG CHỨNG MINH ĐỒNG QUY-THẲNG HÀNG VÀ VUÔNG GÓC
I. Một số kiến thức bổ trợ: 
1.Hệ thức lượng trong tam giác ( Giáo viên cung cấp, chứng minh cô đọng và ví dụ minh họa cho học sinh nắm kiến thức để vận dụng trong các bài toán)
1.1 Định lý Côsin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; AB = c; CA = b, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosA ; 	b2 = a2 + c2 – 2a.c.cosB ; 	c2 = a2 + b2 – 2a.b.cosC
* Hệ quả: ;	 ; 	
* Công thức tính độ dài trung tuyến
	; 	 ; 	 
1.2. Định lý sin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:	
1.3. Công thức tính diện tích tam giác:
	* 
	* 
	* 	(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp )
	* S = pr	(p =(1/2)(a+b+c), r là bán kính đường tròn nội tiếp )
	* 	(Công thức Hê rông)
II. Các định lí và ứng dụng:
1. Định lý Menelaus 
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi 
Chứng minh: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC ( Chú ý trường hợp cả ba điểm A’,B’,C’ nằm ngoài cạnh của tam giác )
1.1.Ứng dụng của định lí Menelaus
Sử dụng trực tiếp định lí chứng minh sự thẳng hàng
VD1. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.
Hướng dẫn : Chứng minh MF//AB
Sử dụng tính thẳng hàng để chứng minh sự đồng quy 
VD2. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy.	
Hướng dẫn :Áp dụng định lí cho tam giác BDC để chứng minh P,N,I thẳng hàng 
VD3. Cho tam giác có Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Giả sử đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn thẳng cắt đường thẳng tại Chứng minh rằng đường thẳng chia đôi góc 
Hướng dẫn : Gọi là trung điểm là giao điểm của các đường thẳng 
chứng minh 
1.2 Bài tập về nhà 
Bài 1. Cho DABC có trung tuyến AM. Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI. Đường thẳng BI cắt AC tại P. Chứng minh rằng: PA = 2PC
Hướng dẫn: Áp dụng trực tiếp định lí suy ra 
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b) và D là trung điểm của QS.Từ đó chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
Hướng dẫn:
a) Biến đổi góc chỉ ra 
b) Kết hợp cùng định lí ceva
Bài 3 ( Định lí Desargues) Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Gọi D,E, F lần lượt là giao điểm của B’C’, C’A’, A’B’ với BC, CA, AB. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi D, E, F thẳng hàng.
Hướng dẫn:Áp dụng định lí nhiều lần cho các tam giác
Bài 4: Cho tam giác ABC và điểm P bất kì. Gọi A’,B’,C’ là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’, gọi D, E, F là điểm đối xứng của P qua B’C’, C’A’, A’B’. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác APD, BBE, CPF cắt nhau tại một điểm thứ hai khác P
Hướng dẫn:
Chứng minh ba tâm của ba đường tròn đó thẳng hàng.
Bài 5 Cho tam giác ABC, gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’, BC’A’, CA’B’. Chứng mnih rằng giao điểm các trung trực của các đoạn thẳng với các đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ tương ứng nằm trên một đường thẳng.
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Desargues
2 Định lí Ceva và ứng dụng:
2.1. Định lý Ceva 
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi .
Chứng minh
 Qua A kẻ đường thẳng song song
 với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N.
Ta có: .
Vậy ta có 
 Gọi I là giao của BB’ và CC’. 
Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC. 
Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có mà 
nên . Từ đó suy ra . Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy 
Định lí Ceva dạng sin 
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi .
2.2. Ứng dụng của định lí Ceva 
- Chứng minh các tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau
- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy
- Áp dụng để giải các bài tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc, 
VD1. Cho DABC. Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC
VD2: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi 
A
B
C
D
M
N
H
E
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Ceva dạng sin
VD3 . Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Hướng dẫn:Kẻ đường thẳng qua A và song song với BC
2.3 Bài tập về nhà 
Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA, N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC. Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC. Chứng minh rằng DE song song với MN
Hướng dẫn: Chứng minh 
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
Bài 2. Cho DABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Ceva Cho tam giác ABC
3 Định lí Pascal và ứng dụng:
3.1 Định lý Pascal:
Cho các điểm cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự). Gọi . Khi đó các điểm thẳng hàng.
Chứng minh: Sử dụng định lí Melenaus cho tam giác XYZ
Chú ý: Đường thẳng PQR ở trên được gọi là đường thẳng Pascal ứng với bộ điểm .
( có 60 đường tất cả)
3.2 Ứng dụng của định lý Pascal:
VD1: (Định lý Newton) Một đường tròn nội tiếp tứ giác lần lượt tiếp xúc với các cạnh tại . 
Khi đó các đường thẳng đồng quy.
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Pascal cho lục giác suy biến của bốn điểm E,F,G,H
VD2: Cho tam giác nội tiếp trong một đường tròn. Gọi lần lượt là các điểm chính giữa của các cung ; là điểm tuỳ ý trên cung ; . 
Chứng minh rằng đường thẳng chứa tâm của đường tròn nội tiếp tam giác .
Hướng dẫn: Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm 
VD3: P thay đổi trong tam giác ABC cố định. Gọi P’, P” là hình chiếu vuông góc của P trên AC, BC, Q’, Q” là hình chiếu vuông góc của C trên AP, BP, gọi . 
Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định.
Hướng dẫn: Chứng minh: thẳng hàng.
VD4 :Ngũ giác ABCDE lồi thỏa mãn: . Điểm F trong đoạn AB sao cho Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn: Gọi , Q, R lần lượt là giao điểm của AD và BD với đường tròn đường kính PD, .Chỉ ra thẳng hàng rồi chỉ ra F trùng G
3.3 Bài tập về nhà 
Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao đỉnh A, B, C lần lượt cắt (O) tại A’, B’, C’. D nằm trên (O), .
Chứng minh rằng: A”, B”, C”, trực tâm H thẳng hàng.
Hướng dẫn: Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm 
Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB. 
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA’, BOB’, COC’ thẳng hàng.
Hướng dẫn: Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn Euler của tam giác ABC
Bài 3 Một đường tròn cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm . . Chứng minh rằng AL, BM, CN đồng quy.
. 
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm ta có:
Suy ra thẳng hàng.
Tương tự B, M, Q thẳng hàng, C, N, R thẳng hàng, sau đó áp dụng định lý Desargues
4. Định lí bốn điểm và ứng dụng:
4.1. Định lí : Cho bốn điểm ABCD khi đó điều kiện cần và đủ để AC vuông góc với BD là 
Chứng minh
2.Ứng dụng của định lý bốn điểm.
VD1 Cho tam giác ABC cân tại A, điểm P nằm trên tia BC; các điểm X, Y lần lượt nằm trên tia BA, AC sao cho PX//AC và PY//AB. Gọi AT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng PT vuông góc với XY.
Hướng dẫn: Áp dụng trực tiếp định lí YPXT
VD2: Cho tứ giác lồi ABCD thỏa điều kiện AB=AD và . Điểm F, E nằm trên đường thẳng BC và CD tương ứng sao cho DF vuông góc với AE. Chứng minh rằng AF vuông góc với BE.
Hướng dẫn :Áp dụng định lí 4 điểm cho cặp AE và DF
VD3 Trên đường tròn (O) cố định lấy hai điểm B, C cố định và lấy điểm A thay đổi khác B, C, vẽ các đường cao BE, CF. Gọi M, S, N lần lượt là trung điểm của BF, FE, EC. Đường thẳng qua M và vuông góc với BS cắt đường thẳng qua N và vuông góc với CS tại K. Chứng minh rằng K luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi A thay đổi
Hướng dẫn:Sử dụng định lí 4 điểm cho các tứ giác KBMS và KSNC
4.3 Bài tập về nhà 
Bài 1 Cho tam giác ABC và các điểm B’, C’ thuộc BC ( khác B, C). Các điểm E, F theo thứ tự thuộc AC, AB sao cho BE//B’A; CF// C’A. X là giao điểm thứ hai của đường tròn đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AB’C’. Chứng mnih rằng AX//EF.
Hướng dẫn: Chứng minh AE/AC=BN/CM
Bài 2: Cho tam giác ABC dựng các tam giác cân BCD, CAE, ABF nằm bên ngoài tam giác ABC với BC, Ca, AB là các cạnh đáy. Chứng mnih rằng các đường thẳng qua A, B, C và vuông góc với EF, FD, DE thì
đồng quy.
Hướng dẫn : Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng qua A, B vuông góc với EF, FD chỉ ra GC và DE vuông góc với nhau.
5. Định lí con bướm và ứng dụng:
5.1. Định lí : Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Gọi I là trung điểm AB. Qua I kẻ hai dây cung MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB tại E và F. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF.
Chứng minh
Gọi K, L lần lượt là trung điểm của MP và NQ. Ta dể thấy các tứ giác OEKI, OIFL nội tiếp nên . Ta lại có vậy hay tam giác OEF cân tại O nên I là trung điểm của EF. 
5.2.Ứng dụng của định lí Con bướm 
Bài 1 Cho đường tròn (O) có M là trung điểm của dây cung PQ. Gọi AB, CD là hai dây cung qua điểm M. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của PQ với AC và BD. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:Biến đổi tỉ số đưa về định lí con bướm.
VD 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), với I là tâm đường tròn nội tiếp.. Đường thẳng BI, CI cắt đường tròn (O) tại E, F. Gọi K, D lần lượt là giao điểm của AI với EF và BC. Biết AB+AC=2 BC. Chứng mnih rằng IK=ID
Hướng dẫn: Gọi M là giao điểm của AI và O, chứng minh I là trung điểm AM
5.3 Bài tập về nhà 
Bài 1 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CD, H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua điểm D vuông góc với ODvà cắt BC tại E. Chứng mnih rằng 
Hướng dẫn:Áp dụng định lí con bướm để chứng minh AF//HE.
Bài 2
Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi O, H là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác, AB>AC. Q nằm trên AC, kéo dài HQ cắt BC tại P sao cho DP=DB với D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Lời giải.
Hướng dẫn: Chứng minh D là trung điểm của QK